Giúp mình nhé

Câu 11. Để tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=e^x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$ và $x=2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định hàm số và khoảng tích phân: - Hàm số đã cho là $y = e^x$. - Khoảng tích phân từ $x = 0$ đến $x = 2$. 2. Áp dụng công thức tính diện tích: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$ và $x = b$ được tính bằng công thức: \[ S = \int_a^b |f(x)| \, dx \] Trong trường hợp này, hàm số $y = e^x$ luôn dương trên khoảng $(0, 2)$, nên ta có: \[ S = \int_0^2 e^x \, dx \] 3. Tính tích phân: Tích phân của hàm số $e^x$ từ $x = 0$ đến $x = 2$ là: \[ \int_0^2 e^x \, dx = \left[ e^x \right]_0^2 = e^2 - e^0 = e^2 - 1 \] 4. Kiểm tra đáp án: Các đáp án được đưa ra là: - A. $S = \pi \int_0^2 e^{2x} \, dx$ - B. $S = \pi \int_0^2 e^x \, dx$ - C. $\widehat{S} = \int_0^2 e^x \, dx$ - D. $S = \int_0^2 e^{2x} \, dx$ Đáp án đúng là: \[ S = \int_0^2 e^x \, dx \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~\widehat{S} = \int_0^2 e^x \, dx} \] Câu 12. Để tính thể tích của khối chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích đáy ABCD: Đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng \(a\). Diện tích đáy \(S_{ABCD}\) là: \[ S_{ABCD} = a^2 \] 2. Xác định chiều cao SA: Chiều cao của chóp S.ABCD là đoạn thẳng \(SA\) và đã cho \(SA = a\sqrt{3}\). 3. Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: Thể tích \(V\) của khối chóp được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{đáy} \times \text{chiều cao} \] Thay các giá trị vào công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times a^2 \times a\sqrt{3} = \frac{1}{3} \times a^3 \sqrt{3} = \frac{a^3 \sqrt{3}}{3} \] Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là: \[ V = \frac{a^3 \sqrt{3}}{3} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~V = \frac{\sqrt{3}a^3}{3} \] Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. a) Số phần tử của không gian mẫu là 40. Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi chọn ngẫu nhiên một học sinh từ lớp. Vì lớp có 40 học sinh, nên số phần tử của không gian mẫu là 40. b) Xác suất để học sinh đó thích chơi bóng bàn và không thích chơi cầu lông là 0,2. - Số học sinh thích chơi cầu lông: 25 học sinh. - Số học sinh thích chơi bóng bàn: 20 học sinh. - Số học sinh thích chơi cả cầu lông và bóng bàn: 12 học sinh. Số học sinh thích chơi bóng bàn nhưng không thích chơi cầu lông: \[ 20 - 12 = 8 \text{ học sinh} \] Xác suất để học sinh đó thích chơi bóng bàn và không thích chơi cầu lông: \[ P(\text{thích bóng bàn và không thích cầu lông}) = \frac{8}{40} = 0,2 \] c) Xác suất để học sinh đó thích chơi đúng một trong hai môn trên là 0,6. Số học sinh thích chơi đúng một trong hai môn: - Học sinh thích chơi cầu lông nhưng không thích chơi bóng bàn: \[ 25 - 12 = 13 \text{ học sinh} \] - Học sinh thích chơi bóng bàn nhưng không thích chơi cầu lông: \[ 20 - 12 = 8 \text{ học sinh} \] Tổng số học sinh thích