Giúp em với

Câu 1: Để tính giá trị của \( F(4) \), ta cần tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \sqrt{3} \). Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) \). Nguyên hàm của \( f(x) = \sqrt{3} \) là: \[ F(x) = \int \sqrt{3} \, dx = \sqrt{3}x + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Xác định hằng số \( C \) dựa trên điều kiện \( F(1) = 3 \). Thay \( x = 1 \) vào \( F(x) \): \[ F(1) = \sqrt{3}(1) + C = 3 \] \[ \sqrt{3} + C = 3 \] \[ C = 3 - \sqrt{3} \] Bước 3: Viết lại biểu thức của \( F(x) \) với hằng số \( C \) đã tìm được. \[ F(x) = \sqrt{3}x + (3 - \sqrt{3}) \] Bước 4: Tính giá trị của \( F(4) \). Thay \( x = 4 \) vào \( F(x) \): \[ F(4) = \sqrt{3}(4) + (3 - \sqrt{3}) \] \[ F(4) = 4\sqrt{3} + 3 - \sqrt{3} \] \[ F(4) = 3\sqrt{3} + 3 \] Vậy giá trị của \( F(4) \) là: \[ F(4) = 3\sqrt{3} + 3 \] Câu 2: Phương trình của quả bóng bay là $x^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 1$. Đây là phương trình của một hình cầu tâm $I(0, 0, 2)$ và bán kính $r = 1$. Đỉnh của quả bóng bay là điểm xa nhất so với tâm $I$ theo phương thẳng đứng. Vì vậy, đỉnh của quả bóng bay sẽ nằm trên đường thẳng đi qua tâm $I$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$. Tọa độ của đỉnh quả bóng bay sẽ là $(0, 0, z)$, với $z$ là tọa độ $z$ của đỉnh. Ta có: \[ (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (z - 2)^2 = 1 \] \[ (z - 2)^2 = 1 \] \[ z - 2 = \pm 1 \] Do đó, ta có hai trường hợp: 1. $z - 2 = 1 \Rightarrow z = 3$ 2. $z - 2 = -1 \Rightarrow z = 1$ Trong hai trường hợp này, đỉnh của quả bóng bay là điểm xa nhất so với mặt phẳng $(Oxy)$, tức là điểm có tọa độ $z = 3$. Vậy chú chim cách mặt đất số mét là: \[ z = 3 \] Đáp số: 3 mét. Câu 3: Để tính $\int^2_1[f(x)+4x]dx$, ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân để tách riêng từng phần trong dấu tích phân. Ta có: \[ \int^2_1[f(x)+4x]dx = \int^2_1 f(x) dx + \int^2_1 4x dx \] Theo đề bài, ta biết rằng: \[ \int^2_1 f(x) dx = 7 \] Bây giờ, ta tính $\int^2_1 4x dx$: \[ \int^2_1 4x dx = 4 \int^2_1 x dx \] Tích phân của $x$ từ 1 đến 2 là: \[ \int^2_1 x dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|^2_1 = \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] Do đó: \[ 4 \int^2_1 x dx = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6 \] Vậy: \[ \int^2_1 [f(x) + 4x] dx = 7 + 6 = 13 \] Đáp số: $\int^2_1 [f(x) + 4x] dx = 13$. Câu 4: Để tính khoảng cách từ điểm bắn \( A(2;1;3) \) đến điểm mà viên đạn chạm vào bức tường (gọi là điểm \( P \)), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình đường thẳng mà viên đạn di chuyển: - Đường thẳng đi qua điểm \( A(2;1;3) \) và có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{u} = (1;2;2) \). - Phương trình tham số của đường thẳng: \[ \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 3 + 2t \end{cases} \] 2. Tìm tọa độ giao điểm \( P \) của đường thẳng với mặt phẳng: - Mặt phẳng có phương trình: \( 2x - y + 2z - 10 = 0 \). - Thay phương trình tham số của đường thẳng vào phương trình mặt phẳng: \[ 2(2 + t) - (1 + 2t) + 2(3 + 2t) - 10 = 0 \] - Giải phương trình: \[ 4 + 2t - 1 - 2t + 6 + 4t - 10 = 0 \\ 4t - 1 = 0 \\ t = \frac{1}{4} \] 3. Tìm tọa độ điểm \( P \): - Thay \( t = \frac{1}{4} \) vào phương trình tham số của đường thẳng: \[ \begin{cases} x = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4} \\ y = 1 + 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \\ z = 3 + 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{2} \end{cases} \] - Vậy tọa độ điểm \( P \) là \( \left( \frac{9}{4}, \frac{3}{2}, \frac{7}{2} \right) \). 