hc, jgĩgihxoycyxhxhoc

Câu 4 Để phương trình $x^2 - 2(m-1)x + 2m - 3 = 0$ có các nghiệm $x_1$ và $x_2$, ta cần điều kiện $\Delta \geq 0$. Tính $\Delta$: \[ \Delta = [-2(m-1)]^2 - 4(2m-3) = 4(m-1)^2 - 8m + 12 = 4(m^2 - 2m + 1) - 8m + 12 = 4m^2 - 8m + 4 - 8m + 12 = 4m^2 - 16m + 16 \] \[ \Delta = 4(m^2 - 4m + 4) = 4(m-2)^2 \] Vì $(m-2)^2 \geq 0$ nên $\Delta \geq 0$ luôn đúng, phương trình luôn có nghiệm. Theo bài toán, ta có: \[ x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 10 \] Áp dụng công thức Viète: \[ x_1 + x_2 = 2(m-1) \] \[ x_1x_2 = 2m - 3 \] Ta có: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \] \[ x_1^2 + x_2^2 = [2(m-1)]^2 - 2(2m-3) = 4(m-1)^2 - 4m + 6 = 4(m^2 - 2m + 1) - 4m + 6 = 4m^2 - 8m + 4 - 4m + 6 = 4m^2 - 12m + 10 \] Thay vào phương trình đã cho: \[ 4m^2 - 12m + 10 - (2m - 3) = 10 \] \[ 4m^2 - 12m + 10 - 2m + 3 = 10 \] \[ 4m^2 - 14m + 13 = 10 \] \[ 4m^2 - 14m + 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ m = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4} = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 48}}{8} = \frac{14 \pm \sqrt{148}}{8} = \frac{14 \pm 2\sqrt{37}}{8} = \frac{7 \pm \sqrt{37}}{4} \] Vậy giá trị của $m$ là: \[ m = \frac{7 + \sqrt{37}}{4} \quad \text{hoặc} \quad m = \frac{7 - \sqrt{37}}{4} \] Câu 5 Gọi thời gian để Minh hoàn thành nhiệm vụ là x (phút), thời gian để Đức hoàn thành nhiệm vụ là y (phút). Trong 1 phút, Minh làm được $\frac{1}{x}$ công việc, Đức làm được $\frac{1}{y}$ công việc. Theo đề bài, ta có: 1. Nếu cả hai bạn cùng làm trong 30 phút thì hoàn thành công việc: \[ 30 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1 \] \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{30} \] 2. Nếu Minh làm 10 phút rồi Đức làm tiếp 20 phút thì hoàn thành 50% công việc: \[ 10 \cdot \frac{1}{x} + 20 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \] Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{30} \\ 10 \cdot \frac{1}{x} + 20 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \end{cases} \] Đặt $\frac{1}{x} = a$ và $\frac{1}{y} = b$, ta có: \[ \begin{cases} a + b = \frac{1}{30} \\ 10a + 20b = \frac{1}{2} \end{cases} \] Từ phương trình đầu tiên, ta có: \[ b = \frac{1}{30} - a \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ 10a + 20 \left( \frac{1}{30} - a \right) = \frac{1}{2} \] \[ 10a + \frac{20}{30} - 20a = \frac{1}{2} \] \[ 10a + \frac{2}{3} - 20a = \frac{1}{2} \] \[ -10a + \frac{2}{3} = \frac{1}{2} \] \[ -10a = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} \] \[ -10a = \frac{3}{6} - \frac{4}{6} \] \[ -10a = -\frac{1}{6} \] \[ a = \frac{1}{60} \] Thay lại để tìm b: \[ b = \frac{1}{30} - \frac{1}{60} \] \[ b = \frac{2}{60} - \frac{1}{60} \] \[ b = \frac{1}{60} \] Vậy: \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{60} \Rightarrow x = 60 \] \[ \frac{1}{y} = \frac{1}{60} \Rightarrow y = 60 \] Đáp số: Nếu làm riêng thì mỗi bạn hoàn thành nhiệm vụ trong 60 phút. Câu 6 a) Ta có: $\cos BAH = \frac{AH}{AB} = \frac{2}{5}$ Suy ra: $\frac{AH}{AB} = \frac{2}{5}$ Suy ra: $AH = \frac{2}{5} AB$ Ta có: $AB^{2} = AH^{2} + BH^{2}$ $AB^{2} = (\frac{2}{5} AB)^{2} + BH^{2}$ $AB^{2} = \frac{4}{25} AB^{2} + BH^{2}$ $\frac{21}{25} AB^{2} = BH^{2}$ $AB^{2} = \frac{25}{21} BH^{2}$ $AB = \frac{5}{\sqrt{21}} BH$ Ta có: $\frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB}$ $\frac{AB}{20} = \frac{BH}{AB}$ $AB^{2} = 20 BH$ $(\frac{5}{\sqrt{21}} BH)^{2} = 20 BH$ $\frac{25}{21} BH^{2} = 20 BH$ $BH = \frac{20 \times 21}{25} = 16,8$ $AB = \frac{5}{\sqrt{21}} \times 16,8 = 18$ $AH = \frac{2}{5} \times 18 = 7,2$ $AC = \sqrt{BC^{2} - AB^{2}} = \sqrt{20^{2} - 18^{2}} = 8$ Diện tích tam giác ABC là: $\frac{1}{2} \times AC \times AB = \frac{1}{2} \times 8 \times 18 = 72$ Đáp số: 72 cm${^2}$ b) Diện tích toàn phần của một vỏ lon nước ngọt là: $2 \times 6,4 \times 12 + 2 \times 3,14 \times 6,4^{2} = 424,064$ Số tiền công ty đó phải chi để sản xuất 2 000 vỏ lon nước ngọt là: $2000 \times 424,064 \times 100000 \div 1000000 = 84812800$ Đáp số: 84 812 800 đồng