Giúp tôi nhé

Câu 1. Cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu tiên $u_1 = 2$ và công sai $d = 5$. Để tìm số hạng thứ tư $u_4$, ta sử dụng công thức tổng quát của số hạng thứ n trong cấp số cộng: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Áp dụng công thức này để tìm $u_4$: \[ u_4 = u_1 + (4-1)d \] \[ u_4 = 2 + 3 \times 5 \] \[ u_4 = 2 + 15 \] \[ u_4 = 17 \] Vậy số hạng $u_4$ của cấp số cộng là 17. Đáp án đúng là: C. 17. Câu 2. Phương trình $\sin x = -1$ có nghiệm là các giá trị của $x$ sao cho $\sin x$ bằng $-1$. Ta biết rằng $\sin x = -1$ khi $x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. Do đó, nghiệm của phương trình $\sin x = -1$ là: \[ x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Câu 3. Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm Q1 (tứ phân vị thứ nhất): - Q1 là giá trị ở vị trí $\frac{n}{4} = \frac{56}{4} = 14$. - Xác định khoảng chứa Q1: - Khoảng [9,5; 12,5) có 3 học sinh. - Khoảng [12,5; 15,5) có 12 học sinh, tổng cộng là 3 + 12 = 15 học sinh. - Vậy Q1 nằm trong khoảng [12,5; 15,5). Áp dụng công thức để tính Q1: \[ Q1 = 12,5 + \left( \frac{14 - 3}{12} \right) \times (15,5 - 12,5) \] \[ Q1 = 12,5 + \left( \frac{11}{12} \right) \times 3 \] \[ Q1 = 12,5 + 2,75 = 15,25 \] 2. Tìm Q3 (tứ phân vị thứ ba): - Q3 là giá trị ở vị trí $\frac{3n}{4} = \frac{3 \times 56}{4} = 42$. - Xác định khoảng chứa Q3: - Khoảng [9,5; 12,5) có 3 học sinh. - Khoảng [12,5; 15,5) có 12 học sinh, tổng cộng là 3 + 12 = 15 học sinh. - Khoảng [15,5; 18,5) có 15 học sinh, tổng cộng là 15 + 15 = 30 học sinh. - Khoảng [18,5; 21,5) có 24 học sinh, tổng cộng là 30 + 24 = 54 học sinh. - Khoảng [21,5; 24,5) có 2 học sinh, tổng cộng là 54 + 2 = 56 học sinh. - Vậy Q3 nằm trong khoảng [18,5; 21,5). Áp dụng công thức để tính Q3: \[ Q3 = 18,5 + \left( \frac{42 - 30}{24} \right) \times (21,5 - 18,5) \] \[ Q3 = 18,5 + \left( \frac{12}{24} \right) \times 3 \] \[ Q3 = 18,5 + 1,5 = 20 \] 3. Tính khoảng tứ phân vị: \[ Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 20 - 15,25 = 4,75 \] Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: A. 4,75. Câu 4. Để giải phương trình $\log_2(x+6)=5$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với phương trình $\log_2(x+6)$, ta cần đảm bảo rằng $x + 6 > 0$. Điều này dẫn đến: \[ x > -6 \] 2. Giải phương trình: - Phương trình $\log_2(x+6)=5$ có nghĩa là $x+6$ bằng $2^5$. - Ta tính $2^5$: \[ 2^5 = 32 \] - Do đó, ta có: \[ x + 6 = 32 \] - Giải phương trình này để tìm $x$: \[ x = 32 - 6 \] \[ x = 26 \] 3. Kiểm tra điều kiện xác định: - Ta kiểm tra lại giá trị $x = 26$ có thỏa mãn điều kiện $x > -6$ hay không. Thật vậy, $26 > -6$ nên điều kiện xác định được thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình $\log_2(x+6)=5$ là $x = 26$. Đáp án đúng là: $D.~x=26.$ Câu 5. Trước tiên, ta xác định các vectơ liên quan trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. - Vectơ $\overrightarrow{AD}$ là vectơ chỉ từ đỉnh A đến đỉnh D, tức là vectơ chỉ theo chiều dài của mặt đáy của hình lập phương. - Vectơ $\overrightarrow{AC}$ là vectơ chỉ từ đỉnh A đến đỉnh C, tức là vectơ chỉ chéo qua mặt đáy của hình lập phương. Ta biết rằng trong hình lập phương, các cạnh vuông góc với nhau. Do đó, vectơ $\overrightarrow{AD}$ và vectơ $\overrightarrow{AC}$ tạo thành một góc 45°. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ được tính theo công thức: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\theta) \] trong đó $\theta$ là góc giữa hai vectơ. Áp dụng vào bài toán: - Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AD}$ là a (cạnh của hình lập phương). - Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AC}$ là $a\sqrt{2}$ (độ dài đường chéo của mặt đáy hình lập phương). Góc giữa $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AC}$ là 45°, vậy $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Do đó, tích vô hướng $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC}$ là: \[ \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a \cdot a \cdot \frac{2}{2} = a^2 \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~a^2. \] Câu 6. Để tìm bán kính của mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình mặt cầu dưới dạng chuẩn: Ta cần hoàn thành bình phương để viết phương trình mặt cầu dưới dạng chuẩn $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$. 