giải giúp em

Câu 1. Trước tiên, ta xác định vị trí của điểm I. Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB, do đó vectơ $\overrightarrow{AI}$ sẽ có cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$. Ta kiểm tra từng đáp án: - Đáp án A: $\overrightarrow{BI}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AI}$ vì I là trung điểm của AB, nên $\overrightarrow{BI}$ sẽ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$. - Đáp án B: $\overrightarrow{CD}$ không liên quan đến $\overrightarrow{AI}$ vì CD không nằm trên đường thẳng AB. - Đáp án C: $\overrightarrow{CI}$ không liên quan đến $\overrightarrow{AI}$ vì CI không nằm trên đường thẳng AB. - Đáp án D: $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AI}$ vì I là trung điểm của AB. Vậy vectơ $\overrightarrow{AI}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$. Đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{AB}$ Câu 2. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', vectơ $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ chỉ từ đỉnh A lên đỉnh A'. Vectơ $\overrightarrow{AD}$ là vectơ chỉ từ đỉnh A sang đỉnh D. Ta cần tính tổng của hai vectơ này: \[ \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD} \] Theo quy tắc hình học của vectơ, ta có thể cộng hai vectơ này bằng cách đặt đầu của vectơ thứ hai trùng với đuôi của vectơ thứ nhất. Khi đó, tổng của hai vectơ sẽ là vectơ từ điểm đầu của vectơ thứ nhất đến điểm cuối của vectơ thứ hai. Trong trường hợp này, nếu ta đặt đầu của vectơ $\overrightarrow{AD}$ trùng với đuôi của vectơ $\overrightarrow{AA'}$, ta sẽ có: \[ \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC'} \] Tuy nhiên, vì chúng ta đang xét trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', vectơ $\overrightarrow{AC'}$ không nằm trong các lựa chọn đã cho. Do đó, ta cần kiểm tra lại các lựa chọn đã cho để tìm ra đáp án đúng. Các lựa chọn đã cho là: A. $\overrightarrow{AD}$ B. $\overrightarrow{AB}$ C. $\overrightarrow{AC}$ D. $\overrightarrow{AC}$ Nhìn vào hình hộp, ta thấy rằng vectơ $\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD}$ sẽ dẫn đến đỉnh C của hình hộp, tức là: \[ \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \] Do đó, đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{AC}$ Đáp số: C. $\overrightarrow{AC}$ Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của trọng tâm và các vectơ trong hình học không gian. Trước tiên, ta biết rằng trọng tâm G của tam giác BCD chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1. Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) \] Nhân cả hai vế với 3, ta được: \[ 3 \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} \] Vậy, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}$ bằng $3 \overrightarrow{AG}$. Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~3\overrightarrow{AG}. \] Câu 4. Trước tiên, ta xác định vị trí của các điểm M và N: - M là trung điểm của BC, do đó $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MC}$. - N là trung điểm của CD, do đó $\overrightarrow{CN} = \overrightarrow{ND}$. Ta cần tìm vectơ nào bằng 2MN. Ta sẽ tính $\overrightarrow{MN}$ trước: \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CN} \] Vì M và N là trung điểm, nên: \[ \overrightarrow{MC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} \] Do đó: \[ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} \] Bây giờ, ta nhân $\overrightarrow{MN}$ với 2: \[ 2\overrightarrow{MN} = 2 \left( \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} \right) = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} \] Ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BD} \] Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', ta có: \[ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{A^\prime C^\prime} \] Vậy, vectơ bằng 2MN là $\overrightarrow{A^\prime C^\prime}$. Đáp án đúng là: $B.~\overrightarrow{A^\prime C^\prime}$. Câu 5. Để tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}$, ta sử dụng công thức скалярного произведения векторов: \[ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CA}| \cdot \cos(\theta) \] Trong đó: - $|\overrightarrow{AB}|$ là độ dài của вектор $\overrightarrow{AB}$. - $|\overrightarrow{CA}|$ là độ dài của вектор $\overrightarrow{CA}$. - $\theta$ là góc giữa hai вектор $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CA}$. Vì tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2, nên: - $|\overrightarrow{AB}| = 2$ - $|\overrightarrow{CA}| = 2$ Góc giữa hai вектор $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CA}$ trong tứ diện đều là 120° (góc giữa hai cạnh của một tam giác đều khi nhìn từ đỉnh thứ ba). Do đó: \[ \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \] Thay vào công thức скалярного произведения: \[ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA} = 2 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \] Vậy đáp án đúng là D. -2. Câu 6. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{a} = (3; -1; 2)$ được tính bằng công thức: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2} \] Ta thực hiện các phép tính bên trong căn bậc hai: \[ 3^2 = 9 \] \[ (-1)^2 = 1 \] \[ 2^2 = 4 \] Cộng các kết quả lại: \[ 9 + 1 + 4 = 14 \] Do đó, độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ là: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{14} \] Vậy đáp án đúng là: \[ B. \sqrt{14} \] Câu 7. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$, ta thực hiện phép cộng từng thành phần của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ là $(1, -1, 2)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{b}$ là $(2, 3, -3)$. Ta thực hiện phép cộng từng thành phần: - Thành phần thứ nhất: $1 + 2 = 3$ - Thành phần thứ hai: $-1 + 3 = 2$ - Thành phần thứ ba: $2 + (-3) = -1$ Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ là $(3, 2, -1)$. Do đó, đáp án đúng là: C. $(3, 2, -1)$. Câu 8. Để tìm tọa độ của vectơ 3$\overrightarrow{a}$, ta nhân mỗi thành phần của vectơ $\overrightarrow{a}$ với 3. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ là (2; -4; 0). Nhân mỗi thành phần của vectơ $\overrightarrow{a}$ với 3: - Thành phần thứ nhất: 3 × 2 = 6 - Thành phần thứ hai: 3 × (-4) = -12 - Thành phần thứ ba: 3 × 0 = 0 Vậy tọa độ của vectơ 3$\overrightarrow{a}$ là (6; -12; 0). Do đó, đáp án đúng là: D. (6; -12; 0).