Giải hộ mình câu này với các bạn Câu 34: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, mặt bên SAB là tam giác đều và,$(SAB)\bot(ABCD),~AB=6a,~AD=7a.$ Tính (gần đúng) số đo góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và,$(ABCD).$,$A.~56^002^0.$ $B.~57^055^\prime.$ $C.~36^035^0.$ $D.~42^004^0.$,Trang 5/6 - Mã đề 111

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 34:
Để tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD), ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:
   Giao tuyến của (SCD) và (ABCD) là đường thẳng CD.

2. Tìm góc giữa hai mặt phẳng:
   Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

3. Xác định điểm trực tâm:
   Vì (SAB) ⊥ (ABCD), nên đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Do đó, S là đỉnh của tam giác đều SAB và SA là đường cao của tam giác này.

4. Tính độ dài SA:
   Vì SAB là tam giác đều với cạnh AB = 6a, ta có:
   $$
   SA = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3a\sqrt{3}
   $$

5. Tính độ dài SD:
   Ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác SAD:
   $$
   SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{(3a\sqrt{3})^2 + (7a)^2} = \sqrt{27a^2 + 49a^2} = \sqrt{76a^2} = a\sqrt{76}
   $$

6. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD):
   Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng (ABCD). Vì SA ⊥ (ABCD), nên H nằm trên đường thẳng AB. Ta có:
   $$
   SH = SA = 3a\sqrt{3}
   $$
   Độ dài SC:
   $$
   SC = \sqrt{SH^2 + HC^2} = \sqrt{(3a\sqrt{3})^2 + (6a)^2} = \sqrt{27a^2 + 36a^2} = \sqrt{63a^2} = 3a\sqrt{7}
   $$

7. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD):
   Gọi góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là $\theta$. Ta có:
   $$
   \sin(\theta) = \frac{SH}{SC} = \frac{3a\sqrt{3}}{3a\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{3}{7}}
   $$
   $$
   \theta = \arcsin\left(\sqrt{\frac{3}{7}}\right)
   $$

8. Tính gần đúng góc $\theta$:
   Sử dụng máy tính để tính giá trị của $\theta$:
   $$
   \theta \approx 56^\circ 02&#x27;
   $$

Vậy, số đo góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là:
$$
\boxed{56^\circ 02&#x27;}
$$