giải chi tiết

Câu 3. a) Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (Q): \[ 2 \times 1 - 4 \times 1 + 3 \times 0 + 1 = 2 - 4 + 0 + 1 = -1 \neq 0 \] Vậy điểm \( A(1;1;0) \notin (Q) \). b) Mặt phẳng (P) có phương trình \( x - y - 2z + 5 = 0 \). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \( \vec{n} = (1, -1, -2) \). Do đó, vectơ có tọa độ \( (1, -1, -2) \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). c) Khoảng cách từ gốc tọa độ \( O(0,0,0) \) đến mặt phẳng (Q) được tính bằng công thức: \[ d(O, (Q)) = \frac{|2 \times 0 - 4 \times 0 + 3 \times 0 + 1|}{\sqrt{2^2 + (-4)^2 + 3^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{4 + 16 + 9}} = \frac{1}{\sqrt{29}} \] d) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính bằng công thức: \[ \cos \theta = \left| \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \right| \] Trong đó, \( \vec{n_1} = (1, -1, -2) \) và \( \vec{n_2} = (2, -4, 3) \). Tính tích vô hướng: \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \times 2 + (-1) \times (-4) + (-2) \times 3 = 2 + 4 - 6 = 0 \] Tính độ dài các vectơ pháp tuyến: \[ |\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] \[ |\vec{n_2}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29} \] Do đó: \[ \cos \theta = \left| \frac{0}{\sqrt{6} \times \sqrt{29}} \right| = 0 \] \[ \theta = 90^\circ \] Vậy góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là \( 90^\circ \), không phải \( 60^\circ \). Kết luận: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai. Câu 4. Để giải quyết từng phần của bài toán, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Tính xác suất chọn được xạ thủ hạng I ($P(A)$) Số lượng xạ thủ hạng I là 4 trong tổng số 10 xạ thủ. Do đó, xác suất chọn được xạ thủ hạng I là: \[ P(A) = \frac{4}{10} = 0,4 \] b) Tính xác suất viên đạn của xạ thủ hạng I và hạng II bắn trúng mục tiêu - Biến cố $\overline{B}|A$: Viên đạn của xạ thủ hạng I bắn trúng mục tiêu. \[ P(\overline{B}|A) = 0,75 \] - Biến cố $\overline{B}|\overline{A}$: Viên đạn của xạ thủ hạng II bắn trúng mục tiêu. \[ P(\overline{B}|\overline{A}) = 0,6 \] c) Tính xác suất viên đạn bắn trúng mục tiêu ($P(B)$) Áp dụng công thức xác suất tổng: \[ P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A}) \] Trong đó: - $P(A) = 0,4$ - $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 0,6$ - $P(B|A) = 0,75$ - $P(B|\overline{A}) = 0,6$ Thay vào công thức: \[ P(B) = 0,4 \cdot 0,75 + 0,6 \cdot 0,6 \] \[ P(B) = 0,3 + 0,36 \] \[ P(B) = 0,66 \] d) Tính xác suất viên đạn bắn trúng mục tiêu là của xạ thủ hạng II Áp dụng công thức xác suất điều kiện: \[ P(\overline{A}|B) = \frac{P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A})}{P(B)} \] Trong đó: - $P(\overline{A}) = 0,6$ - $P(B|\overline{A}) = 0,6$ - $P(B) = 0,66$ Thay vào công thức: \[ P(\overline{A}|B) = \frac{0,6 \cdot 0,6}{0,66} \] \[ P(\overline{A}|B) = \frac{0,36}{0,66} \] \[ P(\overline{A}|B) = \frac{36}{66} = \frac{6}{11} \] Do đó, xác suất để viên đạn bắn trúng mục tiêu là của xạ thủ hạng II là: \[ \frac{6}{11} \] Đáp số: \[ a)~P(A) = 0,4 \] \[ b)~P(\overline{B}|A) = 0,75 \text{ và } P(\overline{B}|\overline{A}) = 0,6 \] \[ c)~P(B) = 0,66 \] \[ d)~\frac{6}{11} \] Câu 1. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC trong hình chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích tam giác SAD: - Tam giác SAD là tam giác vuông tại D (vì \(SD \perp (ABCD)\)). - Diện tích tam giác SAD: \[ S_{SAD} = \frac{1}{2} \times DA \times SD = \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{83} \] 2. Tính độ dài cạnh SA: - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SAD: \[ SA = \sqrt{SD^2 + DA^2} = \sqrt{(\sqrt{83})^2 + 3^2} = \sqrt{83 + 9} = \sqrt{92} \] 3. Tính diện tích tam giác SAC: - Tam giác SAC cũng là tam giác vuông tại A (vì \(SA\) là đường cao hạ từ S xuống đáy ABCD). - Diện tích tam giác SAC: \[ S_{SAC} = \frac{1}{2} \times SA \times AC \] - Độ dài AC (đường chéo của hình chữ nhật ABCD): \[ AC = \sqrt{DA^2 + DC^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] - Do đó: \[ S_{SAC} = \frac{1}{2} \times \sqrt{92} \times 3\sqrt{5} = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{460} = \frac{3\sqrt{460}}{2} \] 4. Tính khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng SA: - Gọi khoảng cách này là h. - Diện tích tam giác SAD cũng có thể được tính qua đường cao hạ từ D xuống SA: \[ S_{SAD} = \frac{1}{2} \times SA \times h \] - Từ đây, ta có: \[ \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{83} = \frac{1}{2} \times \sqrt{92} \times h \] \[ 3 \times \sqrt{83} = \sqrt{92} \times h \] \[ h = \frac{3 \times \sqrt{83}}{\sqrt{92}} = \frac{3 \times \sqrt{83}}{2\sqrt{23}} = \frac{3 \times \sqrt{83}}{2\sqrt{23}} = \frac{3 \times \sqrt{83}}{2\sqrt{23}} = \frac{3 \times \sqrt{83}}{2\sqrt{23}} = \frac{3 \times \sqrt{83}}{2\sqrt{23}} \] 5. Kết luận: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC là: \[ d(SD, AC) = \frac{3 \times \sqrt{83}}{2\sqrt{23}} \approx 4.74 \] Vậy khoảng cách giữa các đường thẳng SD và AC là khoảng 4.74 (đơn vị). Câu 2. Để tính khoảng cách từ điểm \( A(3;1;2) \) đến mặt phẳng \( (R) \) đi qua điểm \( C(1;4;-1) \) và chứa trục \( Ox \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của mặt phẳng \( (R) \): - Mặt phẳng \( (R) \) đi qua điểm \( C(1;4;-1) \) và chứa trục \( Ox \). - Trục \( Ox \) có vectơ chỉ phương là \( \vec{i} = (1,0,0) \). - Mặt phẳng \( (R) \) cũng đi qua gốc tọa độ \( O(0,0,0) \). Do đó, mặt phẳng \( (R) \) đi qua hai điểm \( O(0,0,0) \) và \( C(1,4,-1) \). Ta có vectơ \( \overrightarrow{OC} = (1,4,-1) \). Mặt phẳng \( (R) \) có vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \) vuông góc với cả \( \vec{i} \) và \( \overrightarrow{OC} \). Ta tính \( \vec{n} \) bằng cách lấy tích vector của \( \vec{i} \) và \( \overrightarrow{OC} \): \[ \vec{n} = \vec{i} \times \overrightarrow{OC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & -1 \end{vmatrix} = (0 \cdot (-1) - 0 \cdot 4) \vec{i} - (1 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) \vec{j} + (1 \cdot 4 - 0 \cdot 1) \vec{k} = (0, 1, 4) \] Phương trình mặt phẳng \( (R) \) có dạng: \[ 0(x - 0) + 1(y - 0) + 4(z - 0) = 0 \implies y + 4z = 0 \] 2. Tính khoảng cách từ điểm \( A(3,1,2) \) đến mặt phẳng \( y + 4z = 0 \): - Công thức khoảng cách từ một điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] - Ở đây, \( a = 0 \), \( b = 1 \), \( c = 4 \), \( d = 0 \), và điểm \( A(3,1,2) \). Thay vào công thức: \[ d = \frac{|0 \cdot 3 + 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 0|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 4^2}} = \frac{|1 + 8|}{\sqrt{1 + 16}} = \frac{9}{\sqrt{17}} \approx 2.2 \] Vậy khoảng cách từ điểm \( A \) đến mặt phẳng \( (R) \) là \( 2.2 \) (làm tròn đến hàng phần mười). Câu 3. Diện tích của miếng bìa hình vuông là: \[ 13 \times 13 = 169 \text{ (cm}^2\text{)} \] Diện tích của mỗi phần parabol là: \[ \frac{1}{2} \times AB \times OH = \frac{1}{2} \times 6 \times 1 = 3 \text{ (cm}^2\text{)} \] Diện tích của bốn phần parabol là: \[ 4 \times 3 = 12 \text{ (cm}^2\text{)} \] Diện tích của bề mặt hoa văn là: \[ 169 - 12 = 157 \text{ (cm}^2\text{)} \] Giá trị của \(\frac{S}{13}\) là: \[ \frac{157}{13} \approx 12.1 \] Đáp số: 12.1