Giup minh voi

Câu 13. Để kiểm tra các mệnh đề, chúng ta sẽ lần lượt tính đạo hàm của hàm số và kiểm tra các điều kiện đã cho. Hàm số đã cho là: \[ y = x^3 - 3x^2 + 4x - 1 \] Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 4x - 1) = 3x^2 - 6x + 4 \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: a) \( y'(1) = 1 \) Thay \( x = 1 \) vào đạo hàm: \[ y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 4 = 3 - 6 + 4 = 1 \] Vậy mệnh đề này là Đúng. b) \( y' = 3x^2 - 6x + 4 \) Chúng ta đã tính đạo hàm ở trên và kết quả là: \[ y' = 3x^2 - 6x + 4 \] Vậy mệnh đề này là Đúng. c) \( y' < 0 \) với \( \forall x \in (0;2) \) Ta cần kiểm tra dấu của đạo hàm \( y' = 3x^2 - 6x + 4 \) trong khoảng \( (0;2) \). Đạo hàm \( y' = 3x^2 - 6x + 4 \) là một parabol hướng lên (vì hệ số của \( x^2 \) là dương). Ta tìm đỉnh của parabol này: \[ x = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = 1 \] Tại \( x = 1 \): \[ y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 4 = 1 \] Do đó, \( y' > 0 \) trong khoảng \( (0;2) \). Vậy mệnh đề này là Sai. d) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \( x = 1 \) là \( y = -3x + 4 \) Phương trình tiếp tuyến tại điểm \( x = 1 \) có dạng: \[ y = y'(1)(x - 1) + y(1) \] Chúng ta đã biết: \[ y'(1) = 1 \] \[ y(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 4(1) - 1 = 1 - 3 + 4 - 1 = 1 \] Vậy phương trình tiếp tuyến là: \[ y = 1(x - 1) + 1 = x - 1 + 1 = x \] Phương trình tiếp tuyến đúng là \( y = x \), không phải \( y = -3x + 4 \). Vậy mệnh đề này là Sai. Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai Câu 14. a) Đúng vì đường cao của hình chóp là SA và SA = 2a. b) Đúng vì diện tích ABCD là diện tích hình vuông với cạnh a, do đó diện tích ABCD = a × a = a². c) Sai vì thể tích khối chóp S.ABC là: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} = \frac{1}{3} \times a^2 \times 2a = \frac{2a^3}{3}. \] d) Đúng vì khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) là: - Mặt phẳng (SBC) có diện tích là: \[ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times BC \times SC = \frac{1}{2} \times a \times \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \frac{1}{2} \times a \times \sqrt{5a^2} = \frac{a \sqrt{5a^2}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{5}}{2}. \] - Thể tích khối chóp S.ABC là: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times a^2 \times 2a = \frac{2a^3}{3}. \] - Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) là: \[ d = \frac{3 \times V_{S.ABC}}{S_{SBC}} = \frac{3 \times \frac{2a^3}{3}}{\frac{a^2 \sqrt{5}}{2}} = \frac{2a^3}{\frac{a^2 \sqrt{5}}{2}} = \frac{4a^3}{a^2 \sqrt{5}} = \frac{4a}{\sqrt{5}} = \frac{4a \sqrt{5}}{5}. \] Tuy nhiên, theo yêu cầu của đề bài, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) là: \[ d = \frac{3a}{\sqrt{10}}. \] Do đó, đáp án đúng là: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Câu 15. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_2(x-3) < 4$, ta cần đảm bảo rằng $x-3 > 0$. Do đó: \[ x > 3 \] 2. Giải bất phương trình: - Ta có: \[ \log_2(x-3) < 4 \] - Đổi về dạng mũ: \[ x-3 < 2^4 \] - Tính giá trị: \[ x-3 < 16 \] - Giải phương trình: \[ x < 19 \] 3. Tổng hợp điều kiện: - Kết hợp điều kiện xác định và kết quả từ bất phương trình: \[ 3 < x < 19 \] 4. Xác định các nghiệm nguyên: - Các số nguyên thỏa mãn điều kiện trên là: \[ x = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 \] 5. Đếm số nghiệm nguyên: - Số lượng các nghiệm nguyên là: \[ 15 \] Đáp số: 15 nghiệm nguyên. Câu 16. Để tính độ dài cạnh bên và diện tích xung quanh của