Giai giup to voii

Câu 2. a) Đạo hàm của hàm số đã cho là: \[ f'(x) = \cos x - \sin x \] b) Tính giá trị đạo hàm tại điểm \( x = \pi \): \[ f'(\pi) = \cos \pi - \sin \pi = -1 - 0 = -1 \] c) Giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ \cos x - \sin x = 0 \] \[ \cos x = \sin x \] \[ \tan x = 1 \] \[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Trong đoạn \([- \frac{\pi}{2}, 2\pi]\), các nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \] Tổng các nghiệm: \[ \frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \] d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \( x_0 = \pi \): - Tính giá trị hàm số tại điểm \( x_0 = \pi \): \[ f(\pi) = \sin \pi + \cos \pi = 0 - 1 = -1 \] - Tính giá trị đạo hàm tại điểm \( x_0 = \pi \): \[ f'(\pi) = -1 \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm \( (\pi, -1) \) là: \[ y - (-1) = -1(x - \pi) \] \[ y + 1 = -x + \pi \] \[ y = -x + \pi - 1 \] Đáp án: a) \( f'(x) = \cos x - \sin x \) b) \( f'(\pi) = -1 \) c) Tổng các nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \) trên đoạn \([- \frac{\pi}{2}, 2\pi]\) là \( \frac{3\pi}{2} \) d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \( x_0 = \pi \) là \( y = -x + \pi - 1 \) Câu 3 Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Chứng minh $BC \perp (SAB)$ - Ta biết rằng $SA \perp (ABC)$, do đó $SA \perp AB$ và $SA \perp BC$. - Mặt khác, $AB \perp BC$ theo đề bài. - Vì $BC$ vuông góc với cả hai đường thẳng $SA$ và $AB$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$, nên $BC \perp (SAB)$. b) Tính diện tích đáy của hình chóp S.ABC - Diện tích đáy của hình chóp S.ABC là diện tích tam giác ABC. - Ta có $AB = a$, $BC = a$ (vì $AB \perp BC$ và $AC = a\sqrt{3}$). - Diện tích tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2} \] c) Tính thể tích của khối chóp S.ABC - Thể tích của khối chóp S.ABC được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA \] - Thay các giá trị đã biết vào: \[ V = \frac{1}{3} \times \frac{a^2}{2} \times a = \frac{a^3}{6} \] d) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) - Để tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB), ta cần tìm chiều cao hạ từ C xuống (SAB) và tính góc giữa SC và đường thẳng này. - Chiều cao hạ từ C xuống (SAB) là đoạn thẳng CD, với D là chân đường cao từ C xuống (SAB). - Ta có: \[ SD = \sqrt{SC^2 - CD^2} \] - Ta biết rằng $SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = 2a$ - Vì $CD = BC = a$, nên: \[ SD = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{4a^2 - a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \] - Góc giữa SC và (SAB) là góc giữa SC và SD: \[ \sin(\theta) = \frac{CD}{SC} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} \] - Do đó, $\theta = 30^\circ$. Kết luận - Đáp án đúng là: - a) $BC \perp (SAB)$ - b) Diện tích đáy của hình chóp S.ABC là $\frac{a^2}{2}$ - c) Thể tích của khối chóp S.ABC là $\frac{a^3}{6}$ - d) Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là $30^\circ$. Câu 1. a) Xác suất để cả hai bạn cùng bắn trúng bia là: \[ P(A) = 0,7 \times 0,8 = 0,56 \] b) Xác suất để cả hai bạn đều không bắn trúng bia là: \[ P(\bar{A}) = (1 - 0,7) \times (1 - 0,8) = 0,3 \times 0,2 = 0,06 \] Xác suất để có ít nhất một bạn bắn trúng bia là: \[ P(B) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0,06 = 0,94 \] Đáp số: a) 0,56 b) 0,94 Câu 2. Để tìm tập xác định của hàm số $y = \log_5(-x^2 - 7x + 8)$, ta cần đảm bảo rằng biểu thức ở trong dấu logarit phải dương, tức là: \[ -x^2 - 7x + 8 > 0 \] Bước 1: Giải bất phương trình $-x^2 - 7x + 8 > 0$ Đầu tiên, ta giải phương trình bậc hai $-x^2 - 7x + 8 = 0$ để tìm các nghiệm của nó. Phương trình này có dạng $ax^2 + bx + c = 0$, với $a = -1$, $b = -7$, và $c = 8$. Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Thay các giá trị vào công thức: \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(-1)(8)}}{2(-1)} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{-2} = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{-2} = \frac{7 \pm 9}{-2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x = \frac{7 + 9}{-2} = \frac{16}{-2} = -8 \] \[ x = \frac{7 - 9}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1 \] Bước 2: Xác định khoảng giá trị của $x$ sao cho $-x^2 - 7x + 8 > 0$ Biểu thức $-x^2 - 7x + 8$ là một parabol mở xuống (vì hệ số của $x^2$ là âm). Do đó, biểu thức này sẽ dương giữa hai nghiệm $x = -8$ và $x = 1$. Tập xác định của hàm số là: \[ -8 < x < 1 \] Bước 3: Tìm các giá trị nguyên thuộc tập xác định Các giá