Câu 1:
Gọi số thứ nhất là \( x \) (điều kiện: \( x > 0 \)).
Theo đề bài, số thứ hai là \( 2x \) (vì số thứ nhất bằng $\frac{1}{2}$ số thứ hai).
Tổng hai số là 51, nên ta có phương trình:
\[ x + 2x = 51 \]
Giải phương trình này:
\[ 3x = 51 \]
\[ x = 51 : 3 \]
\[ x = 17 \]
Vậy số thứ nhất là 17, và số thứ hai là:
\[ 2x = 2 \times 17 = 34 \]
Đáp số: Số thứ hai là 34.
Câu 2:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Bước 1: Rút gọn biểu thức $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$ và $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$.
Bước 2: So sánh kết quả rút gọn với biểu thức $a - b\sqrt{5}$ để tìm giá trị của $a$ và $b$.
Bước 3: Tính giá trị của $a + b$.
Bước 1: Rút gọn biểu thức
Ta có:
\[ \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} \]
Giả sử $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(a - b\sqrt{5})^2}$. Ta cần tìm $a$ và $b$ sao cho:
\[ a^2 + 5b^2 = 9 \]
\[ 2ab = 4 \]
Từ $2ab = 4$, ta có:
\[ ab = 2 \]
Giải hệ phương trình:
\[ a^2 + 5b^2 = 9 \]
\[ ab = 2 \]
Thay $b = \frac{2}{a}$ vào phương trình đầu tiên:
\[ a^2 + 5\left(\frac{2}{a}\right)^2 = 9 \]
\[ a^2 + \frac{20}{a^2} = 9 \]
Nhân cả hai vế với $a^2$:
\[ a^4 + 20 = 9a^2 \]
\[ a^4 - 9a^2 + 20 = 0 \]
Đặt $t = a^2$, ta có phương trình bậc hai:
\[ t^2 - 9t + 20 = 0 \]
Giải phương trình bậc hai:
\[ t = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2} \]
\[ t = 5 \text{ hoặc } t = 4 \]
Vậy:
\[ a^2 = 5 \Rightarrow a = \sqrt{5} \text{ hoặc } a = -\sqrt{5} \]
\[ a^2 = 4 \Rightarrow a = 2 \text{ hoặc } a = -2 \]
Kiểm tra các trường hợp:
- Nếu $a = 2$, thì $b = 1$
- Nếu $a = -2$, thì $b = -1$
Do đó:
\[ \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = 2 - \sqrt{5} \]
Tiếp theo, ta có:
\[ \sqrt{7 + 2\sqrt{10}} \]
Giả sử $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{(c + d\sqrt{10})^2}$. Ta cần tìm $c$ và $d$ sao cho:
\[ c^2 + 10d^2 = 7 \]
\[ 2cd = 2 \]
Từ $2cd = 2$, ta có:
\[ cd = 1 \]
Giải hệ phương trình:
\[ c^2 + 10d^2 = 7 \]
\[ cd = 1 \]
Thay $d = \frac{1}{c}$ vào phương trình đầu tiên:
\[ c^2 + 10\left(\frac{1}{c}\right)^2 = 7 \]
\[ c^2 + \frac{10}{c^2} = 7 \]
Nhân cả hai vế với $c^2$:
\[ c^4 + 10 = 7c^2 \]
\[ c^4 - 7c^2 + 10 = 0 \]
Đặt $u = c^2$, ta có phương trình bậc hai:
\[ u^2 - 7u + 10 = 0 \]
Giải phương trình bậc hai:
\[ u = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} \]
\[ u = 5 \text{ hoặc } u = 2 \]
Vậy:
\[ c^2 = 5 \Rightarrow c = \sqrt{5} \text{ hoặc } c = -\sqrt{5} \]
\[ c^2 = 2 \Rightarrow c = \sqrt{2} \text{ hoặc } c = -\sqrt{2} \]
Kiểm tra các trường hợp:
- Nếu $c = \sqrt{2}$, thì $d = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- Nếu $c = -\sqrt{2}$, thì $d = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Do đó:
\[ \sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{2} + \sqrt{5} \]
Bước 2: So sánh kết quả rút gọn với biểu thức $a - b\sqrt{5}$
Ta có:
\[ \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} - \sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = (2 - \sqrt{5}) - (\sqrt{2} + \sqrt{5}) \]
\[ = 2 - \sqrt{5} - \sqrt{2} - \sqrt{5} \]
\[ = 2 - \sqrt{2} - 2\sqrt{5} \]
So sánh với $a - b\sqrt{5}$, ta thấy:
\[ a = 2 - \sqrt{2} \]
\[ b = 2 \]
Bước 3: Tính giá trị của $a + b$
\[ a + b = (2 - \sqrt{2}) + 2 = 4 - \sqrt{2} \]
Vậy giá trị của $a + b$ là:
\[ \boxed{4 - \sqrt{2}} \]
Câu 3:
Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} \), ta sẽ biến đổi biểu thức này thành dạng có thể dễ dàng tìm giá trị lớn nhất.
