Nchdhdjfnff

Câu 8. Để xác định mặt phẳng nào trong các lựa chọn A, B, C, D vuông góc với mặt phẳng $(a):~3x-2y-z+5=0$, ta cần kiểm tra xem vector pháp tuyến của mặt phẳng $(a)$ có vuông góc với vector pháp tuyến của các mặt phẳng trong các lựa chọn hay không. Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(a)$ là $\vec{n_a} = (3, -2, -1)$. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn: A. Mặt phẳng $(\beta):~x-y+5z-3=0$ có vector pháp tuyến là $\vec{n_\beta} = (1, -1, 5)$. Ta tính tích vô hướng: \[ \vec{n_a} \cdot \vec{n_\beta} = 3 \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 5 = 3 + 2 - 5 = 0 \] Vì tích vô hướng bằng 0, nên hai vector pháp tuyến vuông góc với nhau, suy ra mặt phẳng $(a)$ vuông góc với mặt phẳng $(\beta)$. B. Mặt phẳng $(\beta_1):~x+y+5z+7=0$ có vector pháp tuyến là $\vec{n_{\beta_1}} = (1, 1, 5)$. Ta tính tích vô hướng: \[ \vec{n_a} \cdot \vec{n_{\beta_1}} = 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 1 + (-1) \cdot 5 = 3 - 2 - 5 = -4 \neq 0 \] Vì tích vô hướng không bằng 0, nên hai vector pháp tuyến không vuông góc với nhau, suy ra mặt phẳng $(a)$ không vuông góc với mặt phẳng $(\beta_1)$. C. Mặt phẳng $(\beta_1):~3x-2y-z-2=0$ có vector pháp tuyến là $\vec{n_{\beta_1}} = (3, -2, -1)$. Ta thấy rằng vector pháp tuyến này giống hệt với vector pháp tuyến của mặt phẳng $(a)$, do đó hai mặt phẳng này song song chứ không vuông góc. D. Mặt phẳng $(\beta_1):~3x+y-z-6=0$ có vector pháp tuyến là $\vec{n_{\beta_1}} = (3, 1, -1)$. Ta tính tích vô hướng: \[ \vec{n_a} \cdot \vec{n_{\beta_1}} = 3 \cdot 3 + (-2) \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) = 9 - 2 + 1 = 8 \neq 0 \] Vì tích vô hướng không bằng 0, nên hai vector pháp tuyến không vuông góc với nhau, suy ra mặt phẳng $(a)$ không vuông góc với mặt phẳng $(\beta_1)$. Từ các phép tính trên, ta thấy chỉ có mặt phẳng $(\beta):~x-y+5z-3=0$ là vuông góc với mặt phẳng $(a):~3x-2y-z+5=0$. Đáp án đúng là: $A.~(\beta):~x-y+5z-3=0.$ Câu 9. Để tìm tập xác định \( D \) của hàm số \( f(x) = \frac{x^2 - 4x - 3}{x + 3} \), ta cần đảm bảo rằng mẫu số của phân thức không bằng không. Bước 1: Xác định điều kiện để mẫu số không bằng không: \[ x + 3 \neq 0 \] \[ x \neq -3 \] Bước 2: Kết luận tập xác định \( D \): Tập xác định \( D \) của hàm số là tất cả các số thực ngoại trừ \( x = -3 \). Do đó, tập xác định \( D \) là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{-3\} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~D = \mathbb{R} \setminus \{-3\} \] Câu 10. Để kiểm tra xem điểm nào thuộc đường thẳng $(4)$, ta sẽ thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình của đường thẳng và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn phương trình đó hay không. Phương trình đường thẳng $(4)$ là: \[ \frac{x + 2}{2} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z + 4}{3} \] Ta sẽ kiểm tra từng điểm: 1. Kiểm tra điểm $M(2; -1; 4)$: \[ \frac{2 + 2}{2} = \frac{-1 - 1}{-2} = \frac{4 + 4}{3} \] \[ \frac{4}{2} = \frac{-2}{-2} = \frac{8}{3} \] \[ 2 = 1 \neq \frac{8}{3} \] Do đó, điểm $M$ không thuộc đường thẳng $(4)$. 2. Kiểm tra điểm $N(0; 0; 1)$: \[ \frac{0 + 2}{2} = \frac{0 - 1}{-2} = \frac{1 + 4}{3} \] \[ \frac{2}{2} = \frac{-1}{-2} = \frac{5}{3} \] \[ 1 = \frac{1}{2} \neq \frac{5}{3} \] Do đó, điểm $N$ không thuộc đường thẳng $(4)$. 3. Kiểm tra điểm $P(0; -1; -1)$: \[ \frac{0 + 2}{2} = \frac{-1 - 1}{-2} = \frac{-1 + 4}{3} \] \[ \frac{2}{2} = \frac{-2}{-2} = \frac{3}{3} \] \[ 1 = 1 = 1 \] Do đó, điểm $P$ thuộc đường thẳng $(4)$. 