Giải giúp mình với Câu 3: Trong không gian Oxyz , $\Delta$ là đường thẳng đi qua điểm $A(1;-1;2),$ vuông góc với,đường thẳng $d_1:\frac{x-1}2=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-4}{-1},$ đồng thời tạo với đường thẳng $d_2:\frac{x+1}1=\frac{y-1}{-2}=\frac z2$,một góc lớn nhất. Biết phương trình đường thẳng $\Delta$ có dạng $\frac{x-1}4=\frac{y+1}a=\frac{z-2}b.$ Tính $=2.$,$a^2+b^2.$

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 3:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa $ d_1 $ và $ d_2 $:
   - Vectơ chỉ phương của $ d_1 $ là $ \vec{u}_1 = (2, -1, -1) $.
   - Vectơ chỉ phương của $ d_2 $ là $ \vec{u}_2 = (1, -2, 2) $.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa $ d_1 $ và $ d_2 $ là $ \vec{n} = \vec{u}_1 \times \vec{u}_2 $:
   $$
   \vec{n} = \begin{vmatrix}
   \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
   2 & -1 & -1 \
   1 & -2 & 2
   \end{vmatrix} = \vec{i}((-1)(2) - (-1)(-2)) - \vec{j}((2)(2) - (-1)(1)) + \vec{k}((2)(-2) - (-1)(1))
   $$
   $$
   \vec{n} = \vec{i}(-2 - 2) - \vec{j}(4 + 1) + \vec{k}(-4 + 1) = -4\vec{i} - 5\vec{j} - 3\vec{k}
   $$
   Vậy $ \vec{n} = (-4, -5, -3) $.

2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $ \Delta $:
   - Đường thẳng $ \Delta $ đi qua điểm $ A(1, -1, 2) $ và vuông góc với $ d_1 $. Do đó, vectơ chỉ phương của $ \Delta $ là $ \vec{u}_\Delta = (4, a, b) $.

Vì $ \Delta $ vuông góc với $ d_1 $, ta có:
   $$
   \vec{u}_\Delta \cdot \vec{u}_1 = 0 \implies 4 \cdot 2 + a \cdot (-1) + b \cdot (-1) = 0 \implies 8 - a - b = 0 \implies a + b = 8
   $$

3. Tìm góc giữa $ \Delta $ và $ d_2 $:
   - Góc giữa hai đường thẳng $ \Delta $ và $ d_2 $ là góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng. Ta có:
   $$
   \cos \theta = \frac{\vec{u}_\Delta \cdot \vec{u}_2}{|\vec{u}_\Delta| |\vec{u}_2|}
   $$
   $$
   \vec{u}_\Delta \cdot \vec{u}_2 = 4 \cdot 1 + a \cdot (-2) + b \cdot 2 = 4 - 2a + 2b
   $$
   $$
   |\vec{u}_\Delta| = \sqrt{4^2 + a^2 + b^2} = \sqrt{16 + a^2 + b^2}
   $$
   $$
   |\vec{u}_2| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3
   $$
   $$
   \cos \theta = \frac{4 - 2a + 2b}{3 \sqrt{16 + a^2 + b^2}}
   $$

Để góc giữa $ \Delta $ và $ d_2 $ lớn nhất, $ \cos \theta $ phải nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi $ 4 - 2a + 2b $ nhỏ nhất.

4. Giải phương trình để tìm $ a $ và $ b $:
   - Ta đã có $ a + b = 8 $. Thay vào biểu thức $ 4 - 2a + 2b $:
   $$
   4 - 2a + 2b = 4 - 2a + 2(8 - a) = 4 - 2a + 16 - 2a = 20 - 4a
   $$
   Để $ 20 - 4a $ nhỏ nhất, $ a $ phải lớn nhất. Vì $ a + b = 8 $, ta chọn $ a = 4 $ và $ b = 4 $.

5. Tính $ a^2 + b^2 $:
   $$
   a^2 + b^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32
   $$

Vậy đáp án là $ a^2 + b^2 = 32 $.