giải chi tiết đúng sai

Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. Phần a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 200m. 1. Tìm vận tốc ban đầu: - Ban đầu, ô tô có vận tốc \( v_0 = 36 \text{ km/h} = 10 \text{ m/s} \). 2. Tìm vận tốc sau 2 giây: - Thời gian tính từ khi bắt đầu tăng tốc là \( t = 2 \text{ s} \). - Vận tốc sau 2 giây là \( v(2) = a \cdot 2 + b \). 3. Tìm quãng đường đã đi trong 2 giây đầu tiên: - Quãng đường ban đầu là \( s_0 = 200 \text{ m} \). - Quãng đường đã đi trong 2 giây đầu tiên là: \[ s_1 = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a t^2 = 10 \cdot 2 + \frac{1}{2} a \cdot 2^2 = 20 + 2a \] 4. Tìm vận tốc sau 12 giây: - Thời gian tính từ khi bắt đầu tăng tốc là \( t = 12 \text{ s} \). - Vận tốc sau 12 giây là \( v(12) = a \cdot 12 + b \). 5. Tìm quãng đường đã đi trong 12 giây: - Quãng đường đã đi trong 12 giây là: \[ s_{12} = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a t^2 = 10 \cdot 12 + \frac{1}{2} a \cdot 12^2 = 120 + 72a \] 6. Tổng quãng đường từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn: - Tổng quãng đường là: \[ s_{total} = s_0 - s_1 + s_{12} = 200 - (20 + 2a) + (120 + 72a) = 200 - 20 - 2a + 120 + 72a = 200 + 100 + 70a = 300 + 70a \] - Vì tổng quãng đường là 200m, nên: \[ 300 + 70a = 200 \implies 70a = -100 \implies a = -\frac{100}{70} = -\frac{10}{7} \] Phần b) Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, ô tô duy trì tốc độ cao nhất trong vòng 5 giây thì phát hiện chướng ngoại vật cách đó 300m. Người điều khiển lập tức đạp phanh và ô tô chuyển động chậm dần đều với \( a(t) = -3 \text{ m/s}^2 \). Khi đó ô tô dừng lại cách chứng ngoại vật 120m. 1. Tìm vận tốc sau 24 giây: - Thời gian tính từ khi bắt đầu tăng tốc là \( t = 24 \text{ s} \). - Vận tốc sau 24 giây là \( v(24) = a \cdot 24 + b \). 2. Tìm quãng đường đã đi trong 24 giây: - Quãng đường đã đi trong 24 giây là: \[ s_{24} = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a t^2 = 10 \cdot 24 + \frac{1}{2} a \cdot 24^2 = 240 + 288a \] 3. Tìm vận tốc sau 5 giây nữa: - Thời gian tính từ khi bắt đầu tăng tốc là \( t = 29 \text{ s} \). - Vận tốc sau 5 giây nữa là \( v(29) = a \cdot 29 + b \). 4. Tìm quãng đường đã đi trong 5 giây nữa: - Quãng đường đã đi trong 5 giây nữa là: \[ s_{5} = v(24) \cdot 5 = (a \cdot 24 + b) \cdot 5 \] 5. Tổng quãng đường từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi phát hiện chướng ngại vật: - Tổng quãng đường là: \[ s_{total} = s_{24} + s_{5} = 240 + 288a + 5(a \cdot 24 + b) \] 6. Tìm vận tốc khi đạp phanh: - Vận tốc khi đạp phanh là \( v_{phanh} = a \cdot 29 + b \). 7. Tìm quãng đường phanh: - Quãng đường phanh là: \[ s_{phanh} = \frac{v_{phanh}^2}{2 \cdot 3} \] 8. Tổng quãng đường từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi dừng lại: - Tổng quãng đường là: \[ s_{total} = 300 + 120 = 420 \text{ m} \] Phần c) Vận tốc của ô tô tại thời điểm nhập làn là 20(km/h). 