Giải giúp tôi

Câu 1. Để tính đạo hàm của hàm số \( f(x) = 2x^3 - 6x^2 - x + 37 \), ta áp dụng công thức đạo hàm của các đơn thức và đa thức. Bước 1: Tính đạo hàm từng hạng tử của hàm số: - Đạo hàm của \( 2x^3 \) là \( 2 \cdot 3x^{3-1} = 6x^2 \) - Đạo hàm của \( -6x^2 \) là \( -6 \cdot 2x^{2-1} = -12x \) - Đạo hàm của \( -x \) là \( -1 \) - Đạo hàm của hằng số \( 37 \) là \( 0 \) Bước 2: Gộp lại ta có đạo hàm của hàm số \( f(x) \): \[ f'(x) = 6x^2 - 12x - 1 \] Bước 3: Thay \( x = 3 \) vào biểu thức đạo hàm để tính \( f'(3) \): \[ f'(3) = 6(3)^2 - 12(3) - 1 \] \[ f'(3) = 6 \cdot 9 - 12 \cdot 3 - 1 \] \[ f'(3) = 54 - 36 - 1 \] \[ f'(3) = 17 \] Vậy, đạo hàm của hàm số \( f(x) \) là \( f'(x) = 6x^2 - 12x - 1 \) và giá trị của đạo hàm tại điểm \( x = 3 \) là \( f'(3) = 17 \). Câu 2: Để tính vận tốc của vật chuyển động thẳng tại thời điểm \( t = 5 \) giây, ta cần tìm đạo hàm của hàm số \( s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( s(t) \): \[ s'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 6t^2 + 9t) \] \[ s'(t) = 3t^2 - 12t + 9 \] Bước 2: Thay \( t = 5 \) vào đạo hàm \( s'(t) \): \[ s'(5) = 3(5)^2 - 12(5) + 9 \] \[ s'(5) = 3 \cdot 25 - 12 \cdot 5 + 9 \] \[ s'(5) = 75 - 60 + 9 \] \[ s'(5) = 24 \] Vậy vận tốc của vật tại thời điểm \( t = 5 \) giây là 24 m/s. Câu 2. Phương trình $x^2 - 15 = 0$ có thể được giải như sau: Bước 1: Chuyển số 15 sang vế phải: \[ x^2 = 15 \] Bước 2: Tìm căn bậc hai của cả hai vế: \[ x = \pm \sqrt{15} \] Vậy phương trình có hai nghiệm là: \[ x_1 = \sqrt{15} \] \[ x_2 = -\sqrt{15} \] Đáp số: $x_1 = \sqrt{15}$ hoặc $x_2 = -\sqrt{15}$. Câu 3. Để tính $f^{\prime\prime}(-5)$, trước tiên chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số $f(x)$ và sau đó tìm đạo hàm của đạo hàm đó. Bước 1: Tìm đạo hàm của $f(x)$. $f(x) = -4x^3 + 9x^2 - 3x$ $f'(x) = (-4x^3)' + (9x^2)' - (3x)'$ $f'(x) = -12x^2 + 18x - 3$ Bước 2: Tìm đạo hàm của $f'(x)$. $f'(x) = -12x^2 + 18x - 3$ $f''(x) = (-12x^2)' + (18x)' - (3)'$ $f''(x) = -24x + 18$ Bước 3: Thay $x = -5$ vào $f''(x)$ để tính $f''(-5)$. $f''(-5) = -24(-5) + 18$ $f''(-5) = 120 + 18$ $f''(-5) = 138$ Vậy $f''(-5) = 138$. Câu 4. Để giải phương trình $2^{-3x+1} = 256$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Phương trình này không chứa phân thức, căn thức hoặc logarit nên không cần xác định ĐKXĐ. Bước 2: Viết lại phương trình dưới dạng cùng cơ số - Ta nhận thấy rằng $256$ có thể viết dưới dạng lũy thừa cơ số $2$: $256 = 2^8$. - Do đó, phương trình trở thành: $2^{-3x+1} = 2^8$. Bước 3: So sánh các mũ trong phương trình - Vì hai vế đều có cùng cơ số là $2$, ta có thể so sánh các mũ của chúng: $-3x + 1 = 8$ Bước 4: Giải phương trình bậc nhất - Ta giải phương trình $-3x + 1 = 8$: $-3x = 8 - 1$ $-3x = 7$ $x = \frac{-7}{3}$ Bước 5: Kết luận nghiệm - Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{-7}{3}$. Đáp số: $x = \frac{-7}{3}$.