Các bạn giúp mình giải những câu này với*

Câu 37: a) Tính số cách chọn 3 học sinh bất kỳ: Số cách chọn 3 học sinh từ 20 học sinh là: \[ C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140 \] b) Tính xác suất để chọn được 2 nam và 1 nữ: - Số cách chọn 2 nam từ 12 nam là: \[ C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66 \] - Số cách chọn 1 nữ từ 8 nữ là: \[ C_{8}^1 = \frac{8!}{1!(8-1)!} = 8 \] - Số cách chọn 2 nam và 1 nữ là: \[ 66 \times 8 = 528 \] - Xác suất để chọn được 2 nam và 1 nữ là: \[ P(2 nam, 1 nữ) = \frac{528}{1140} = \frac{44}{95} \] c) Tính xác suất để chọn ít nhất 1 nữ: - Số cách chọn 3 nam từ 12 nam là: \[ C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220 \] - Số cách chọn ít nhất 1 nữ là: \[ 1140 - 220 = 920 \] - Xác suất để chọn ít nhất 1 nữ là: \[ P(ít nhất 1 nữ) = \frac{920}{1140} = \frac{46}{57} \] Đáp số: a) 1140 b) $\frac{44}{95}$ c) $\frac{46}{57}$ Câu 38. Để tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{-3x^2}2+\frac2x-5\cos x+2\sqrt x$, ta sẽ áp dụng các công thức đạo hàm cơ bản cho từng thành phần của hàm số. 1. Tính đạo hàm của $\frac{-3x^2}{2}$: \[ \left(\frac{-3x^2}{2}\right)' = \frac{-3}{2} \cdot (x^2)' = \frac{-3}{2} \cdot 2x = -3x. \] 2. Tính đạo hàm của $\frac{2}{x}$: \[ \left(\frac{2}{x}\right)' = 2 \cdot \left(\frac{1}{x}\right)' = 2 \cdot (-x^{-2}) = -\frac{2}{x^2}. \] 3. Tính đạo hàm của $-5\cos x$: \[ (-5\cos x)' = -5 \cdot (\cos x)' = -5 \cdot (-\sin x) = 5\sin x. \] 4. Tính đạo hàm của $2\sqrt{x}$: \[ (2\sqrt{x})' = 2 \cdot \left(x^{1/2}\right)' = 2 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}. \] Bây giờ, ta tổng hợp lại các đạo hàm đã tính: \[ y' = -3x - \frac{2}{x^2} + 5\sin x + \frac{1}{\sqrt{x}}. \] Vậy đạo hàm của hàm số $y=\frac{-3x^2}2+\frac2x-5\cos x+2\sqrt x$ là: \[ y' = -3x - \frac{2}{x^2} + 5\sin x + \frac{1}{\sqrt{x}}. \] Câu 39. Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = -2x^2 + x + 5$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định dạng của hàm số: Hàm số $y = -2x^2 + x + 5$ là một hàm bậc hai có dạng $y = ax^2 + bx + c$, trong đó $a = -2$, $b = 1$, và $c = 5$. Vì $a < 0$, nên đồ thị của hàm số này là một parabol mở xuống, do đó hàm số có giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol. 2. Tìm tọa độ đỉnh của parabol: Tọa độ đỉnh của parabol $y = ax^2 + bx + c$ được tính bằng công thức: \[ x_{\text{đỉnh}} = -\frac{b}{2a} \] Thay $a = -2$ và $b = 1$ vào công thức trên, ta có: \[ x_{\text{đỉnh}} = -\frac{1}{2(-2)} = \frac{1}{4} \] 3. Tính giá trị của hàm số tại đỉnh: Thay $x = \frac{1}{4}$ vào hàm số $y = -2x^2 + x + 5$, ta có: \[ y_{\text{đỉnh}} = -2\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \frac{1}{4} + 5 \] \[ y_{\text{đỉnh}} = -2 \cdot \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + 5 \] \[ y_{\text{đỉnh}} = -\frac{2}{16} + \frac{1}{4} + 5 \] \[ y_{\text{đỉnh}} = -\frac{1}{8} + \frac{2}{8} + 5 \] \[ y_{\text{đỉnh}} = \frac{1}{8} + 5 \] \[ y_{\text{đỉnh}} = \frac{1}{8} + \frac{40}{8} \] \[ y_{\text{đỉnh}} = \frac{41}{8} \] Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y = -2x^2 + x + 5$ là $\frac{41}{8}$, đạt được khi $x = \frac{1}{4}$. Đáp số: Giá trị lớn nhất của hàm số là $\frac{41}{8}$, đạt được khi $x = \frac{1}{4}$. Câu 40. Để tìm nghiệm