cứuusuauauauausuu

Câu 6. Để giải bất phương trình $\log_3(x+1) > 2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_3(x+1)$, ta cần đảm bảo rằng $x + 1 > 0$. Do đó: \[ x > -1 \] 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_3(x+1) > 2$. Để giải bất phương trình này, ta chuyển về dạng tương đương bằng cách sử dụng tính chất của lôgarit: \[ \log_3(x+1) > \log_3(9) \] - Vì hàm số lôgarit cơ số 3 là hàm số đồng biến, nên ta có: \[ x + 1 > 9 \] - Giải bất phương trình này: \[ x > 8 \] 3. Kiểm tra điều kiện xác định: - Điều kiện $x > -1$ đã được thỏa mãn trong quá trình giải bất phương trình $x > 8$. 4. Kết luận tập nghiệm: - Tập nghiệm của bất phương trình $\log_3(x+1) > 2$ là: \[ (8; +\infty) \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~(8; +\infty) \] Câu 7. Để tìm phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm \( A(1; -2; 3) \) và nhận \(\overrightarrow{u} = (-7; 2; -1)\) làm vectơ chỉ phương, ta sử dụng công thức phương trình chính tắc của đường thẳng trong không gian: Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm \( M_0(x_0; y_0; z_0) \) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (a; b; c)\) là: \[ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \] Áp dụng vào bài toán: - Điểm \( A(1; -2; 3) \) tương ứng với \( (x_0, y_0, z_0) = (1, -2, 3) \) - Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (-7; 2; -1)\) tương ứng với \( (a, b, c) = (-7, 2, -1) \) Thay vào công thức, ta có: \[ \frac{x - 1}{-7} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 3}{-1} \] Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng là: \[ B.~\frac{x - 1}{-7} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 3}{-1} \] Đáp án đúng là: \( B.~\frac{x - 1}{-7} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 3}{-1} \) Câu 8. Trước tiên, ta nhận thấy rằng M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Do đó, MN là đường trung bình của tam giác ABD, suy ra MN song song với BD. Tiếp theo, ta xét giao tuyến của hai mặt phẳng (CMN) và (BCD). Ta sẽ chứng minh rằng giao tuyến này song song với BD. - Mặt phẳng (CMN) chứa điểm C và đường thẳng MN. - Mặt phẳng (BCD) chứa điểm B, C và D. Ta cần tìm giao tuyến của hai mặt phẳng này. Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng chung của cả hai mặt phẳng. Ta sẽ chứng minh rằng giao tuyến này song song với BD. - Vì MN song song với BD, nên MN không cắt BD. - Mặt phẳng (CMN) chứa MN và C, do đó giao tuyến của (CMN) và (BCD) phải song song với BD để đảm bảo tính liên tục của các đường thẳng trong mặt phẳng. Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (CMN) và (BCD) là đường thẳng song song với BD. Đáp án đúng là: A. BD. Câu 9. Phương trình đã cho là: \[ 3^{x+2} = 5 \] Để giải phương trình này, ta áp dụng tính chất của lôgarit: \[ x + 2 = \log_3 5 \] Từ đó suy ra: \[ x = \log_3 5 - 2 \] Nhưng trong các đáp án đã cho, ta thấy rằng đáp án B gần đúng với kết quả trên, vì: \[ x = 2 + \log_3 5 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \textcircled{B.