cho a,b,c dương có abc=1 và a+b+c 1/a + 1/b+ 1/c chứng minh rằng (a-1)(b-1)(c-1)0

Question

cho a,b,c dương có abc=1 và a+b+c > 1/a + 1/b+ 1/c chứng minh rằng (a-1)(b-1)(c-1)>0

Vu Nguyen · Accepted Answer

Xét biểu thức:

$(a-1)(b-1)(c-1)$

$= abc - ab - bc - ca + a + b + c - 1$

$= (abc) + (a+b+c) - (ab+bc+ca) - 1$

Theo giả thiết $abc = 1$, ta có:

$= 1 + (a+b+c) - (ab+bc+ca) - 1$

$= (a+b+c) - (ab+bc+ca)$

Mặt khác, từ giả thiết $a+b+c > \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$, ta có:

$a+b+c > \frac{bc+ac+ab}{abc}$

Vì $abc=1$ nên:

$a+b+c > ab+bc+ca$

$\Leftrightarrow (a+b+c) - (ab+bc+ca) > 0$

Suy ra:

$(a-1)(b-1)(c-1) > 0$ (đpcm).

Timi · Answer

Để chứng minh rằng $(a-1)(b-1)(c-1) > 0$, chúng ta sẽ tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Xét các trường hợp có thể xảy ra cho $a, b, c$: - Trường hợp 1: Tất cả $a, b, c$ đều lớn hơn 1. - Trường hợp 2: Tất cả $a, b, c$ đều nhỏ hơn 1. - Trường hợp 3: Một trong ba số $a, b, c$ lớn hơn 1, còn lại nhỏ hơn 1. Bước 2: Xét từng trường hợp: Trường hợp 1: Tất cả $a, b, c$ đều lớn hơn 1. - Ta có $a > 1$, $b > 1$, $c > 1$. - Suy ra $a - 1 > 0$, $b - 1 > 0$, $c - 1 > 0$. - Do đó, $(a-1)(b-1)(c-1) > 0$. Trường hợp 2: Tất cả $a, b, c$ đều nhỏ hơn 1. - Ta có $a < 1$, $b < 1$, $c < 1$. - Suy ra $a - 1 < 0$, $b - 1 < 0$, $c - 1 < 0$. - Do đó, $(a-1)(b-1)(c-1) > 0$ (vì tích của ba số âm là một số dương). Trường hợp 3: Một trong ba số $a, b, c$ lớn hơn 1, còn lại nhỏ hơn 1. - Giả sử $a > 1$, $b < 1$, $c < 1$. - Suy ra $a - 1 > 0$, $b - 1 < 0$, $c - 1 < 0$. - Do đó, $(a-1)(b-1)(c-1) > 0$ (vì tích của một số dương và hai số âm là một số dương). Bước 3: Kết luận: - Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng trong mọi trường hợp, $(a-1)(b-1)(c-1) > 0$. Do đó, ta đã chứng minh rằng $(a-1)(b-1)(c-1) > 0$.