Giúp mình với! PHAN III. Câu trăc nghiệm trả lời ngăn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đên câu 6.,Câu 1: Tổng hai số tự nhiên bằng 51. Biết số thứ nhất bằng $\frac12$ số thứ hai. Tìm số thứ hai ?,Câu 2: Cho $\sqrt{9-4\sqrt5}-\sqrt{7+2\sqrt{10}}=a-b\sqrt5.$ Khi đó, giá trị của a + b có kết quả là ....,Câu 3: Cho $P=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}.$ Gọi k là giá trị lớn nhất của P. Giá trị của biểu thức 2024k là:,Câu 4: Cho hình vẽ sau, biết $BAD=130^0.$ Số đo của BOD là..... ,,Câu 5: Một khu đất có dạng hình tam giác ABC vuông cần tại A với độ dài cạnh là 20m.,Người ta trồng hoa trên mảnh đất hình quạt (phần được tô đậm), phần còn lại trồng cỏ. Tính,diện tích phần đất trồng cỏ (lấy $\pi\approx3,14).$

Question

Giúp mình với! PHAN III. Câu trăc nghiệm trả lời ngăn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đên câu 6.,Câu 1: Tổng hai số tự nhiên bằng 51. Biết số thứ nhất bằng $\frac12$ số thứ hai. Tìm số thứ hai ?,Câu 2: Cho $\sqrt{9-4\sqrt5}-\sqrt{7+2\sqrt{10}}=a-b\sqrt5.$ Khi đó, giá trị của a + b có kết quả là ....,Câu 3: Cho $P=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}.$ Gọi k là giá trị lớn nhất của P. Giá trị của biểu thức 2024k là:,Câu 4: Cho hình vẽ sau, biết $BAD=130^0.$ Số đo của BOD là.....   ,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/2e4ccc9677e348a59d7d4851d028cdfd.jpg />,Câu 5: Một khu đất có dạng hình tam giác ABC vuông cần tại A với độ dài cạnh là 20m.,Người ta trồng hoa trên mảnh đất hình quạt (phần được tô đậm), phần còn lại trồng cỏ. Tính,diện tích phần đất trồng cỏ (lấy $\pi\approx3,14).$

Accepted Answer

Câu 1:
Gọi số thứ nhất là $ x $ (điều kiện: $ x > 0 $).

Theo đề bài, số thứ hai là $ 2x $ (vì số thứ nhất bằng $\frac{1}{2}$ số thứ hai).

Tổng hai số là 51, nên ta có phương trình:
$$ x + 2x = 51 $$

Giải phương trình này:
$$ 3x = 51 $$
$$ x = 51 : 3 $$
$$ x = 17 $$

Vậy số thứ nhất là 17, và số thứ hai là:
$$ 2x = 2 \times 17 = 34 $$

Đáp số: Số thứ hai là 34.

Câu 2:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Rút gọn biểu thức $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$ và $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$.

Bước 2: So sánh kết quả rút gọn với biểu thức $a - b\sqrt{5}$ để tìm giá trị của $a$ và $b$.

Bước 3: Tính giá trị của $a + b$.

Bước 1: Rút gọn biểu thức

Ta có:
$$ \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} $$

Giả sử $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(a - b\sqrt{5})^2}$. Ta cần tìm $a$ và $b$ sao cho:
$$ a^2 + 5b^2 = 9 $$
$$ 2ab = 4 $$

Từ $2ab = 4$, ta có:
$$ ab = 2 $$

Giải hệ phương trình:
$$ a^2 + 5b^2 = 9 $$
$$ ab = 2 $$

Thay $b = \frac{2}{a}$ vào phương trình đầu tiên:
$$ a^2 + 5\left(\frac{2}{a}\right)^2 = 9 $$
$$ a^2 + \frac{20}{a^2} = 9 $$

Nhân cả hai vế với $a^2$:
$$ a^4 + 20 = 9a^2 $$
$$ a^4 - 9a^2 + 20 = 0 $$

Đặt $t = a^2$, ta có phương trình bậc hai:
$$ t^2 - 9t + 20 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai:
$$ t = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2} $$
$$ t = 5 \text{ hoặc } t = 4 $$

Vậy:
$$ a^2 = 5 \Rightarrow a = \sqrt{5} \text{ hoặc } a = -\sqrt{5} $$
$$ a^2 = 4 \Rightarrow a = 2 \text{ hoặc } a = -2 $$

Kiểm tra các trường hợp:
- Nếu $a = 2$, thì $b = 1$
- Nếu $a = -2$, thì $b = -1$

Do đó:
$$ \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = 2 - \sqrt{5} $$

Tiếp theo, ta có:
$$ \sqrt{7 + 2\sqrt{10}} $$

Giả sử $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{(c + d\sqrt{10})^2}$. Ta cần tìm $c$ và $d$ sao cho:
$$ c^2 + 10d^2 = 7 $$
$$ 2cd = 2 $$

Từ $2cd = 2$, ta có:
$$ cd = 1 $$

Giải hệ phương trình:
$$ c^2 + 10d^2 = 7 $$
$$ cd = 1 $$

Thay $d = \frac{1}{c}$ vào phương trình đầu tiên:
$$ c^2 + 10\left(\frac{1}{c}\right)^2 = 7 $$
$$ c^2 + \frac{10}{c^2} = 7 $$