4. Tính khoảng cách \( AP \): - Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ AP = \sqrt{\left( \frac{9}{4} - 2 \right)^2 + \left( \frac{3}{2} - 1 \right)^2 + \left( \frac{7}{2} - 3 \right)^2} \] - Tính từng phần: \[ \left( \frac{9}{4} - 2 \right) = \frac{9}{4} - \frac{8}{4} = \frac{1}{4} \\ \left( \frac{3}{2} - 1 \right) = \frac{3}{2} - \frac{2}{2} = \frac{1}{2} \\ \left( \frac{7}{2} - 3 \right) = \frac{7}{2} - \frac{6}{2} = \frac{1}{2} \] - Thay vào công thức: \[ AP = \sqrt{\left( \frac{1}{4} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2} \\ AP = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} \\ AP = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{4}{16} + \frac{4}{16}} \\ AP = \sqrt{\frac{9}{16}} \\ AP = \frac{3}{4} \] Vậy khoảng cách từ điểm bắn \( A \) đến điểm mà viên đạn chạm vào bức tường là \( \frac{3}{4} \) mét. Câu 5: Xác suất để ứng dụng chọn loại câu hỏi khó là: \[ 1 - 0,79 = 0,21 \] Xác suất học sinh trả lời đúng câu hỏi dễ là: \[ 1 - 0,10 = 0,90 \] Xác suất học sinh trả lời đúng câu hỏi khó là: \[ 0,65 \] Xác suất học sinh trả lời đúng một câu hỏi ngẫu nhiên từ ứng dụng là: \[ 0,79 \times 0,90 + 0,21 \times 0,65 = 0,711 + 0,1365 = 0,8475 \] Tính kết quả theo đơn vị % và làm tròn đến một chữ số thập phân: \[ 0,8475 \times 100 = 84,75\% \approx 84,8\% \] Đáp số: 84,8% Câu 6: Để tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 7 giờ, ta cần biết vận tốc v của vật theo thời gian t. Từ đồ thị, ta thấy vận tốc v phụ thuộc vào thời gian t theo dạng một phần của đường parabol có đỉnh I(3;9) và trục đối xứng song song với trục tung. Bước 1: Xác định phương trình của đường parabol. - Đường parabol có đỉnh I(3;9) và trục đối xứng song song với trục tung có dạng: \( v = a(t - 3)^2 + 9 \). Bước 2: Xác định giá trị của a. - Ta cần biết thêm một điểm trên đồ thị để xác định giá trị của a. Giả sử ta biết thêm điểm (0,0) nằm trên đồ thị (từ đồ thị hoặc thông tin khác). - Thay t = 0 và v = 0 vào phương trình: \[ 0 = a(0 - 3)^2 + 9 \] \[ 0 = 9a + 9 \] \[ 9a = -9 \] \[ a = -1 \] Vậy phương trình của đường parabol là: \[ v = -(t - 3)^2 + 9 \] Bước 3: Tính quãng đường di chuyển trong 7 giờ. - Quãng đường S mà vật di chuyển được trong 7 giờ là tích của vận tốc v và thời gian t từ 0 đến 7 giờ: \[ S = \int_{0}^{7} v(t) \, dt \] \[ S = \int_{0}^{7} \left[ -(t - 3)^2 + 9 \right] \, dt \] Bước 4: Tính tích phân. \[ S = \int_{0}^{7} \left[ -(t - 3)^2 + 9 \right] \, dt \] \[ S = \int_{0}^{7} \left[ -(t^2 - 6t + 9) + 9 \right] \, dt \] \[ S = \int_{0}^{7} \left[ -t^2 + 6t \right] \, dt \] \[ S = \left[ -\frac{t^3}{3} + 3t^2 \right]_{0}^{7} \] \[ S = \left( -\frac{7^3}{3} + 3 \cdot 7^2 \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 3 \cdot 0^2 \right) \] \[ S = \left( -\frac{343}{3} + 147 \right) - 0 \] \[ S = -\frac{343}{3} + 147 \] \[ S = -\frac{343}{3} + \frac{441}{3} \] \[ S = \frac{98}{3} \approx 32.7 \text{ km} \] Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 7 giờ là khoảng 32.7 km.