2. Hoàn thành bình phương: - Đối với $x$: $x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$ - Đối với $y$: $y^2 + 4y = (y+2)^2 - 4$ - Đối với $z$: $z^2 + 2z = (z+1)^2 - 1$ 3. Thay vào phương trình ban đầu: \[ (x-1)^2 - 1 + (y+2)^2 - 4 + (z+1)^2 - 1 - 3 = 0 \] \[ (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z+1)^2 - 9 = 0 \] \[ (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z+1)^2 = 9 \] 4. Nhận diện bán kính: Phương trình chuẩn của mặt cầu là $(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z+1)^2 = 9$. Từ đây, ta thấy rằng bán kính $R$ của mặt cầu là $\sqrt{9} = 3$. Vậy, bán kính của mặt cầu $(S)$ là 3. Đáp án đúng là: C. 3 Câu 7. Để xác định hàm số nào nghịch biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$, ta cần kiểm tra đạo hàm của mỗi hàm số. Nếu đạo hàm của hàm số luôn nhỏ hơn 0 trên khoảng $(-\infty; +\infty)$ thì hàm số đó nghịch biến trên khoảng đó. Ta xét lần lượt các hàm số: 1. Hàm số $y = -x^3 - 3x$: - Đạo hàm: $y' = -3x^2 - 3$ - Ta thấy $-3x^2 - 3 < 0$ với mọi $x$, vì $-3x^2$ luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 và trừ thêm 3 nữa sẽ luôn nhỏ hơn 0. Do đó, hàm số này nghịch biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$. 2. Hàm số $y = x^3 + x$: - Đạo hàm: $y' = 3x^2 + 1$ - Ta thấy $3x^2 + 1 > 0$ với mọi $x$, vì $3x^2$ luôn lớn hơn hoặc bằng 0 và cộng thêm 1 nữa sẽ luôn lớn hơn 0. Do đó, hàm số này đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$. 3. Hàm số $y = \frac{x+1}{x+3}$: - Đạo hàm: $y' = \frac{(x+3) - (x+1)}{(x+3)^2} = \frac{2}{(x+3)^2}$ - Ta thấy $\frac{2}{(x+3)^2} > 0$ với mọi $x \neq -3$. Do đó, hàm số này đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -3)$ và $(-3; +\infty)$. 4. Hàm số $y = \frac{x-1}{x-2}$: - Đạo hàm: $y' = \frac{(x-2) - (x-1)}{(x-2)^2} = \frac{-1}{(x-2)^2}$ - Ta thấy $\frac{-1}{(x-2)^2} < 0$ với mọi $x \neq 2$. Do đó, hàm số này nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$. Từ các phân tích trên, ta thấy rằng chỉ có hàm số $y = -x^3 - 3x$ nghịch biến trên toàn bộ khoảng $(-\infty; +\infty)$. Vậy đáp án đúng là: $A.~y = -x^3 - 3x$. Câu 8. Để tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin x + 6x$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ trong hàm số: - Nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x$. - Nguyên hàm của $6x$ là $6 \cdot \frac{x^2}{2} = 3x^2$. 2. Cộng các nguyên hàm lại và thêm hằng số $C$: \[ \int (\sin x + 6x) \, dx = -\cos x + 3x^2 + C \] Do đó, nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin x + 6x$ là: \[ -\cos x + 3x^2 + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ \textcircled{A.}~-\cos x + 3x^2 + C \] Câu 9. Để tìm số điểm cực đại của hàm số $f(x)$, ta dựa vào bảng xét dấu của $f'(x)$. Bảng xét dấu của $f'(x)$ cho thấy: - $f'(x)$ chuyển từ dương sang âm tại $x = -2$ và $x = 2$. Điều này cho thấy $f(x)$ đạt cực đại tại hai điểm này. - $f'(x)$ chuyển từ âm sang dương tại $x = -1$ và $x = 1$. Điều này cho thấy $f(x)$ đạt cực tiểu tại hai điểm này. Do đó, hàm số $f(x)$ có 2 điểm cực đại. Đáp án đúng là: C. 2. Câu 10. Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( M(-3;1;-1) \) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: - Đường thẳng \(\Delta\) có phương trình tham số là \(\frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-3}{1}\). - Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\) là \(\vec{u} = (3, -2, 1)\). Vì mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(\Delta\), nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cũng chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\). Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là \(\vec{n} = (3, -2, 1)\). 2. Viết phương trình mặt phẳng: - Phương trình mặt phẳng có dạng \(ax + by + cz + d = 0\), trong đó \((a, b, c)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. - Mặt phẳng đi qua điểm \(M(-3, 1, -1)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (3, -2, 1)\). Thay vào công thức phương trình mặt phẳng: \[ 3(x + 3) - 2(y - 1) + 1(z + 1) = 0 \] 3. Rút gọn phương trình: \[ 3x + 9 - 2y + 2 + z + 1 = 0 \] \[ 3x - 2y + z + 12 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng là: \[ 3x - 2y + z + 12 = 0 \] Đáp án đúng là: \(A.~3x - 2y + z + 12 = 0\).