1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB

Question

1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Hai đường cao AD và BE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi M,N lần lượt là giao điểm của (O) với các tia BE, AD (M$
eq$B, N$
eq$A).
a. Chứng minh: Tứ giác ABDE nội tiếp, và xác định tâm I của đường tròn này. Từ đó suy ra DE//MN.

b. Kẻ đường kính CK của (O). Chứng minh tứ giác AKBH là hình bình hành và suy ra 3 điểm H,I,K thẳng hàng.

Accepted Answer

a. Ta có $\widehat{AEB}=\widehat{ADC}=90^\circ$ nên tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn tâm I (I là trung điểm của AB). 
Từ đó ta có $\widehat{EDB}=\widehat{EAB}$. 
Mà $\widehat{EAB}=\widehat{NMB}$ (cùng chắn cung NB) nên $\widehat{EDB}=\widehat{NMB}$. 
Vậy DE // MN.
b. Ta có $\widehat{AKB}=\widehat{ACB}=\widehat{AHB}$ (cùng bù với $\widehat{BHC}$) nên AKBH là tứ giác nội tiếp. 
Mà CK là đường kính của (O) nên $\widehat{CAK}=90^\circ$. 
Vậy $\widehat{CAK}+\widehat{CBK}=180^\circ$ nên $\widehat{CBK}=90^\circ$. 
Từ đó ta có $\widehat{AHB}=90^\circ$. 
Ta có $\widehat{BAK}=\widehat{BCN}$ (cùng chắn cung BK) và $\widehat{BCN}=\widehat{BAN}$ (cùng chắn cung BN) nên $\widehat{BAK}=\widehat{BAN}$. 
Vậy AK là tia phân giác của $\widehat{BAN}$. 
Mà AK là đường kính của (O) nên AK đi qua tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE. 
Vậy 3 điểm H, I, K thẳng hàng.

1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Hai đường cao AD và BE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi M,N lần lượt là giao điểm của (O) với các tia BE, AD (M$\neq$B, N$\neq$...