của phương trình $\sqrt{2x^2-4x-2}=\sqrt{x^2-x-2}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình có chứa căn thức, do đó ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \[ 2x^2 - 4x - 2 \geq 0 \quad \text{và} \quad x^2 - x - 2 \geq 0 \] Bước 2: Giải bất phương trình để tìm ĐKXĐ 1. Giải bất phương trình $2x^2 - 4x - 2 \geq 0$: \[ 2x^2 - 4x - 2 = 0 \implies x^2 - 2x - 1 = 0 \] Phương trình này có hai nghiệm: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} \] Do đó, tập nghiệm của bất phương trình $2x^2 - 4x - 2 \geq 0$ là: \[ x \leq 1 - \sqrt{2} \quad \text{hoặc} \quad x \geq 1 + \sqrt{2} \] 2. Giải bất phương trình $x^2 - x - 2 \geq 0$: \[ x^2 - x - 2 = 0 \implies (x - 2)(x + 1) = 0 \] Phương trình này có hai nghiệm: \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Do đó, tập nghiệm của bất phương trình $x^2 - x - 2 \geq 0$ là: \[ x \leq -1 \quad \text{hoặc} \quad x \geq 2 \] Bước 3: Kết hợp các điều kiện xác định Ta cần tìm giao của các tập nghiệm đã tìm được: \[ (x \leq 1 - \sqrt{2} \quad \text{hoặc} \quad x \geq 1 + \sqrt{2}) \quad \text{và} \quad (x \leq -1 \quad \text{hoặc} \quad x \geq 2) \] Giao của các tập này là: \[ x \leq -1 \quad \text{hoặc} \quad x \geq 2 \] Bước 4: Bình phương cả hai vế của phương trình \[ (\sqrt{2x^2-4x-2})^2 = (\sqrt{x^2-x-2})^2 \implies 2x^2 - 4x - 2 = x^2 - x - 2 \] Bước 5: Giải phương trình bậc hai \[ 2x^2 - 4x - 2 = x^2 - x - 2 \implies x^2 - 3x = 0 \implies x(x - 3) = 0 \] Phương trình này có hai nghiệm: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 3 \] Bước 6: Kiểm tra các nghiệm trong điều kiện xác định - Với $x = 0$: Không thỏa mãn điều kiện $x \leq -1$ hoặc $x \geq 2$. - Với $x = 3$: Thỏa mãn điều kiện $x \geq 2$. Do đó, nghiệm duy nhất của phương trình là $x = 3$. Kết luận: Nghiệm của phương trình $\sqrt{2x^2-4x-2}=\sqrt{x^2-x-2}$ là $x = 3$. Câu 41. Để tính khoảng cách từ điểm \( M(2;4) \) đến đường thẳng \( \Delta: 3x + 4y - 12 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Công thức khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0) \) đến đường thẳng \( ax + by + c = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Trong đó: - \( a = 3 \) - \( b = 4 \) - \( c = -12 \) - \( x_0 = 2 \) - \( y_0 = 4 \) Bước 1: Thay các giá trị vào công thức: \[ d = \frac{|3 \cdot 2 + 4 \cdot 4 - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \] Bước 2: Tính toán biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối: \[ 3 \cdot 2 = 6 \] \[ 4 \cdot 4 = 16 \] \[ 6 + 16 - 12 = 10 \] Bước 3: Tính giá trị tuyệt đối: \[ |10| = 10 \] Bước 4: Tính căn bậc hai ở mẫu: \[ \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Bước 5: Tính khoảng cách: \[ d = \frac{10}{5} = 2 \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(2;4) \) đến đường thẳng \( \Delta: 3x + 4y - 12 = 0 \) là 2 đơn vị. Câu 42. Để tìm bán kính của đường tròn (C) có tâm I(-1;2) và cắt đường thẳng $d:~3x-y-15=0$ theo một dây cung có độ dài bằng 6, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d. Khoảng cách từ điểm $(x_1, y_1)$ đến đường thẳng $ax + by + c = 0$ được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Áp dụng vào bài toán: \[ d = \frac{|3(-1) - 2 - 15|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|-3 - 2 - 