chơi đúng một trong hai môn: \[ 13 + 8 = 21 \text{ học sinh} \] Xác suất để học sinh đó thích chơi đúng một trong hai môn: \[ P(\text{thích đúng một môn}) = \frac{21}{40} = 0,525 \] d) Xác suất để học sinh đó thích chơi bóng bàn là 0,5. Số học sinh thích chơi bóng bàn: \[ 20 \text{ học sinh} \] Xác suất để học sinh đó thích chơi bóng bàn: \[ P(\text{thích bóng bàn}) = \frac{20}{40} = 0,5 \] Kết luận - Số phần tử của không gian mẫu là 40. - Xác suất để học sinh đó thích chơi bóng bàn và không thích chơi cầu lông là 0,2. - Xác suất để học sinh đó thích chơi đúng một trong hai môn trên là 0,525. - Xác suất để học sinh đó thích chơi bóng bàn là 0,5. Câu 2. Để giải quyết từng phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Phần a) Phương trình mặt cầu (S) mô tả ranh giới của vùng phủ tín hiệu của vệ tinh A là: \[ (x - 2)^2 + (y + 2)^2 + (z - 5)^2 = 36 \] Phần b) Kiểm tra vị trí \( N(3, -4, 2) \) có thuộc vùng phủ tín hiệu của vệ tinh B hay không: - Tọa độ vệ tinh B: \( B(1, -4, 7) \) - Bán kính vùng phủ tín hiệu của vệ tinh B: \( \sqrt{123} \) Tính khoảng cách từ \( N \) đến \( B \): \[ d(N, B) = \sqrt{(3 - 1)^2 + (-4 + 4)^2 + (2 - 7)^2} = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \] So sánh \( d(N, B) \) với bán kính: \[ \sqrt{29} < \sqrt{123} \] Vậy \( N \) thuộc vùng phủ tín hiệu của vệ tinh B. Phần c) Kiểm tra vị trí \( P(2, -5, 3) \) có thuộc vùng phủ tín hiệu của cả 4 vệ tinh hay không: - Tọa độ vệ tinh A: \( A(2, -2, 5) \) - Bán kính vùng phủ tín hiệu của vệ tinh A: \( 6\sqrt{73} \) Tính khoảng cách từ \( P \) đến \( A \): \[ d(P, A) = \sqrt{(2 - 2)^2 + (-5 + 2)^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \] \[ \sqrt{13} < 6\sqrt{73} \] - Tọa độ vệ tinh B: \( B(1, -4, 7) \) - Bán kính vùng phủ tín hiệu của vệ tinh B: \( \sqrt{123} \) Tính khoảng cách từ \( P \) đến \( B \): \[ d(P, B) = \sqrt{(2 - 1)^2 + (-5 + 4)^2 + (3 - 7)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} \] \[ \sqrt{18} < \sqrt{123} \] - Tọa độ vệ tinh C: \( C(-7, 9, 6) \) - Bán kính vùng phủ tín hiệu của vệ tinh C: \( \sqrt{507} \) Tính khoảng cách từ \( P \) đến \( C \): \[ d(P, C) = \sqrt{(2 + 7)^2 + (-5 - 9)^2 + (3 - 6)^2} = \sqrt{9^2 + (-14)^2 + (-3)^2} = \sqrt{81 + 196 + 9} = \sqrt{286} \] \[ \sqrt{286} < \sqrt{507} \] - Tọa độ vệ tinh D: \( D(-7, 15, 18) \) - Bán kính vùng phủ tín hiệu của vệ tinh D: \( \sqrt{507} \) Tính khoảng cách từ \( P \) đến \( D \): \[ d(P, D) = \sqrt{(2 + 7)^2 + (-5 - 15)^2 + (3 - 18)^2} = \sqrt{9^2 + (-20)^2 + (-15)^2} = \sqrt{81 + 400 + 225} = \sqrt{706} \] \[ \sqrt{706} > \sqrt{507} \] Vậy \( P \) không thuộc vùng phủ tín hiệu của vệ tinh D. Phần d) Điểm \( M(a, b, c) \) thay đổi trong vùng phủ sóng của 4 vệ tinh sao cho tổng khoảng cách từ \( M \) đến bốn vệ tinh là lớn nhất. Khi đó \( a + b + c = 3 \). Để tổng khoảng cách từ \( M \) đến bốn vệ tinh là lớn nhất, \( M \) phải nằm ở tâm của hình phẳng bao quanh bốn vệ tinh. Ta có: \[ a + b + c = 3 \] Đáp số: \[ a + b + c = 3 \]