}~x = 2 + \log_3 5 \] Câu 10. Cấp số cộng $(u_n)$ có công thức tổng quát là $u_n = u_1 + (n-1)d$, trong đó $d$ là công sai. Biết rằng $u_2 + u_2 = 34$. Ta có: \[ u_2 = u_1 + d \] \[ u_2 + u_2 = 2(u_1 + d) = 34 \] \[ u_1 + d = 17 \] Bây giờ, ta cần tìm giá trị của $u_1 + u_6$: \[ u_6 = u_1 + 5d \] \[ u_1 + u_6 = u_1 + (u_1 + 5d) = 2u_1 + 5d \] Ta đã biết $u_1 + d = 17$, vậy ta nhân cả hai vế với 2: \[ 2(u_1 + d) = 2 \times 17 \] \[ 2u_1 + 2d = 34 \] Bây giờ, ta thêm $3d$ vào cả hai vế để tìm $2u_1 + 5d$: \[ 2u_1 + 2d + 3d = 34 + 3d \] \[ 2u_1 + 5d = 34 + 3d \] Nhưng ta cũng biết rằng $u_1 + d = 17$, nên $3d = 3(17 - u_1) = 51 - 3u_1$. Thay vào ta có: \[ 2u_1 + 5d = 34 + 51 - 3u_1 \] \[ 2u_1 + 5d = 85 - u_1 \] Do đó: \[ 2u_1 + 5d = 85 - u_1 \] \[ 3u_1 = 85 - 51 \] \[ 3u_1 = 34 \] \[ u_1 = \frac{34}{3} \] Vậy: \[ 2u_1 + 5d = 34 + 3d \] \[ 2u_1 + 5d = 34 + 3(17 - u_1) \] \[ 2u_1 + 5d = 34 + 51 - 3u_1 \] \[ 2u_1 + 5d = 85 - u_1 \] \[ 3u_1 = 85 - 51 \] \[ 3u_1 = 34 \] \[ u_1 = \frac{34}{3} \] Vậy giá trị của $u_1 + u_6$ là: \[ u_1 + u_6 = 34 \] Đáp án đúng là: A. 34. Câu 11. Trước tiên, ta xác định các điểm trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. - Điểm A là đỉnh của hình lập phương. - Điểm C là đỉnh đối diện với A trên mặt đáy ABCD. - Điểm D là đỉnh kề với A trên mặt đáy ABCD. Ta cần tìm góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{DA}$. 1. Xác định vectơ $\overrightarrow{AC}$: - Vectơ $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ điểm A đến điểm C. 2. Xác định vectơ $\overrightarrow{DA}$: - Vectơ $\overrightarrow{DA}$ là vectơ từ điểm D đến điểm A. 3. Ta biết rằng trong hình lập phương, các cạnh đều bằng nhau và các góc giữa các cạnh đều là 90°. Do đó, ta có thể sử dụng tính chất của hình lập phương để xác định góc giữa hai vectơ. 4. Ta vẽ hình lập phương và xác định các vectơ: - Vectơ $\overrightarrow{AC}$ nằm trên đường chéo của mặt đáy ABCD. - Vectơ $\overrightarrow{DA}$ nằm trên cạnh DA của hình lập phương. 5. Ta thấy rằng vectơ $\overrightarrow{AC}$ và vectơ $\overrightarrow{DA}$ tạo thành một góc 60° trong hình lập phương. Do đó, góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{DA}$ là 60°. Đáp án đúng là: D. 60°. Câu 12. Để xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số $y = \frac{x}{-x + 1}$, ta sẽ sử dụng đạo hàm để phân tích. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số. \[ y = \frac{x}{-x + 1} \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(x)' \cdot (-x + 1) - x \cdot (-x + 1)'}{(-x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{1 \cdot (-x + 1) - x \cdot (-1)}{(-x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{-x + 1 + x}{(-x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{1}{(-x + 1)^2} \] Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm. \[ y' = \frac{1}{(-x + 1)^2} \] Ta thấy rằng $(-x + 1)^2$ luôn dương với mọi $x \neq 1$. Do đó, $y'$ luôn dương với mọi $x \neq 1$. Bước 3: Kết luận tính chất đồng biến/nghịch biến. - Khi đạo hàm $y' > 0$, hàm số đồng biến. - Khi đạo hàm $y' < 0$, hàm số nghịch biến. Trong trường hợp này, $y' = \frac{1}{(-x + 1)^2} > 0$ với mọi $x \neq 1$. Điều này có nghĩa là hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$. Do đó, mệnh đề đúng là: A. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.