câu đúng sai và trả lời ngắn ạ đề 2

Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt tính xác suất của các biến cố A, B và AB, sau đó tính xác suất của biến cố "rút được thẻ mang số chia hết cho 2 hoặc 3". a) Tính xác suất của biến cố A Biến cố A là "Rút được thẻ đánh số chia hết cho 2". Các số chia hết cho 2 trong khoảng từ 1 đến 20 là: \[ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 \] Có tổng cộng 10 số chia hết cho 2 trong khoảng từ 1 đến 20. Xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = \frac{\text{số lượng kết quả thuận lợi}}{\text{số lượng kết quả có thể xảy ra}} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \] b) Tính xác suất của biến cố B Biến cố B là "Rút được thẻ đánh số chia hết cho 3". Các số chia hết cho 3 trong khoảng từ 1 đến 20 là: \[ 3, 6, 9, 12, 15, 18 \] Có tổng cộng 6 số chia hết cho 3 trong khoảng từ 1 đến 20. Xác suất của biến cố B là: \[ P(B) = \frac{\text{số lượng kết quả thuận lợi}}{\text{số lượng kết quả có thể xảy ra}} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \] c) Tính xác suất của biến cố AB Biến cố AB là "Rút được thẻ đánh số chia hết cho cả 2 và 3", tức là chia hết cho 6. Các số chia hết cho 6 trong khoảng từ 1 đến 20 là: \[ 6, 12, 18 \] Có tổng cộng 3 số chia hết cho 6 trong khoảng từ 1 đến 20. Xác suất của biến cố AB là: \[ P(AB) = \frac{\text{số lượng kết quả thuận lợi}}{\text{số lượng kết quả có thể xảy ra}} = \frac{3}{20} \] d) Tính xác suất của biến cố "rút được thẻ mang số chia hết cho 2 hoặc 3" Xác suất của biến cố "rút được thẻ mang số chia hết cho 2 hoặc 3" là: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) \] \[ P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{10} - \frac{3}{20} \] Chuyển tất cả các phân số về cùng mẫu số: \[ P(A \cup B) = \frac{10}{20} + \frac{6}{20} - \frac{3}{20} = \frac{13}{20} \] Vậy, xác suất để rút được thẻ mang số chia hết cho 2 hoặc 3 là: \[ \frac{13}{20} \] Đáp số: \[ a)~P(A)=\frac{1}{2}. \] \[ b)~P(B)=\frac{3}{10}. \] \[ c)~P(AB)=\frac{3}{20}. \] \[ d)~P(A \cup B) = \frac{13}{20}. \] Câu 2. Để giải quyết các câu hỏi về hàm số $y=-4x^3+\frac{x^2}2-2x+3$, ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần của câu hỏi. a) Tìm $a + b + c$ Trước tiên, ta tính đạo hàm của hàm số $y$: \[ y' = \frac{d}{dx}\left(-4x^3 + \frac{x^2}{2} - 2x + 3\right) \] Áp dụng công thức đạo hàm: \[ y' = -12x^2 + x - 2 \] So sánh với dạng $y' = ax^2 + bx + c$, ta nhận thấy: \[ a = -12, \quad b = 1, \quad c = -2 \] Do đó: \[ a + b + c = -12 + 1 - 2 = -13 \] Vậy, $a + b + c = -13$. Câu a) sai. b) Phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt Phương trình $y' = 0$ là: \[ -12x^2 + x - 2 = 0 \] Ta kiểm tra phương trình này có hai nghiệm phân biệt hay không bằng cách tính $\Delta$ (discriminant): \[ \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-12)(-2) = 1 - 96 = -95 \] Vì $\Delta < 0$, phương trình $-12x^2 + x - 2 = 0$ không có nghiệm thực. Do đó, phương trình $y' = 0$ không có hai nghiệm phân biệt. Câu b) sai. c) Đồ thị hàm số $y'$ cắt trục tung tại điểm $(0; -2)$ Đồ thị hàm số $y'$ cắt trục tung tại điểm có hoành độ $x = 0$. Thay $x = 0$ vào phương trình $y'$: \[ y'(0) = -12(0)^2 + 1(0) - 2 = -2 \] Vậy, đồ thị hàm số $y'$ cắt trục tung tại điểm $(0; -2)$. Câu c) đúng. d) Đồ thị hàm số $y'$ cắt đường thẳng $y = 3$ tại hai điểm phân biệt Để tìm giao điểm của đồ thị hàm số $y'$ với đường thẳng $y = 3$, ta giải phương trình: \[ -12x^2 + x - 2 = 3 \] \[ -12x^2 + x - 5 = 0 \] Kiểm tra phương trình này có hai nghiệm phân biệt hay không bằng cách tính $\Delta$: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-12)(-5) = 1 - 240 = -239 \] Vì $\Delta < 0$, phương trình $-12x^2 + x - 5 = 0$ không có nghiệm thực. Do đó, đồ thị hàm số $y'$ không cắt đường thẳng $y = 3$ tại hai điểm phân biệt. Câu d) sai. Kết luận Câu c) là câu đúng. Câu 1. Để giải bất phương trình $\log_3(x+4) \leq 2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_3(x+4)$, ta cần đảm bảo rằng $x + 4 > 0$. Do đó: \[ x > -4 \] 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_3(x+4) \leq 2$. Điều này tương đương với: \[ x + 4 \leq 3^2 \] - Tính toán $3^2$: \[ x + 4 \leq 9 \] - Giải phương trình này để tìm $x$: \[ x \leq 9 - 4 \] \[ x \leq 5 \] 3. Tìm giao của các điều kiện: - Kết hợp điều kiện $x > -4$ và $x \leq 5$, ta có: \[ -4 < x \leq 5 \] 4. Xác định các nghiệm nguyên: - Các số nguyên thỏa mãn $-4 < x \leq 5$ là: \[ x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 \] 5. Kết luận: - Số lượng nghiệm nguyên của bất phương trình là 9. Vậy, bất phương trình $\log_3(x+4) \leq 2$ có 9 nghiệm nguyên. Câu 2. Để tính thể tích của khối chóp S.ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích đáy ABC: - Đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 2 và AC = 3. - Diện tích đáy ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3 \] 2. Tính chiều cao SA: - Vì SA vuông góc với đáy, nên SA là chiều cao của khối chóp. - Xét tam giác SAC vuông tại A, ta có: \[ \sin(30^\circ) = \frac{SA}{SC} \] - Biết rằng $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, ta có: \[ \frac{1}{2} = \frac{SA}{SC} \] - Ta cần tính SC trước. Xét tam giác ABC vuông tại A: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \] - Xét tam giác SAC vuông tại A, ta có: \[ SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} \] - Thay vào phương trình $\frac{1}{2} = \frac{SA}{SC}$: \[ SC = 2 \times SA \] - Thay vào phương trình trên: \[ (2 \times SA)^2 = SA^2 + 3^2 \] \[ 4 \times SA^2 = SA^2 + 9 \] \[ 3 \times SA^2 = 9 \] \[ SA^2 = 3 \] \[ SA = \sqrt{3} \] 3. Tính thể tích khối chóp S.ABC: - Thể tích khối chóp S.ABC: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA = \frac{1}{3} \times 3 \times \sqrt{3} = \sqrt{3} \] - Làm tròn kết quả đến một chữ số thập phân: \[ \sqrt{3} \approx 1.7 \] Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là 1.7. Câu 3. Để tính xác suất để học sinh được chọn học giỏi môn Toán hoặc môn Văn, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm số học sinh giỏi môn Toán hoặc môn Văn: - Số học sinh giỏi môn Toán: 10 em. - Số học sinh giỏi môn Văn: 7 em. - Số học sinh giỏi cả hai môn Toán và Văn: 4 em. Theo công thức tính số phần tử của tập hợp hợp của hai tập hợp: \[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \] Ta có: \[ |A \cup B| = 10 + 7 - 4 = 13 \text{ em} \] 2. Tính xác suất: - Tổng số học sinh trong lớp: 30 em. - Số học sinh giỏi môn Toán hoặc môn Văn: 13 em. Xác suất để học sinh được chọn học giỏi môn Toán hoặc môn Văn là: \[ P = \frac{|A \cup B|}{\text{Tổng số học sinh}} = \frac{13}{30} \approx 0.43 \] Vậy xác suất để học sinh được chọn học giỏi môn Toán hoặc môn Văn là khoảng 0.43. Câu 4. Để tính vận tốc của viên bi tại thời điểm \( t = 10 \) giây, ta cần sử dụng phương trình chuyển động rơi tự do và đạo hàm của nó để tìm vận tốc tức thời. Phương trình chuyển động rơi tự do của viên bi là: \[ h(t) = 4,9t^2 \] Vận tốc tức thời \( v(t) \) của viên bi tại thời điểm \( t \) là đạo hàm của phương trình chuyển động \( h(t) \): \[ v(t) = \frac{d}{dt} h(t) \] Ta tính đạo hàm của \( h(t) \): \[ v(t) = \frac{d}{dt} (4,9t^2) = 4,9 \cdot 2t = 9,8t \] Bây giờ, ta thay \( t = 10 \) vào phương trình vận tốc: \[ v(10) = 9,8 \cdot 10 = 98 \text{ m/s} \] Vậy vận tốc của viên bi tại thời điểm \( t = 10 \) giây là: \[ \boxed{98 \text{ m/s}} \] Câu 1. Để tính tổng diện tích cần sơn, ta cần tính diện tích toàn bộ các mặt của hình chóp cụt lục giác đều, bao gồm diện tích đáy lớn, diện tích đáy nhỏ và diện tích xung quanh. Bước 1: Tính diện tích đáy lớn (hình lục giác đều cạnh 1m). Diện tích của một tam giác đều cạnh 1m là: \[ S_{\text{tam giác}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \] Diện tích đáy lớn (hình lục giác đều) là: \[ S_{\text{đáy lớn}} = 6 \times S_{\text{tam giác}} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \] Bước 2: Tính diện tích đáy nhỏ (hình lục giác đều cạnh 0,7m). Diện tích của một tam giác đều cạnh 0,7m là: \[ S_{\text{tam giác nhỏ}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (0,7)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 0,49 = \frac{0,49\sqrt{3}}{4} \] Diện tích đáy nhỏ (hình lục giác đều) là: \[ S_{\text{đáy nhỏ}} = 6 \times S_{\text{tam giác nhỏ}} = 6 \times \frac{0,49\sqrt{3}}{4} = \frac{2,94\sqrt{3}}{4} = \frac{1,47\sqrt{3}}{2} \] Bước 3: Tính diện tích xung quanh. Diện tích một mặt bên (hình thang cân) là: \[ S_{\text{thang}} = \frac{(1 + 0,7)}{2} \times \text{chiều cao} \] Ta cần tính chiều cao của hình thang này. Chiều cao của hình thang này là khoảng cách giữa hai đáy, ta có thể tính bằng cách sử dụng công thức Pythagoras trong tam giác vuông tạo bởi chiều cao, nửa chênh lệch hai đáy và cạnh bên. Chiều cao của tam giác đều cạnh 1m là: \[ h_{\text{tam giác lớn}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Chiều cao của tam giác đều cạnh 0,7m là: \[ h_{\text{tam giác nhỏ}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 0,7 = \frac{0,7\sqrt{3}}{2} \] Khoảng cách giữa hai đáy là: \[ d = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{0,7\sqrt{3}}{2} = \frac{0,3\sqrt{3}}{2} \] Chiều cao của hình thang là: \[ h_{\text{thang}} = \sqrt{0,7^2 - \left(\frac{0,3}{2}\right)^2} = \sqrt{0,49 - 0,0225} = \sqrt{0,4675} \approx 0,684 \] Diện tích một mặt bên là: \[ S_{\text{thang}} = \frac{(1 + 0,7)}{2} \times 0,684 = \frac{1,7}{2} \times 0,684 = 0,85 \times 0,684 = 0,5814 \] Diện tích xung quanh là: \[ S_{\text{xung quanh}} = 6 \times S_{\text{thang}} = 6 \times 0,5814 = 3,4884 \] Bước 4: Tính tổng diện tích cần sơn. Tổng diện tích cần sơn là: \[ S_{\text{tổng}} = S_{\text{đáy lớn}} + S_{\text{đáy nhỏ}} + S_{\text{xung quanh}} \] \[ S_{\text{tổng}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{1,47\sqrt{3}}{2} + 3,4884 \] \[ S_{\text{tổng}} = \frac{4,47\sqrt{3}}{2} + 3,4884 \] \[ S_{\text{tổng}} \approx 3,86 + 3,4884 = 7,3484 \] Vậy tổng diện tích cần sơn là khoảng 7,35 m². Câu 2. Để tính xác suất của biến cố "sinh viên được chọn không học tiếng Anh và tiếng Pháp", chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm số lượng sinh viên học ít nhất một trong hai ngoại ngữ (tiếng Anh hoặc tiếng Pháp): - Số sinh viên học tiếng Anh: 40 - Số sinh viên học tiếng Pháp: 30 - Số sinh viên học cả hai ngoại ngữ: 20 Theo nguyên lý bao gồm, số sinh viên học ít nhất một trong hai ngoại ngữ là: \[ 40 + 30 - 20 = 50 \] 2. Tìm số lượng sinh viên không học bất kỳ ngoại ngữ nào: - Tổng số sinh viên trong lớp: 60 - Số sinh viên học ít nhất một ngoại ngữ: 50 Số sinh viên không học bất kỳ ngoại ngữ nào là: \[ 60 - 50 = 10 \] 3. Tính xác suất của biến cố "sinh viên được chọn không học tiếng Anh và tiếng Pháp": Xác suất của biến cố này là tỷ lệ giữa số sinh viên không học bất kỳ ngoại ngữ nào và tổng số sinh viên trong lớp: \[ P(\text{không học tiếng Anh và tiếng Pháp}) = \frac{10}{60} = \frac{1}{6} \] Vậy xác suất của biến cố "sinh viên được chọn không học tiếng Anh và tiếng Pháp" là $\frac{1}{6}$.