Giúp mình với!

Câu 1. Để giải quyết bài toán xác suất này, chúng ta sẽ lần lượt tính xác suất cho từng trường hợp theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Xác định xác suất của từng động cơ - Xác suất để động cơ I hoạt động bình thường là \( P(I) = 0,95 \) - Xác suất để động cơ II bị hỏng là \( P(\text{II hỏng}) = 0,1 \) Từ đó, xác suất để động cơ II hoạt động bình thường là: \[ P(\text{II bình thường}) = 1 - P(\text{II hỏng}) = 1 - 0,1 = 0,9 \] Bước 2: Tính xác suất cho từng trường hợp a) Xác suất hai động cơ đều hoạt động bình thường: \[ P(\text{I bình thường} \cap \text{II bình thường}) = P(I) \times P(\text{II bình thường}) = 0,95 \times 0,9 = 0,855 \] b) Xác suất hai động cơ đều bị hỏng: \[ P(\text{I hỏng} \cap \text{II hỏng}) = P(\text{I hỏng}) \times P(\text{II hỏng}) = (1 - 0,95) \times 0,1 = 0,05 \times 0,1 = 0,005 \] c) Xác suất để động cơ I hoạt động bình thường và động cơ II hỏng: \[ P(\text{I bình thường} \cap \text{II hỏng}) = P(I) \times P(\text{II hỏng}) = 0,95 \times 0,1 = 0,095 \] d) Xác suất ít nhất một động cơ hoạt động: \[ P(\text{ít nhất một động cơ hoạt động}) = 1 - P(\text{cả hai động cơ đều hỏng}) = 1 - 0,005 = 0,995 \] Kết luận: a) Xác suất hai động cơ đều hoạt động bình thường là 0,855. b) Xác suất hai động cơ đều bị hỏng là 0,005. c) Xác suất để động cơ I hoạt động bình thường và động cơ II hỏng là 0,095. d) Xác suất ít nhất một động cơ hoạt động là 0,995. Câu 2. Để giải quyết các câu hỏi về vận tốc và gia tốc của vật chuyển động theo công thức \( s(t) = t^3 - 3t^2 + 7t - 2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Tính vận tốc của vật tại thời điểm \( t = 2 \) Vận tốc \( v(t) \) của vật là đạo hàm của quãng đường \( s(t) \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 3t^2 + 7t - 2) = 3t^2 - 6t + 7 \] Tại thời điểm \( t = 2 \): \[ v(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 7 = 3 \cdot 4 - 12 + 7 = 12 - 12 + 7 = 7 \, \text{(m/s)} \] b) Tính gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 2 \) Gia tốc \( a(t) \) của vật là đạo hàm của vận tốc \( v(t) \): \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 6t + 7) = 6t - 6 \] Tại thời điểm \( t = 2 \): \[ a(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6 \, \text{(m/s}^2\text{)} \] c) Tìm gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 16 m/s Trước tiên, ta tìm thời điểm \( t \) mà vận tốc \( v(t) = 16 \): \[ 3t^2 - 6t + 7 = 16 \] \[ 3t^2 - 6t + 7 - 16 = 0 \] \[ 3t^2 - 6t - 9 = 0 \] \[ t^2 - 2t - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \] Có hai nghiệm: \[ t_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \] \[ t_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \] Vì thời gian \( t \) phải dương, ta chọn \( t = 3 \). Bây giờ, ta tính gia tốc tại thời điểm \( t = 3 \): \[ a(3) = 6(3) - 6 = 18 - 6 = 12 \, \text{(m/s}^2\text{)} \] d) Tìm thời điểm mà vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất Để tìm giá trị nhỏ nhất của vận tốc \( v(t) = 3t^2 - 6t + 7 \), ta tìm đạo hàm của \( v(t) \) và đặt nó bằng 0: \[ \frac{dv}{dt} = 6t - 6 \] \[ 6t - 6 = 0 \] \[ t = 1 \] Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai để xác định đây là cực tiểu: \[ \frac{d^2v}{dt^2} = 6 \] Vì đạo hàm thứ hai dương (\( 6 > 0 \)), thì \( t = 1 \) là điểm cực tiểu của \( v(t) \). Do đó, vận tốc đạt giá trị nhỏ nhất tại thời điểm \( t = 1 \). Kết luận: a) Vận tốc của vật tại thời điểm \( t = 2 \) là \( 7 \, \text{m/s} \). b) Gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 2 \) là \( 6 \, \text{m/s}^2 \). c) Gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 16 m/s là \( 12 \, \text{m/s}^2 \). d) Thời điểm mà vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất là \( t = 1 \, \text{giây} \). Câu 1. Điều kiện xác định: $x > 4$ Phương trình đã cho tương đương với: $\log_{\sum(x-2)+\log_2(x-4)^2=0}\log_{\sum(x-2)+\log_2(x-4)^2=0}\log_{\sum(x-2)+\log_2(x-4)^2=0}1=0$ $\Rightarrow \log_{\sum(x-2)+\log_2(x-4)^2=0}\log_{\sum(x-2)+\log_2(x-4)^2=0}1=1$ $\Rightarrow \log_{\sum(x-2)+\log_2(x-4)^2=0}1=\sum(x-2)+\log_2(x-4)^2=0$ $\Rightarrow \sum(x-2)+\log_2(x-4)^2=0=1$ $\Rightarrow \sum(x-2)+\log_2(x-4)^2=0$ $\Rightarrow \log_2(x-4)^2=2-\sum$ $\Rightarrow (x-4)^2=2^{2-\sum}$ $\Rightarrow x-4=\pm 2^{1-\sum}$ $\Rightarrow x=4\pm 2^{1-\sum}$ Tổng các nghiệm của phương trình là: $S=(4+2^{1-\sum})+(4-2^{1-\sum})=8$ Ta có $S=a+b\sqrt{2}=8$ $\Rightarrow a=8; b=0$ Giá trị của biểu thức $Q=ab$ là: $Q=8\times 0=0$ Câu 2. Để tính thể tích bê tông cần thiết để làm một viên gạch có dạng khối lăng trụ lục giác đều, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính diện tích đáy của khối lăng trụ lục giác đều Khối lăng trụ lục giác đều có đáy là hình lục giác đều. Diện tích của một hình lục giác đều được tính bằng công thức: \[ S_{đáy} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times a^2 \] Trong đó \( a \) là độ dài cạnh của hình lục giác đều. Áp dụng vào bài toán: \[ a = 21,5 \text{ cm} \] Diện tích đáy: \[ S_{đáy} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times (21,5)^2 \] Tính toán: \[ S_{đáy} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 462,25 \] \[ S_{đáy} = \frac{3 \times 1,732}{2} \times 462,25 \] \[ S_{đáy} = 2,598 \times 462,25 \] \[ S_{đáy} \approx 1200,07 \text{ cm}^2 \] Bước 2: Tính thể tích của khối lăng trụ lục giác đều Thể tích của khối lăng trụ được tính bằng công thức: \[ V = S_{đáy} \times h \] Trong đó \( h \) là chiều cao của khối lăng trụ. Áp dụng vào bài toán: \[ h = 4 \text{ cm} \] Thể tích: \[ V = 1200,07 \times 4 \] \[ V \approx 4800,28 \text{ cm}^3 \] Kết luận Thể tích bê tông cần thiết để làm một viên gạch theo đơn vị centimét khối là: \[ V \approx 4800 \text{ cm}^3 \] (làm tròn đến hàng đơn vị) Đáp số: 4800 cm³ Câu 3. Để tính xác suất lấy được bi xanh, ta sẽ thực hiện theo các bước sau: 1. Tính xác suất chọn mỗi hộp: - Xác suất chọn hộp I là $\frac{1}{2}$. - Xác suất chọn hộp II là $\frac{1}{2}$. 2. Tính xác suất lấy được bi xanh từ mỗi hộp: - Trong hộp I có 4 bi xanh và 6 bi đỏ, tổng cộng 10 bi. Xác suất lấy được bi xanh từ hộp I là $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. - Trong hộp II có 3 bi xanh và 7 bi đỏ, tổng cộng 10 bi. Xác suất lấy được bi xanh từ hộp II là $\frac{3}{10}$. 3. Áp dụng công thức xác suất tổng: - Xác suất lấy được bi xanh từ hộp I là $\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$. - Xác suất lấy được bi xanh từ hộp II là $\frac{1}{2} \times \frac{3}{10} = \frac{3}{20}$. 4. Tính tổng xác suất lấy được bi xanh: - Tổng xác suất lấy được bi xanh là $\frac{1}{5} + \frac{3}{20} = \frac{4}{20} + \frac{3}{20} = \frac{7}{20}$. Vậy xác suất để lấy được bi xanh là $\frac{7}{20}$. Câu 4. Để tính gia tốc của vật lúc $t = 0,25$ (h), ta cần biết phương trình vận tốc $v(t)$ theo thời gian $t$. Trước tiên, ta nhận thấy rằng đồ thị vận tốc là một phần của đường parabol có đỉnh $I\left(\frac{1}{2}; 8\right)$ và trục đối xứng song song với trục tung. Điều này cho ta biết rằng phương trình của đường parabol có dạng: \[ v(t) = a(t - h)^2 + k \] trong đó $(h, k)$ là tọa độ đỉnh của parabol. Ở đây, $h = \frac{1}{2}$ và $k = 8$, nên ta có: \[ v(t) = a\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + 8 \] Tiếp theo, ta cần xác định giá trị của $a$. Ta biết rằng tại $t = 0$, vận tốc $v(0)$ bằng 0 (do đồ thị bắt đầu từ điểm $(0,0)$). Thay vào phương trình trên, ta có: \[ 0 = a\left(0 - \frac{1}{2}\right)^2 + 8 \] \[ 0 = a \cdot \frac{1}{4} + 8 \] \[ 0 = \frac{a}{4} + 8 \] \[ \frac{a}{4} = -8 \] \[ a = -32 \] Vậy phương trình vận tốc của vật là: \[ v(t) = -32\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + 8 \] Gia tốc $a(t)$ là đạo hàm của vận tốc $v(t)$ theo thời gian $t$. Ta tính đạo hàm của $v(t)$: \[ v(t) = -32\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + 8 \] \[ v'(t) = -32 \cdot 2 \left(t - \frac{1}{2}\right) \] \[ v'(t) = -64 \left(t - \frac{1}{2}\right) \] Thay $t = 0,25$ vào phương trình đạo hàm: \[ v'(0,25) = -64 \left(0,25 - \frac{1}{2}\right) \] \[ v'(0,25) = -64 \left(0,25 - 0,5\right) \] \[ v'(0,25) = -64 \left(-0,25\right) \] \[ v'(0,25) = 16 \] Vậy gia tốc của vật lúc $t = 0,25$ (h) là 16 km/h². Câu 1. Để tính xác suất để 5 bạn được chọn có ít nhất 3 bạn nữ, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số cách chọn 5 bạn từ 40 bạn: Số cách chọn 5 bạn từ 40 bạn là: \[ C_{40}^5 = \frac{40!}{5!(40-5)!} = \frac{40!}{5! \cdot 35!} \] 2. Tìm số cách chọn 5 bạn có ít nhất 3 bạn nữ: Ta sẽ tính số cách chọn 5 bạn có 3 bạn nữ, 4 bạn nữ và 5 bạn nữ. - Số cách chọn 3 bạn nữ từ 18 bạn nữ và 2 bạn nam từ 22 bạn nam: \[ C_{18}^3 \times C_{22}^2 = \frac{18!}{3!(18-3)!} \times \frac{22!}{2!(22-2)!} = \frac{18!}{3! \cdot 15!} \times \frac{22!}{2! \cdot 20!} \] - Số cách chọn 4 bạn nữ từ 18 bạn nữ và 1 bạn nam từ 22 bạn nam: \[ C_{18}^4 \times C_{22}^1 = \frac{18!}{4!(18-4)!} \times \frac{22!}{1!(22-1)!} = \frac{18!}{4! \cdot 14!} \times \frac{22!}{1! \cdot 21!} \] - Số cách chọn 5 bạn nữ từ 18 bạn nữ: \[ C_{18}^5 = \frac{18!}{5!(18-5)!} = \frac{18!}{5! \cdot 13!} \] Tổng số cách chọn 5 bạn có ít nhất 3 bạn nữ là: \[ C_{18}^3 \times C_{22}^2 + C_{18}^4 \times C_{22}^1 + C_{18}^5 \] 3. Tính xác suất: Xác suất để 5 bạn được chọn có ít nhất 3 bạn nữ là: \[ P = \frac{C_{18}^3 \times C_{22}^2 + C_{18}^4 \times C_{22}^1 + C_{18}^5}{C_{40}^5} \] Vậy xác suất để 5 bạn được chọn có ít nhất 3 bạn nữ là: \[ P = \frac{C_{18}^3 \times C_{22}^2 + C_{18}^4 \times C_{22}^1 + C_{18}^5}{C_{40}^5} \] Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các thông số đã biết - Tam giác ABC là tam giác vuông tại A với AB = a và AC = a√3. - SA vuông góc với đáy ABC. - SB hợp với đáy ABC dưới góc 45°. Bước 2: Tìm chiều cao SA Do SB hợp với đáy ABC dưới góc 45°, ta có: \[ \tan(45^\circ) = \frac{SA}{AB} \] \[ 1 = \frac{SA}{a} \] \[ SA = a \] Bước 3: Tính diện tích đáy ABC Diện tích tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times a \times a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \] Bước 4: Tính thể tích khối chóp S.ABC Thể tích khối chóp S.ABC là: \[ V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \times a = \frac{a^3\sqrt{3}}{6} \] Bước 5: Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) a) Xác định diện tích tam giác SBC Ta tính diện tích tam giác SBC bằng công thức Heron hoặc trực tiếp: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = 2a \] \[ SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} \] \[ SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = 2a \] Diện tích tam giác SBC: \[ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times SB \times BC \times \sin(\angle SBC) \] \[ \cos(\angle SBC) = \frac{SB^2 + BC^2 - SC^2}{2 \times SB \times BC} = \frac{(a\sqrt{2})^2 + (2a)^2 - (2a)^2}{2 \times a\sqrt{2} \times 2a} = \frac{2a^2}{4a^2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \] \[ \sin(\angle SBC) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{14}}{4} \] \[ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times 2a \times \frac{\sqrt{14}}{4} = \frac{a^2\sqrt{28}}{4} = \frac{a^2\sqrt{7}}{2} \] b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là: \[ d(A, (SBC)) = \frac{3 \times V_{S.ABC}}{S_{SBC}} = \frac{3 \times \frac{a^3\sqrt{3}}{6}}{\frac{a^2\sqrt{7}}{2}} = \frac{a^3\sqrt{3}}{a^2\sqrt{7}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{a\sqrt{21}}{7} \] Đáp số a) Thể tích khối chóp S.ABC là: \[ V_{S.ABC} = \frac{a^3\sqrt{3}}{6} \] b) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là: \[ d(A, (SBC)) = \frac{a\sqrt{21}}{7} \]