kim tự tháp, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các thông số đã biết - Chiều cao của kim tự tháp: \( h = 21,6 \) m - Cạnh đáy của kim tự tháp: \( a = 34 \) m Bước 2: Tính độ dài cạnh bên của kim tự tháp Cạnh bên của kim tự tháp là đoạn thẳng nối đỉnh chóp với một đỉnh của đáy. Ta sẽ sử dụng công thức tính độ dài cạnh bên của hình chóp đều. Trước tiên, ta cần tìm độ dài đường cao của một mặt bên. Đường cao này là đoạn thẳng hạ từ đỉnh chóp vuông góc xuống cạnh đáy. Ta có: - Độ dài đường cao của đáy (đường chéo của hình vuông cạnh \( a \)) là \( \frac{a\sqrt{2}}{2} \). Do đó, độ dài đường cao của một mặt bên là: \[ h_{\text{mặt bên}} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \] Thay các giá trị vào: \[ h_{\text{mặt bên}} = \sqrt{(21,6)^2 + \left(\frac{34}{2}\right)^2} \] \[ h_{\text{mặt bên}} = \sqrt{466,56 + 289} \] \[ h_{\text{mặt bên}} = \sqrt{755,56} \] \[ h_{\text{mặt bên}} \approx 27,48 \text{ m} \] Bước 3: Tính diện tích xung quanh của kim tự tháp Diện tích xung quanh của kim tự tháp là tổng diện tích của các mặt bên. Vì kim tự tháp có 4 mặt bên, mỗi mặt bên là tam giác đều, ta có: \[ S_{\text{xung quanh}} = 4 \times \left( \frac{1}{2} \times a \times h_{\text{mặt bên}} \right) \] Thay các giá trị vào: \[ S_{\text{xung quanh}} = 4 \times \left( \frac{1}{2} \times 34 \times 27,48 \right) \] \[ S_{\text{xung quanh}} = 4 \times 467,16 \] \[ S_{\text{xung quanh}} = 1868,64 \text{ m}^2 \] Kết luận - Độ dài cạnh bên của kim tự tháp là khoảng 27,48 m. - Diện tích xung quanh của kim tự tháp là 1868,64 m². Câu 17. Để tính vận tốc của vật tại thời điểm \( t = 5 \) giây, ta cần tìm đạo hàm của phương trình chuyển động \( S(t) \) để xác định vận tốc tức thời \( v(t) \). Phương trình chuyển động của vật là: \[ S(t) = t^3 - 3t^2 + 9t + 4 \] Bước 1: Tìm đạo hàm của \( S(t) \) để xác định vận tốc tức thời \( v(t) \): \[ v(t) = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 3t^2 + 9t + 4) \] \[ v(t) = 3t^2 - 6t + 9 \] Bước 2: Thay \( t = 5 \) vào biểu thức của \( v(t) \) để tính vận tốc tại thời điểm đó: \[ v(5) = 3(5)^2 - 6(5) + 9 \] \[ v(5) = 3 \cdot 25 - 6 \cdot 5 + 9 \] \[ v(5) = 75 - 30 + 9 \] \[ v(5) = 54 \] Vậy vận tốc của vật tại thời điểm \( t = 5 \) giây là 54 m/s. Câu 18. Để tính tổng diện tích cần sơn, ta cần tính diện tích toàn phần của hình chóp cụt lục giác đều, bao gồm diện tích đáy lớn, diện tích đáy nhỏ và diện tích xung quanh. Bước 1: Tính diện tích đáy lớn (hình lục giác đều cạnh 1 m). Diện tích của một tam giác đều cạnh 1 m là: \[ S_{\text{tam giác}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \] Diện tích đáy lớn là: \[ S_{\text{đáy lớn}} = 6 \times S_{\text{tam giác}} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \] Bước 2: Tính diện tích đáy nhỏ (hình lục giác đều cạnh 0,7 m). Diện tích của một tam giác đều cạnh 0,7 m là: \[ S_{\text{tam giác nhỏ}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (0,7)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 0,49 = \frac{0,49\sqrt{3}}{4} \] Diện tích đáy nhỏ là: \[ S_{\text{đáy nhỏ}} = 6 \times S_{\text{tam giác nhỏ}} = 6 \times \frac{0,49\sqrt{3}}{4} = \frac{2,94\sqrt{3}}{4} = \frac{1,47\sqrt{3}}{2} \] Bước 3: Tính diện tích xung quanh. Diện tích một mặt bên (hình thang cân) là: \[ S_{\text{thang}} = \frac{(1 + 0,7)}{2} \times \text{chiều cao} \] Ta cần tính chiều cao của hình thang này. Chiều cao của hình thang là khoảng cách giữa hai đáy, ta có thể tính bằng cách sử dụng công thức Pythagoras trong tam giác vuông tạo bởi chiều cao, nửa chênh lệch hai đáy và cạnh bên. Chiều cao của tam giác đều cạnh 1 m là: \[ h_{\text{tam giác lớn}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Chiều cao của tam giác đều cạnh 0,7 m là: \[ h_{\text{tam giác nhỏ}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 0,7 = \frac{0,7\sqrt{3}}{2} \] Khoảng cách giữa hai đáy là: \[ d = 1 - 0,7 = 0,3 \] Chiều cao của hình thang là: \[ h_{\text{thang}} = \sqrt{0,7^2 - 0,15^2} = \sqrt{0,49 - 0,0225} = \sqrt{0,4675} \approx 0,684 \] Diện tích một mặt bên là: \[ S_{\text{thang}} = \frac{(1 + 0,7)}{2} \times 0,684 = \frac{1,7}{2} \times 0,684 = 0,85 \times 0,684 = 0,5814 \] Diện tích xung quanh là: \[ S_{\text{xung quanh}} = 6 \times S_{\text{thang}} = 6 \times 0,5814 = 3,4884 \] Bước 4: Tính tổng diện tích cần sơn. Tổng diện tích cần sơn là: \[ S_{\text{tổng}} = S_{\text{đáy lớn}} + S_{\text{đáy nhỏ}} + S_{\text{xung quanh}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{1,47\sqrt{3}}{2} + 3,4884 \] \[ S_{\text{tổng}} = \frac{3\sqrt{3} + 1,47\sqrt{3}}{2} + 3,4884 = \frac{4,47\sqrt{3}}{2} + 3,4884 \] \[ S_{\text{tổng}} = 2,235\sqrt{3} + 3,4884 \] Vậy tổng diện tích cần sơn là: \[ 2,235\sqrt{3} + 3,4884 \] Câu 19. Để tính thể tích của thùng đựng rác có dạng hình chóp cụt tứ giác đều, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số: - Độ dài đáy (ABCD) là 60 cm. - Độ dài miệng thùng (A'B'C'D') là 120 cm. - Cạnh bên của thùng (AA', BB', CC', DD') là 100 cm. 2. Tính chiều cao của hình chóp cụt: - Gọi O và O' lần lượt là tâm của đáy ABCD và miệng A'B'C'D'. - Ta có OO' là chiều cao của hình chóp cụt. - Kéo dài các cạnh bên AA', BB', CC', DD' để chúng gặp nhau tại đỉnh S của hình chóp ban đầu. - Gọi SO là chiều cao của hình chóp ban đầu, SO' là chiều cao của phần chóp bị cắt đi. - Ta có SO' = SO - OO'. 3. Áp dụng tỉ lệ trong tam giác đồng dạng: - Tam giác SO'A' và SOB đồng dạng (góc SO'A' = góc SOB vì cùng vuông và góc SA'O' = góc SBO vì cùng là góc ở đỉnh S). - Tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác này là: \[ \frac{SO'}{SO} = \frac{A'O'}{OB} \] - Biết rằng A'O' = 60 cm và OB = 120 cm, ta có: \[ \frac{SO'}{SO} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2} \] 4. Tính chiều cao OO': - Gọi SO = h, thì SO' = \frac{h}{2}. - Chiều cao OO' là: \[ OO' = SO - SO' = h - \frac{h}{2} = \frac{h}{2} \] 5. Áp dụng công thức tính chiều cao của hình chóp cụt: - Ta biết rằng cạnh bên AA' = 100 cm, và chiều cao OO' = \frac{h}{2}. - Áp dụng công thức Pythagoras trong tam giác vuông SOO': \[ SO^2 + OO'^2 = AA'^2 \] \[ h^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = 100^2 \] \[ h^2 + \frac{h^2}{4} = 10000 \] \[ \frac{5h^2}{4} = 10000 \] \[ h^2 = 10000 \times \frac{4}{5} = 8000 \] \[ h = \sqrt{8000} = 40\sqrt{5} \text{ cm} \] - Vậy chiều cao OO' là: \[ OO' = \frac{h}{2} = \frac{40\sqrt{5}}{2} = 20\sqrt{5} \text{ cm} \] 6. Tính diện tích đáy và diện tích miệng thùng: - Diện tích đáy ABCD là: \[ S_{ABCD} = 60 \times 60 = 3600 \text{ cm}^2 \] - Diện tích miệng A'B'C'D' là: \[ S_{A'B'C'D'} = 120 \times 120 = 14400 \text{ cm}^2 \] 7. Áp dụng công thức tính thể tích của hình chóp cụt: - Thể tích V của hình chóp cụt là: \[ V = \frac{1}{3} \times OO' \times (S_{ABCD} + S_{A'B'C'D'} + \sqrt{S_{ABCD} \times S_{A'B'C'D'}}) \] \[ V = \frac{1}{3} \times 20\sqrt{5} \times (3600 + 14400 + \sqrt{3600 \times 14400}) \] \[ V = \frac{1}{3} \times 20\sqrt{5} \times (3600 + 14400 + 7200) \] \[ V = \frac{1}{3} \times 20\sqrt{5} \times 25200 \] \[ V = 20\sqrt{5} \times 8400 \] \[ V = 168000\sqrt{5} \text{ cm}^3 \] Vậy thể tích của thùng đựng rác là \( 168000\sqrt{5} \text{ cm}^3 \).