Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). AD. BE, CF là ba đường cao của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh bốn điểm A. F. H.E cùng thuộc một đường tròn.

b) Kẻ đường kính. AM của đường tròn (O). Chứng minh AD.AM = AB.AC

c) Gọi P là giao điểm của AH và EF. I là giao điểm của AM và BC. К là trung điểm của BC. Chứng minh: H.K.M thẳng hàng và PIHK.

VẼ HÌNH

Question

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). AD. BE, CF là ba đường cao của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh bốn điểm A. F. H.E cùng thuộc một đường tròn.

b) Kẻ đường kính. AM của đường tròn (O). Chứng minh AD.AM = AB.AC

c) Gọi P là giao điểm của AH và EF. I là giao điểm của AM và BC. К là trung điểm của BC. Chứng minh: H.K.M thẳng hàng và PIHK.

VẼ HÌNH

Accepted Answer

a) Ta có: $\widehat{AFH} = \widehat{AEC} = 90^\circ$
Nên bốn điểm A, F, H, E cùng thuộc một đường tròn (gọi là đường tròn (I)).

b) Ta có: $\widehat{BAM} = \widehat{BCM}$ (cùng chắn cung BM)
$\widehat{BCM} = \widehat{HCD}$ (hai góc so le trong)
$\widehat{BAM} = \widehat{HCD}$
Ta lại có: $\widehat{ABM} = \widehat{HDC}$ (cùng phụ với $\widehat{ACD}$)
Nên $	riangle ABM \sim 	riangle HDC$ (g-g)
$\Rightarrow \frac{AD}{AB} = \frac{CD}{BM}$
Mà BM = 2R nên $\frac{AD}{AB} = \frac{CD}{2R}$
$\Rightarrow AD 	imes 2R = AB 	imes CD$
$\Rightarrow AD 	imes AM = AB 	imes AC$

c) Ta có: $\widehat{AFE} = \widehat{ACE}$ (cùng chắn cung AE)
$\widehat{ACE} = \widehat{ABE}$ (hai góc so le trong)
$\widehat{AFE} = \widehat{ABE}$
$\Rightarrow \widehat{APF} = \widehat{ABE}$ (đối đỉnh)
$\Rightarrow PF // BE$
Tương tự ta cũng có: PE // CF
Nên tứ giác PEBF là hình bình hành
$\Rightarrow PE = BF$
Mà K là trung điểm của BC nên BK = CK
$\Rightarrow PK = KE$
$\Rightarrow \widehat{PKH} = \widehat{KEH}$
Mặt khác ta có: $\widehat{KEH} = \widehat{KCH}$ (cùng chắn cung KH)
$\Rightarrow \widehat{PKH} = \widehat{KCH}$
$\Rightarrow HK // AC$
Mà IK // AC (do I là trung điểm của AC)
$\Rightarrow HK // IK$
$\Rightarrow H, K, I$ thẳng hàng
$\Rightarrow PIHK$ là tứ giác nội tiếp (cùng chắn cung HK)

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). AD. BE, CF là ba đường cao của tam giác ABC cắt nhau tại H. a) Chứng minh bốn điểm A. F. H.E cùng thuộc một đường tròn. b) Kẻ đường kính. AM của đường t...