Nhân cả hai vế với $c^2$:
$$ c^4 + 10 = 7c^2 $$
$$ c^4 - 7c^2 + 10 = 0 $$

Đặt $u = c^2$, ta có phương trình bậc hai:
$$ u^2 - 7u + 10 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai:
$$ u = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} $$
$$ u = 5 \text{ hoặc } u = 2 $$

Vậy:
$$ c^2 = 5 \Rightarrow c = \sqrt{5} \text{ hoặc } c = -\sqrt{5} $$
$$ c^2 = 2 \Rightarrow c = \sqrt{2} \text{ hoặc } c = -\sqrt{2} $$

Kiểm tra các trường hợp:
- Nếu $c = \sqrt{2}$, thì $d = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- Nếu $c = -\sqrt{2}$, thì $d = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Do đó:
$$ \sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{2} + \sqrt{5} $$

Bước 2: So sánh kết quả rút gọn với biểu thức $a - b\sqrt{5}$

Ta có:
$$ \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} - \sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = (2 - \sqrt{5}) - (\sqrt{2} + \sqrt{5}) $$
$$ = 2 - \sqrt{5} - \sqrt{2} - \sqrt{5} $$
$$ = 2 - \sqrt{2} - 2\sqrt{5} $$

So sánh với $a - b\sqrt{5}$, ta thấy:
$$ a = 2 - \sqrt{2} $$
$$ b = 2 $$

Bước 3: Tính giá trị của $a + b$

$$ a + b = (2 - \sqrt{2}) + 2 = 4 - \sqrt{2} $$

Vậy giá trị của $a + b$ là:
$$ \boxed{4 - \sqrt{2}} $$

Câu 3:
Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ P = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} $, ta sẽ biến đổi biểu thức này thành dạng có thể dễ dàng tìm giá trị lớn nhất.

Bước 1: Biến đổi biểu thức $ P $:
$$ P = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} $$

Bước 2: Ta thấy rằng $ P $ có thể được viết lại dưới dạng:
$$ P = 1 - \frac{2x}{x^2 + x + 1} $$

Bước 3: Để tìm giá trị lớn nhất của $ P $, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $ \frac{2x}{x^2 + x + 1} $.

Bước 4: Xét biểu thức $ \frac{2x}{x^2 + x + 1} $:
- Ta thấy rằng $ x^2 + x + 1 \geq 0 $ với mọi $ x $ (vì $ x^2 + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0 $).
- Do đó, $ \frac{2x}{x^2 + x + 1} $ sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi $ x = 0 $.

Bước 5: Thay $ x = 0 $ vào biểu thức $ \frac{2x}{x^2 + x + 1} $:
$$ \frac{2 \cdot 0}{0^2 + 0 + 1} = 0 $$

Bước 6: Vậy giá trị nhỏ nhất của $ \frac{2x}{x^2 + x + 1} $ là 0, do đó giá trị lớn nhất của $ P $ là:
$$ P = 1 - 0 = 1 $$

Bước 7: Giá trị của biểu thức $ 2024k $ khi $ k = 1 $ là:
$$ 2024 \times 1 = 2024 $$

Đáp số: 2024

Câu 4:
Để tìm số đo của góc BOD, ta cần sử dụng các kiến thức về đường tròn và góc nội tiếp.

1. Xác định góc nội tiếp và góc tâm:
   - Góc BAD là góc nội tiếp chắn cung BD.
   - Góc BOD là góc tâm chắn cung BD.

2. Tính số đo của góc BOD:
   - Theo tính chất của góc nội tiếp và góc tâm, số đo của góc tâm gấp đôi số đo của góc nội tiếp cùng chắn một cung.
   - Vậy số đo của góc BOD = 2 × số đo của góc BAD.

3. Áp dụng vào bài toán:
   - Số đo của góc BAD = 130°.
   - Số đo của góc BOD = 2 × 130° = 260°.

Tuy nhiên, góc BOD là góc tâm nên nó nằm trong phạm vi 0° đến 360°. Vì vậy, ta cần kiểm tra lại xem có sai sót nào không.

- Ta nhận thấy rằng góc BAD = 130°, nhưng góc tâm BOD không thể lớn hơn 180° nếu nó nằm trong cùng một nửa đường tròn. Do đó, ta cần xem xét lại góc BOD.

4. Kiểm tra lại góc BOD:
   - Góc BAD = 130°, vậy góc BOD = 2 × 130° = 260°, nhưng đây là góc ngoài đường tròn.
   - Góc BOD thực tế nằm trong đường tròn nên số đo của góc BOD = 360° - 260° = 100°.

Vậy số đo của góc BOD là 100°.

Đáp số: 100°.

Câu 5:
Diện tích hình tam giác ABC là:
$$ \frac{1}{2} \times 20 \times 20 = 200 \text{ (m}^2) $$

Diện tích hình tròn tâm B, bán kính 20m là:
$$ 3,14 \times 20 \times 20 = 1256 \text{ (m}^2) $$

Diện tích hình quạt tâm B, bán kính 20m, cung chứa góc 45° là:
$$ \frac{45}{360} \times 1256 = 157 \text{ (m}^2) $$

Diện tích phần đất trồng cỏ là:
$$ 200 - 157 = 43 \text{ (m}^2) $$

Đáp số: 43 m²