Bước 1: Biến đổi biểu thức \( P \):
\[ P = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} \]
Bước 2: Ta thấy rằng \( P \) có thể được viết lại dưới dạng:
\[ P = 1 - \frac{2x}{x^2 + x + 1} \]
Bước 3: Để tìm giá trị lớn nhất của \( P \), ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( \frac{2x}{x^2 + x + 1} \).
Bước 4: Xét biểu thức \( \frac{2x}{x^2 + x + 1} \):
- Ta thấy rằng \( x^2 + x + 1 \geq 0 \) với mọi \( x \) (vì \( x^2 + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0 \)).
- Do đó, \( \frac{2x}{x^2 + x + 1} \) sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi \( x = 0 \).
Bước 5: Thay \( x = 0 \) vào biểu thức \( \frac{2x}{x^2 + x + 1} \):
\[ \frac{2 \cdot 0}{0^2 + 0 + 1} = 0 \]
Bước 6: Vậy giá trị nhỏ nhất của \( \frac{2x}{x^2 + x + 1} \) là 0, do đó giá trị lớn nhất của \( P \) là:
\[ P = 1 - 0 = 1 \]
Bước 7: Giá trị của biểu thức \( 2024k \) khi \( k = 1 \) là:
\[ 2024 \times 1 = 2024 \]
Đáp số: 2024
Câu 4:
Để tìm số đo của góc BOD, ta cần sử dụng các kiến thức về đường tròn và góc nội tiếp.
1. Xác định góc nội tiếp và góc tâm:
- Góc BAD là góc nội tiếp chắn cung BD.
- Góc BOD là góc tâm chắn cung BD.
2. Tính số đo của góc BOD:
- Theo tính chất của góc nội tiếp và góc tâm, số đo của góc tâm gấp đôi số đo của góc nội tiếp cùng chắn một cung.
- Vậy số đo của góc BOD = 2 × số đo của góc BAD.
3. Áp dụng vào bài toán:
- Số đo của góc BAD = 130°.
- Số đo của góc BOD = 2 × 130° = 260°.
Tuy nhiên, góc BOD là góc tâm nên nó nằm trong phạm vi 0° đến 360°. Vì vậy, ta cần kiểm tra lại xem có sai sót nào không.
- Ta nhận thấy rằng góc BAD = 130°, nhưng góc tâm BOD không thể lớn hơn 180° nếu nó nằm trong cùng một nửa đường tròn. Do đó, ta cần xem xét lại góc BOD.
4. Kiểm tra lại góc BOD:
- Góc BAD = 130°, vậy góc BOD = 2 × 130° = 260°, nhưng đây là góc ngoài đường tròn.
- Góc BOD thực tế nằm trong đường tròn nên số đo của góc BOD = 360° - 260° = 100°.
Vậy số đo của góc BOD là 100°.
Đáp số: 100°.
Câu 5:
Diện tích hình tam giác ABC là:
\[ \frac{1}{2} \times 20 \times 20 = 200 \text{ (m}^2) \]
Diện tích hình tròn tâm B, bán kính 20m là:
\[ 3,14 \times 20 \times 20 = 1256 \text{ (m}^2) \]
Diện tích hình quạt tâm B, bán kính 20m, cung chứa góc 45° là:
\[ \frac{45}{360} \times 1256 = 157 \text{ (m}^2) \]
Diện tích phần đất trồng cỏ là:
\[ 200 - 157 = 43 \text{ (m}^2) \]
Đáp số: 43 m²