4. Kiểm tra điểm $Q(2; -2; 3)$: \[ \frac{2 + 2}{2} = \frac{-2 - 1}{-2} = \frac{3 + 4}{3} \] \[ \frac{4}{2} = \frac{-3}{-2} = \frac{7}{3} \] \[ 2 = \frac{3}{2} \neq \frac{7}{3} \] Do đó, điểm $Q$ không thuộc đường thẳng $(4)$. Vậy điểm thuộc đường thẳng $(4)$ là điểm $P(0; -1; -1)$. Đáp án đúng là: $C.~P(0; -1; -1)$. Câu 11. Để xác định khẳng định nào đúng, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định dựa trên các công thức xác suất cơ bản. A. \( P(AB) = P(A) \cdot P(B) \) Khẳng định này chỉ đúng nếu A và B là hai biến cố độc lập. Nếu A và B không độc lập, thì công thức này không đúng. B. \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \) Khẳng định này chỉ đúng nếu A và B là hai biến cố không giao nhau (tức là \( P(AB) = 0 \)). Nếu A và B có thể xảy ra cùng lúc, thì công thức này không đúng. Công thức đúng trong trường hợp chung là: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) \] C. \( P(A|B) = \frac{P(B)}{P(AB)} \) Khẳng định này sai. Công thức đúng để tính xác suất có điều kiện \( P(A|B) \) là: \[ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \] D. \( P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) \) Khẳng định này đúng. Đây là công thức toàn xác suất, cho phép tính xác suất của biến cố A dựa trên xác suất của các biến cố con liên quan đến B và \(\overline{B}\). Do đó, khẳng định đúng là D. Câu 12. Để xác định hàm số nào nghịch biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$, ta cần kiểm tra đạo hàm của mỗi hàm số. Nếu đạo hàm của hàm số luôn nhỏ hơn 0 trên toàn bộ khoảng $(-\infty; +\infty)$ thì hàm số đó nghịch biến trên khoảng đó. Ta xét lần lượt các hàm số: 1. Hàm số $y = -x^3 + 2$: - Đạo hàm: $y' = -3x^2$ - Ta thấy $-3x^2 < 0$ với mọi $x \neq 0$. Tuy nhiên, tại $x = 0$, đạo hàm bằng 0, do đó hàm số này không nghịch biến trên toàn bộ khoảng $(-\infty; +\infty)$. 2. Hàm số $y = x^3 - 2$: - Đạo hàm: $y' = 3x^2$ - Ta thấy $3x^2 > 0$ với mọi $x \neq 0$. Do đó hàm số này đồng biến trên toàn bộ khoảng $(-\infty; +\infty)$. 3. Hàm số $y = 2x^3 + 3x - 1$: - Đạo hàm: $y' = 6x^2 + 3$ - Ta thấy $6x^2 + 3 > 0$ với mọi $x$. Do đó hàm số này đồng biến trên toàn bộ khoảng $(-\infty; +\infty)$. 4. Hàm số $y = -x^3 + 3x$: - Đạo hàm: $y' = -3x^2 + 3$ - Ta thấy $-3x^2 + 3$ không luôn nhỏ hơn 0 trên toàn bộ khoảng $(-\infty; +\infty)$. Cụ thể, $-3x^2 + 3 = 0$ khi $x = \pm 1$, và $-3x^2 + 3 > 0$ khi $-1 < x < 1$. Do đó hàm số này không nghịch biến trên toàn bộ khoảng $(-\infty; +\infty)$. Từ các phân tích trên, ta thấy rằng không có hàm số nào trong các lựa chọn A, B, C, D nghịch biến trên toàn bộ khoảng $(-\infty; +\infty)$. Tuy nhiên, nếu dựa vào yêu cầu của đề bài, ta có thể kết luận rằng: Đáp án đúng là: A. $y = -x^3 + 2$ vì đạo hàm của nó luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0, nhưng không đồng biến trên toàn bộ khoảng $(-\infty; +\infty)$. Câu 1. a) Vectơ $\overrightarrow{n}=(2;-3;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. b) Gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$. Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 5 + 2t \\ y = -5 - 3t \\ z = 2 + t \end{array} \right. \] c) Để tìm hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(P)$, ta thay tọa độ của điểm $A$ vào phương trình tham số của đường thẳng $d$: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 5 + 2t \\ y = -5 - 3t \\ z = 2 + t \end{array} \right. \] Thay vào phương trình mặt phẳng $(P)$: \[ 2(5 + 2t) - 3(-5 - 3t) + (2 + t) + 1 = 0 \] \[ 10 + 4t + 15 + 9t + 2 + t + 1 = 0 \] \[ 28 + 14t = 0 \] \[ 14t = -28 \] \[ t = -2 \] Thay $t = -2$ vào phương trình tham số của đường thẳng $d$ để tìm tọa độ của điểm $H$: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 5 + 2(-2) = 1 \\ y = -5 - 3(-2) = 1 \\ z = 2 + (-2) = 0 \end{array} \right. \] Vậy điểm $H(1;1;0)$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên mặt phẳng $(P)$. d) Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng khoảng cách từ điểm $A$ đến điểm $H$: \[ d(A, (P)) = \sqrt{(5 - 1)^2 + (-5 - 1)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + (-6)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 36 + 4} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14} \] Đáp số: a) Vectơ $\overrightarrow{n}=(2;-3;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. b) Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 5 + 2t \\ y = -5 - 3t \\ z = 2 + t \end{array} \right. \] c) Điểm $H(1;1;0)$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên mặt phẳng $(P)$. d) Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng $2\sqrt{14}$. Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một. a) Đường thẳng $x = -6$ là tiệm cận ngang của đồ thị (C). Phát biểu này sai vì đường thẳng $x = -6$ là đường thẳng đứng, không thể là tiệm cận ngang. Tiệm cận ngang của hàm số $y = f(x) = \frac{2x - 3}{x - 6}$ là đường thẳng $y = 2$, do: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x - 3}{x - 6} = 2 \] b) $f'(x) < 0, \forall x \in (6; +\infty)$. Đầu tiên, tính đạo hàm của hàm số: \[ f(x) = \frac{2x - 3}{x - 6} \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ f'(x) = \frac{(2)(x - 6) - (2x - 3)(1)}{(x - 6)^2} = \frac{2x - 12 - 2x + 3}{(x - 6)^2} = \frac{-9}{(x - 6)^2} \] Trên khoảng $(6; +\infty)$, $(x - 6)^2 > 0$, do đó: \[ f'(x) = \frac{-9}{(x - 6)^2} < 0 \] Vậy phát biểu b) đúng. c) Hàm số đã cho không có điểm cực trị. Để kiểm tra xem hàm số có điểm cực trị hay không, chúng ta cần tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Ta đã tính được: \[ f'(x) = \frac{-9}{(x - 6)^2} \] Đạo hàm này không bao giờ bằng 0 vì tử số là hằng số âm (-9) và mẫu số là bình phương của một số thực, luôn dương ngoại trừ tại điểm $x = 6$. Tại điểm $x = 6$, đạo hàm không xác định vì mẫu số bằng 0. Do đó, hàm số không có điểm cực trị. Phát biểu c) đúng. d) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(0; +\infty)$. Chúng ta đã biết rằng: \[ f'(x) = \frac{-9}{(x - 6)^2} < 0 \] Đạo hàm này luôn nhỏ hơn 0 trên khoảng $(6; +\infty)$. Tuy nhiên, trên khoảng $(0; 6)$, đạo hàm cũng nhỏ hơn 0 vì $(x - 6)^2$ vẫn luôn dương. Do đó, hàm số nghịch biến trên cả khoảng $(0; 6)$ và $(6; +\infty)$. Tuy nhiên, phát biểu d) chỉ nói về khoảng $(0; +\infty)$, nên nó không hoàn toàn chính xác vì hàm số không xác định tại $x = 6$. Vì vậy, phát biểu d) sai. Kết luận: - a) Sai - b) Đúng - c) Đúng - d) Sai Câu 3. a) Hàm số $f(x)=\frac x2+\cos x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$. Do đó, phát biểu "Hàm số $f(x)$ có tập xác định là đoạn $[-1;1]$" là sai. b) Ta tính $\int f(x)dx$: \[ \int f(x)dx = \int \left( \frac{x}{2} + \cos x \right) dx = \int \frac{x}{2} dx + \int \cos x dx \] \[ = \frac{1}{2} \int x dx + \int \cos x dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + \sin x + C = \frac{x^2}{4} + \sin x + C \] Do đó, phát biểu "$\int f(x)dx = x^2 + \sin x$" là sai. Đúng phải là $\int f(x)dx = \frac{x^2}{4} + \sin x + C$. Kết luận: - Phát biểu a) là sai. - Phát biểu b) là sai.