1. Tìm vận tốc tại thời điểm nhập làn: - Vận tốc tại thời điểm nhập làn là \( v_{nhap} = 20 \text{ km/h} = 5.56 \text{ m/s} \). Phần d) Quãng đường mà ô tô đi được trong thời gian 30 giây kể từ khi ô tô cách điểm nhập làn 200m là 480m. 1. Tìm quãng đường đã đi trong 30 giây: - Quãng đường đã đi trong 30 giây là: \[ s_{30} = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a t^2 = 10 \cdot 30 + \frac{1}{2} a \cdot 30^2 = 300 + 450a \] 2. Tổng quãng đường từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi dừng lại: - Tổng quãng đường là: \[ s_{total} = 480 \text{ m} \] Kết luận: - Đáp án đúng là: a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 200m. Câu 4: Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Phần a) Tính \( f(\pi) \) Ta có: \[ f(x) = 2\cos x - x + \pi \] Thay \( x = \pi \): \[ f(\pi) = 2\cos(\pi) - \pi + \pi \] \[ f(\pi) = 2(-1) - \pi + \pi \] \[ f(\pi) = -2 \] Vậy \( f(\pi) = -2 \). Phần b) Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \) Ta có: \[ f(x) = 2\cos x - x + \pi \] Đạo hàm của \( f(x) \) là: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2\cos x) - \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(\pi) \] \[ f'(x) = 2(-\sin x) - 1 + 0 \] \[ f'(x) = -2\sin x - 1 \] Vậy đạo hàm của hàm số là: \[ f'(x) = -2\sin x - 1 \] Phần c) Số nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \) trên đoạn \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) Ta có: \[ f'(x) = -2\sin x - 1 \] Phương trình \( f'(x) = 0 \) trở thành: \[ -2\sin x - 1 = 0 \] \[ -2\sin x = 1 \] \[ \sin x = -\frac{1}{2} \] Trên đoạn \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\), giá trị của \( \sin x \) từ \(-1\) đến \(1\). Ta thấy rằng: \[ \sin x = -\frac{1}{2} \] Có hai giá trị \( x \) trong đoạn này thỏa mãn: \[ x = -\frac{\pi}{6} \quad \text{và} \quad x = \frac{7\pi}{6} \] Tuy nhiên, \( \frac{7\pi}{6} \) không thuộc đoạn \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\). Vậy chỉ có một nghiệm duy nhất: \[ x = -\frac{\pi}{6} \] Số nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \) trên đoạn \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) là 1. Phần d) Giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) Để tìm giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\), ta cần kiểm tra giá trị của \( f(x) \) tại các điểm biên và điểm cực trị. Điểm biên: \[ f\left( -\frac{\pi}{2} \right) = 2\cos\left( -\frac{\pi}{2} \right) - \left( -\frac{\pi}{2} \right) + \pi \] \[ f\left( -\frac{\pi}{2} \right) = 2(0) + \frac{\pi}{2} + \pi \] \[ f\left( -\frac{\pi}{2} \right) = \frac{3\pi}{2} \] \[ f\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2\cos\left( \frac{\pi}{2} \right) - \frac{\pi}{2} + \pi \] \[ f\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2(0) - \frac{\pi}{2} + \pi \] \[ f\left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{2} \] Điểm cực trị: \[ f'\left( -\frac{\pi}{6} \right) = 0 \] \[ f\left( -\frac{\pi}{6} \right) = 2\cos\left( -\frac{\pi}{6} \right) - \left( -\frac{\pi}{6} \right) + \pi \] \[ f\left( -\frac{\pi}{6} \right) = 2\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \frac{\pi}{6} + \pi \] \[ f\left( -\frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6} + \pi \] \[ f\left( -\frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3} + \frac{7\pi}{6} \] So sánh các giá trị: \[ f\left( -\frac{\pi}{2} \right) = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 \] \[ f\left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \] \[ f\left( -\frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3} + \frac{7\pi}{6} \approx 1.73 + 3.67 \approx 5.4 \] Vậy giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) là: \[ \boxed{\sqrt{3} + \frac{7\pi}{6}} \]