Giúp mình với!

Câu 1: Gọi số thứ nhất là \( x \) (điều kiện: \( x > 0 \)). Theo đề bài, số thứ hai là \( 2x \) (vì số thứ nhất bằng $\frac{1}{2}$ số thứ hai). Tổng hai số là 51, nên ta có phương trình: \[ x + 2x = 51 \] Giải phương trình này: \[ 3x = 51 \] \[ x = 51 : 3 \] \[ x = 17 \] Vậy số thứ nhất là 17, và số thứ hai là: \[ 2x = 2 \times 17 = 34 \] Đáp số: Số thứ hai là 34. Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$ và $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$. Bước 2: So sánh kết quả rút gọn với biểu thức $a - b\sqrt{5}$ để tìm giá trị của $a$ và $b$. Bước 3: Tính giá trị của $a + b$. Bước 1: Rút gọn biểu thức Ta có: \[ \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} \] Giả sử $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(a - b\sqrt{5})^2}$. Ta cần tìm $a$ và $b$ sao cho: \[ a^2 + 5b^2 = 9 \] \[ 2ab = 4 \] Từ $2ab = 4$, ta có: \[ ab = 2 \] Giải hệ phương trình: \[ a^2 + 5b^2 = 9 \] \[ ab = 2 \] Thay $b = \frac{2}{a}$ vào phương trình đầu tiên: \[ a^2 + 5\left(\frac{2}{a}\right)^2 = 9 \] \[ a^2 + \frac{20}{a^2} = 9 \] Nhân cả hai vế với $a^2$: \[ a^4 + 20 = 9a^2 \] \[ a^4 - 9a^2 + 20 = 0 \] Đặt $t = a^2$, ta có phương trình bậc hai: \[ t^2 - 9t + 20 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2} \] \[ t = 5 \text{ hoặc } t = 4 \] Vậy: \[ a^2 = 5 \Rightarrow a = \sqrt{5} \text{ hoặc } a = -\sqrt{5} \] \[ a^2 = 4 \Rightarrow a = 2 \text{ hoặc } a = -2 \] Kiểm tra các trường hợp: - Nếu $a = 2$, thì $b = 1$ - Nếu $a = -2$, thì $b = -1$ Do đó: \[ \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = 2 - \sqrt{5} \] Tiếp theo, ta có: \[ \sqrt{7 + 2\sqrt{10}} \] Giả sử $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{(c + d\sqrt{10})^2}$. Ta cần tìm $c$ và $d$ sao cho: \[ c^2 + 10d^2 = 7 \] \[ 2cd = 2 \] Từ $2cd = 2$, ta có: \[ cd = 1 \] Giải hệ phương trình: \[ c^2 + 10d^2 = 7 \] \[ cd = 1 \] Thay $d = \frac{1}{c}$ vào phương trình đầu tiên: \[ c^2 + 10\left(\frac{1}{c}\right)^2 = 7 \] \[ c^2 + \frac{10}{c^2} = 7 \] Nhân cả hai vế với $c^2$: \[ c^4 + 10 = 7c^2 \] \[ c^4 - 7c^2 + 10 = 0 \] Đặt $u = c^2$, ta có phương trình bậc hai: \[ u^2 - 7u + 10 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ u = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} \] \[ u = 5 \text{ hoặc } u = 2 \] Vậy: \[ c^2 = 5 \Rightarrow c = \sqrt{5} \text{ hoặc } c = -\sqrt{5} \] \[ c^2 = 2 \Rightarrow c = \sqrt{2} \text{ hoặc } c = -\sqrt{2} \] Kiểm tra các trường hợp: - Nếu $c = \sqrt{2}$, thì $d = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ - Nếu $c = -\sqrt{2}$, thì $d = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ Do đó: \[ \sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{2} + \sqrt{5} \] Bước 2: So sánh kết quả rút gọn với biểu thức $a - b\sqrt{5}$ Ta có: \[ \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} - \sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = (2 - \sqrt{5}) - (\sqrt{2} + \sqrt{5}) \] \[ = 2 - \sqrt{5} - \sqrt{2} - \sqrt{5} \] \[ = 2 - \sqrt{2} - 2\sqrt{5} \] So sánh với $a - b\sqrt{5}$, ta thấy: \[ a = 2 - \sqrt{2} \] \[ b = 2 \] Bước 3: Tính giá trị của $a + b$ \[ a + b = (2 - \sqrt{2}) + 2 = 4 - \sqrt{2} \] Vậy giá trị của $a + b$ là: \[ \boxed{4 - \sqrt{2}} \] Câu 3: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} \), ta sẽ biến đổi biểu thức này thành dạng có thể dễ dàng tìm giá trị lớn nhất. Bước 1: Biến đổi biểu thức \( P \): \[ P = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} \] Bước 2: Ta thấy rằng \( P \) có thể được viết lại dưới dạng: \[ P = 1 - \frac{2x}{x^2 + x + 1} \] Bước 3: Để tìm giá trị lớn nhất của \( P \), ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( \frac{2x}{x^2 + x + 1} \). Bước 4: Xét biểu thức \( \frac{2x}{x^2 + x + 1} \): - Ta thấy rằng \( x^2 + x + 1 \geq 0 \) với mọi \( x \) (vì \( x^2 + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0 \)). - Do đó, \( \frac{2x}{x^2 + x + 1} \) sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi \( x = 0 \). Bước 5: Thay \( x = 0 \) vào biểu thức \( \frac{2x}{x^2 + x + 1} \): \[ \frac{2 \cdot 0}{0^2 + 0 + 1} = 0 \] Bước 6: Vậy giá trị nhỏ nhất của \( \frac{2x}{x^2 + x + 1} \) là 0, do đó giá trị lớn nhất của \( P \) là: \[ P = 1 - 0 = 1 \] Bước 7: Giá trị của biểu thức \( 2024k \) khi \( k = 1 \) là: \[ 2024 \times 1 = 2024 \] Đáp số: 2024 Câu 4: Để tìm số đo của góc BOD, ta cần sử dụng các kiến thức về đường tròn và góc nội tiếp. 1. Xác định góc nội tiếp và góc tâm: - Góc BAD là góc nội tiếp chắn cung BD. - Góc BOD là góc tâm chắn cung BD. 2. Tính số đo của góc BOD: - Theo tính chất của góc nội tiếp và góc tâm, số đo của góc tâm gấp đôi số đo của góc nội tiếp cùng chắn một cung. - Vậy số đo của góc BOD = 2 × số đo của góc BAD. 3. Áp dụng vào bài toán: - Số đo của góc BAD = 130°. - Số đo của góc BOD = 2 × 130° = 260°. Tuy nhiên, góc BOD là góc tâm nên nó nằm trong phạm vi 0° đến 360°. Vì vậy, ta cần kiểm tra lại xem có sai sót nào không. - Ta nhận thấy rằng góc BAD = 130°, nhưng góc tâm BOD không thể lớn hơn 180° nếu nó nằm trong cùng một nửa đường tròn. Do đó, ta cần xem xét lại góc BOD. 4. Kiểm tra lại góc BOD: - Góc BAD = 130°, vậy góc BOD = 2 × 130° = 260°, nhưng đây là góc ngoài đường tròn. - Góc BOD thực tế nằm trong đường tròn nên số đo của góc BOD = 360° - 260° = 100°. Vậy số đo của góc BOD là 100°. Đáp số: 100°. Câu 5: Diện tích hình tam giác ABC là: \[ \frac{1}{2} \times 20 \times 20 = 200 \text{ (m}^2) \] Diện tích hình tròn tâm B, bán kính 20m là: \[ 3,14 \times 20 \times 20 = 1256 \text{ (m}^2) \] Diện tích hình quạt tâm B, bán kính 20m, cung chứa góc 45° là: \[ \frac{45}{360} \times 1256 = 157 \text{ (m}^2) \] Diện tích phần đất trồng cỏ là: \[ 200 - 157 = 43 \text{ (m}^2) \] Đáp số: 43 m²