15|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{|-20|}{\sqrt{10}} = \frac{20}{\sqrt{10}} = 2\sqrt{10} \] Bước 2: Áp dụng công thức liên quan đến bán kính, khoảng cách từ tâm đến dây cung và nửa độ dài dây cung. Gọi bán kính của đường tròn là R, khoảng cách từ tâm đến dây cung là h và nửa độ dài dây cung là l. Ta có: \[ R^2 = h^2 + l^2 \] Trong đó: - h = 2√10 (khoảng cách từ tâm đến đường thẳng) - l = 6 : 2 = 3 (nửa độ dài dây cung) Thay vào công thức: \[ R^2 = (2\sqrt{10})^2 + 3^2 = 40 + 9 = 49 \] \[ R = \sqrt{49} = 7 \] Vậy bán kính của đường tròn (C) là 7. Câu 43. Để giải phương trình $\log_2(x-1)=3$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với phương trình $\log_2(x-1)$, ta cần đảm bảo rằng $x-1 > 0$. Do đó: \[ x > 1 \] 2. Giải phương trình: - Phương trình $\log_2(x-1)=3$ có thể được viết lại dưới dạng: \[ x-1 = 2^3 \] - Ta tính $2^3$: \[ 2^3 = 8 \] - Vậy phương trình trở thành: \[ x-1 = 8 \] - Giải phương trình này để tìm $x$: \[ x = 8 + 1 \] \[ x = 9 \] 3. Kiểm tra điều kiện xác định: - Ta đã xác định ĐKXĐ là $x > 1$. Kiểm tra $x = 9$: \[ 9 > 1 \] - Điều kiện này thoả mãn. Vậy nghiệm của phương trình $\log_2(x-1)=3$ là $x = 9$. Đáp số: $x = 9$ Câu 44. Trước tiên, ta nhận thấy rằng đáy ABCD là hình bình hành tâm O, do đó O là trung điểm của cả AC và BD. Ta cũng biết rằng SA = SC và SB = SD. Điều này cho thấy rằng S nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) đi qua O. Vì vậy, SO là đường thẳng vuông góc hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD. Do đó, góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (ABCD) là góc vuông, tức là 90 độ. Đáp số: 90 độ. Câu 45. Để tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số $y = \sin x$ tại điểm $x = 30^\circ$, chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm cấp 1 của hàm số $y = \sin x$. \[ y' = \cos x \] Bước 2: Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số $y = \sin x$. \[ y'' = -\sin x \] Bước 3: Thay giá trị $x = 30^\circ$ vào đạo hàm cấp 2. \[ y''(30^\circ) = -\sin 30^\circ \] Biết rằng $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, nên: \[ y''(30^\circ) = -\frac{1}{2} \] Vậy đạo hàm cấp 2 của hàm số $y = \sin x$ tại điểm $x = 30^\circ$ là $-\frac{1}{2}$. Câu 46. Để tính xác suất để hai thẻ rút được có tích là số chẵn, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số cách rút 2 thẻ từ 20 thẻ: Số cách rút 2 thẻ từ 20 thẻ là: \[ C_{20}^2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190 \] 2. Tính số cách rút 2 thẻ sao cho tích của chúng là số lẻ: - Để tích của hai số là số lẻ, cả hai số đều phải là số lẻ. - Trong 20 thẻ, có 10 thẻ là số lẻ (1, 3, 5, ..., 19). - Số cách rút 2 thẻ lẻ từ 10 thẻ lẻ là: \[ C_{10}^2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45 \] 3. Tính số cách rút 2 thẻ sao cho tích của chúng là số chẵn: - Tích của hai số là số chẵn nếu ít nhất một trong hai số là số chẵn. - Tổng số cách rút 2 thẻ từ 20 thẻ trừ đi số cách rút 2 thẻ lẻ là: \[ 190 - 45 = 145 \] 4. Tính xác suất để hai thẻ rút được có tích là số chẵn: - Xác suất là tỷ lệ giữa số cách rút 2 thẻ có tích là số chẵn và tổng số cách rút 2 thẻ: \[ P = \frac{145}{190} \approx 0.7632 \] - Làm tròn đến chữ số phần trăm: \[ P \approx 0.76 \] Vậy xác suất để hai thẻ rút được có tích là số chẵn là 0.76.