trị nguyên nằm trong khoảng $-8 < x < 1$ là: \[ x = -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0 \] Vậy có 8 giá trị nguyên thuộc tập xác định của hàm số. Đáp số: 8 giá trị nguyên. Câu 3: Để tìm tập xác định của hàm số $y = \log(x^2 + 3x - 4)$, ta cần đảm bảo rằng biểu thức ở trong dấu logarit phải lớn hơn 0 vì logarit chỉ xác định khi đối số lớn hơn 0. Bước 1: Xác định điều kiện của biểu thức trong dấu logarit: \[ x^2 + 3x - 4 > 0 \] Bước 2: Giải bất phương trình \( x^2 + 3x - 4 > 0 \). Đầu tiên, ta giải phương trình \( x^2 + 3x - 4 = 0 \) để tìm các điểm cực trị: \[ x^2 + 3x - 4 = 0 \] Phương trình này có thể được phân tích thành: \[ (x + 4)(x - 1) = 0 \] Do đó, các nghiệm của phương trình là: \[ x = -4 \quad \text{và} \quad x = 1 \] Bước 3: Xác định khoảng giá trị của \( x \) sao cho \( x^2 + 3x - 4 > 0 \). Ta vẽ sơ đồ số thực và đánh dấu các điểm \( x = -4 \) và \( x = 1 \). Ta kiểm tra các khoảng giữa các điểm này: - Khi \( x < -4 \), chọn \( x = -5 \): \[ (-5)^2 + 3(-5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0 \] - Khi \( -4 < x < 1 \), chọn \( x = 0 \): \[ 0^2 + 3(0) - 4 = -4 < 0 \] - Khi \( x > 1 \), chọn \( x = 2 \): \[ 2^2 + 3(2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0 \] Từ đó, ta thấy rằng \( x^2 + 3x - 4 > 0 \) khi \( x < -4 \) hoặc \( x > 1 \). Bước 4: Kết luận tập xác định của hàm số: \[ D = (-\infty, -4) \cup (1, +\infty) \] Vậy tập xác định của hàm số \( y = \log(x^2 + 3x - 4) \) là: \[ D = (-\infty, -4) \cup (1, +\infty) \] Câu 4: Để tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định trực giao từ S xuống mặt phẳng (ABCD): - Vì tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên SH là đường cao hạ từ S xuống AB và cũng là đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABCD). Do đó, SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD). 2. Tính độ dài SH: - Tam giác SAB là tam giác đều cạnh a, do đó SH là đường cao của tam giác đều. - Độ dài đường cao của tam giác đều cạnh a là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vậy SH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. 3. Tính độ dài SC: - Ta có SC là đường chéo của hình chóp S.ABCD. Để tính SC, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác SDC (với SD là đường thẳng nối đỉnh S với tâm D của đáy ABCD). - Độ dài SD = $\sqrt{SH^2 + HD^2}$, trong đó HD là khoảng cách từ H đến D. - HD là khoảng cách từ trung điểm của AB đến D, tức là HD = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ (vì ABCD là hình vuông cạnh a). - Vậy SD = $\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + \frac{2a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$. 4. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD): - Gọi góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là $\alpha$. - Ta có $\sin \alpha = \frac{SH}{SC} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$. - Vậy góc $\alpha = \arcsin \left( \frac{\sqrt{15}}{5} \right)$. Đáp số: Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là $\arcsin \left( \frac{\sqrt{15}}{5} \right)$. Câu 5. Để tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc giữa đường thẳng SC và hình chiếu của nó lên mặt phẳng (SAB). Ta gọi giao điểm của đường thẳng SC với mặt phẳng (SAB) là H. 2. Tìm hình chiếu của điểm C lên mặt phẳng (SAB): Vì \( SA \perp (ABC) \), nên \( SA \perp AB \) và \( SA \perp BC \). Mặt khác, \( AB \perp BC \), do đó \( BC \perp (SAB) \). Vậy hình chiếu của điểm C lên mặt phẳng (SAB) là điểm B. 3. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB): Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc \( \angle SCB \). 4. Tính độ dài các đoạn thẳng liên quan: - \( SA = 2a \) - \( AB = 2a \) - \( AC = a\sqrt{5} \) Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABC: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] \[ (a\sqrt{5})^2 = (2a)^2 + BC^2 \] \[ 5a^2 = 4a^2 + BC^2 \] \[ BC^2 = a^2 \] \[ BC = a \] 5. Tính độ dài đoạn thẳng SC: Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SAC: \[ SC^2 = SA^2 + AC^2 \] \[ SC^2 = (2a)^2 + (a\sqrt{5})^2 \] \[ SC^2 = 4a^2 + 5a^2 \] \[ SC^2 = 9a^2 \] \[ SC = 3a \] 6. Tính góc \( \angle SCB \): Ta sử dụng công thức tính cosin trong tam giác SCB: \[ \cos(\angle SCB) = \frac{BC}{SC} \] \[ \cos(\angle SCB) = \frac{a}{3a} = \frac{1}{3} \] Vậy góc \( \angle SCB \) là: \[ \angle SCB = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \] Đáp số: Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là \( \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \).