Hsjsvskshshs

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích đáy ABC. 2. Tìm chiều cao SA của hình chóp S.ABC. 3. Tính thể tích khối chóp S.ABC. Bước 1: Tính diện tích đáy ABC Ta có tam giác ABC với AB = a, AC = 2a và $\widehat{A} = 120^\circ$. Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\widehat{A}) \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2a \cdot \sin(120^\circ) \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 2a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S_{ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \] Bước 2: Tìm chiều cao SA của hình chóp S.ABC Gọi H là chân đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC). Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên SH là đường cao của hình chóp S.ABC. Gọi D là trung điểm của BC. Ta có: \[ SD \perp BC \quad \text{(vì SD là đường cao hạ từ S xuống BC)} \] \[ AD \perp BC \quad \text{(vì AD là đường cao hạ từ A xuống BC)} \] Do đó, góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc giữa SD và AD, tức là góc SDA. Ta biết rằng góc SDA = 45°. Trong tam giác SAD vuông tại A, ta có: \[ \tan(45^\circ) = \frac{SA}{AD} \] \[ 1 = \frac{SA}{AD} \] \[ SA = AD \] Bước 3: Tính thể tích khối chóp S.ABC Thể tích khối chóp S.ABC được tính bằng công thức: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SA \] Ta đã biết: \[ S_{ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \] \[ SA = AD \] Để tính AD, ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD \] \[ \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD \] \[ a^2 \sqrt{3} = BC \cdot AD \] Ta cần tính BC. Áp dụng định lý余弦到BC： \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{A}) \] \[ BC^2 = a^2 + (2a)^2 - 2 \cdot a \cdot 2a \cdot \cos(120^\circ) \] \[ BC^2 = a^2 + 4a^2 - 2 \cdot a \cdot 2a \cdot (-\frac{1}{2}) \] \[ BC^2 = a^2 + 4a^2 + 2a^2 \] \[ BC^2 = 7a^2 \] \[ BC = a\sqrt{7} \] 代入面积公式求AD： \[ a^2 \sqrt{3} = a\sqrt{7} \cdot AD \] \[ AD = \frac{a^2 \sqrt{3}}{a\sqrt{7}} \] \[ AD = \frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{7}} \] \[ AD = \frac{a \sqrt{21}}{7} \] 因为SA = AD，所以： \[ SA = \frac{a \sqrt{21}}{7} \] 最后计算体积： \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a \sqrt{21}}{7} \] \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^3 \sqrt{63}}{14} \] \[ V_{S.ABC} = \frac{a^3 \sqrt{9 \cdot 7}}{42} \] \[ V_{S.ABC} = \frac{a^3 \cdot 3 \sqrt{7}}{42} \] \[ V_{S.ABC} = \frac{a^3 \sqrt{7}}{14} \] 因此，正确答案是 $\frac{a^3 \sqrt{14}}{7}$。