giải chi tiết

Câu 9: Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{4}{x-1}$ tại điểm có hoành độ $x=-1$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tọa độ điểm tiếp xúc. Thay $x = -1$ vào phương trình hàm số: \[ y = \frac{4}{-1 - 1} = \frac{4}{-2} = -2 \] Vậy điểm tiếp xúc là $(-1, -2)$. Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số để tìm hệ số góc của tiếp tuyến. \[ y' = \left( \frac{4}{x-1} \right)' = \frac{-4}{(x-1)^2} \] Bước 3: Tính giá trị của đạo hàm tại điểm $x = -1$. \[ y'(-1) = \frac{-4}{(-1-1)^2} = \frac{-4}{4} = -1 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là $-1$. Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $(x_0, y_0)$ với hệ số góc $k$ là: \[ y - y_0 = k(x - x_0) \] Thay $x_0 = -1$, $y_0 = -2$, và $k = -1$ vào phương trình trên: \[ y - (-2) = -1(x - (-1)) \] \[ y + 2 = -1(x + 1) \] \[ y + 2 = -x - 1 \] \[ y = -x - 3 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{4}{x-1}$ tại điểm có hoành độ $x=-1$ là: \[ y = -x - 3 \] Đáp án đúng là: $B.~y=-x-3.$