cho đương tròn o , đường kính AB . Vẽ các tiếp tuyến Ax , By của đường thẳng . M là điểm nằm trên đường tròn . Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt Ax ,By lần lượt tại P,Q
a, Chứng minh rằng tứ giác APMQ nội tiếp
b, Chứng minh AP + BQ = PQ và AP.BQ = AO^2

Question

cho đương tròn o , đường kính AB . Vẽ các tiếp tuyến Ax , By của đường thẳng . M là điểm nằm trên đường tròn . Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt Ax ,By lần lượt tại P,Q
a, Chứng minh rằng tứ giác APMQ  nội tiếp 
b, Chứng minh AP + BQ = PQ và AP.BQ = AO^2

Timi · Accepted Answer

a) Ta có $\widehat{PAM} = \widehat{PMA}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung AM)
$\widehat{PAM} + \widehat{BQM} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra $\widehat{PMA} + \widehat{BQM} = 90^\circ$
Tứ giác APMQ nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180°)
b) Ta có $\widehat{APM} = \widehat{BQM}$ (cùng bù với $\widehat{PAM}$)
$\widehat{PAM} = \widehat{ABQ}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
Suy ra $	riangle PAM \sim 	riangle QBM$ (góc - góc)
Từ đó ta có $\frac{AP}{AM} = \frac{AM}{BQ}$ hay $AP \cdot BQ = AM^2 = AO^2$
Ta có $\widehat{APM} = \widehat{BQM}$ (chứng minh trên)
$\widehat{PAM} = \widehat{PQM}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung PM)
Suy ra $	riangle PAM \sim 	riangle PQM$ (góc - góc)
Từ đó ta có $\frac{AP}{PM} = \frac{PM}{PQ}$ hay $PM^2 = AP \cdot PQ$
Tương tự ta có $QM^2 = BQ \cdot PQ$
Suy ra $PQ^2 = PM^2 + QM^2 = AP \cdot PQ + BQ \cdot PQ$
Hay $PQ = AP + BQ$

cho đương tròn o , đường kính AB . Vẽ các tiếp tuyến Ax , By của đường thẳng . M là điểm nằm trên đường tròn . Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt Ax ,By lần lượt tại P,Q a, Chứng minh rằng tứ giác APM...