Giúp mình với!

Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit để biến đổi biểu thức \( M \). Điều kiện: \( a, b > 0 \) và \( \log_{a} b = \sqrt{5} \). Biểu thức cần tính là: \[ M = \log_{a} \left( \frac{a}{b} \right) \] Áp dụng tính chất của logarit: \[ \log_{a} \left( \frac{a}{b} \right) = \log_{a} a - \log_{a} b \] Biết rằng \( \log_{a} a = 1 \) và \( \log_{a} b = \sqrt{5} \), ta thay vào: \[ M = 1 - \sqrt{5} \] Vậy giá trị của biểu thức \( M \) là: \[ M = 1 - \sqrt{5} \] Đáp án đúng là: \[ C.~M = 1 - \sqrt{5} \] Câu 2. Phương trình đã cho là: \[ 9^{-x} = 27 \] Đầu tiên, ta viết lại các số dưới dạng lũy thừa cơ sở 3: \[ 9 = 3^2 \] \[ 27 = 3^3 \] Do đó, phương trình trở thành: \[ (3^2)^{-x} = 3^3 \] Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa, ta có: \[ 3^{-2x} = 3^3 \] Hai lũy thừa cùng cơ sở bằng nhau khi và chỉ khi các số mũ bằng nhau: \[ -2x = 3 \] Giải phương trình này để tìm \( x \): \[ x = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2} \] Bây giờ, ta tính giá trị của biểu thức \( 2x - 1 \): \[ 2x - 1 = 2 \left( -\frac{3}{2} \right) - 1 = -3 - 1 = -4 \] Như vậy, giá trị của biểu thức \( 2x - 1 \) là \(-4\). Đáp án đúng là: A. 4 (sai, vì giá trị thực tế là -4). Câu 3. Trước tiên, ta xét từng khẳng định một để kiểm tra xem khẳng định nào là sai. - Khẳng định A: \( AC \bot (SBD) \) Ta biết rằng trong hình chóp \( S.ABCD \) đáy là hình vuông và \( SL \bot (ABCD) \). Do đó, \( S \) là đỉnh của chóp và \( L \) là chân đường cao hạ từ \( S \) xuống đáy \( ABCD \). Trong hình vuông \( ABCD \), ta có \( AC \bot BD \). Vì \( SL \bot (ABCD) \), nên \( SL \bot BD \). Do đó, \( BD \) nằm trong mặt phẳng \( (SBD) \) và \( AC \) vuông góc với cả hai đường thẳng \( BD \) và \( SL \) (cả hai đều nằm trong mặt phẳng \( (SBD) \)). Vậy \( AC \bot (SBD) \). Khẳng định này đúng. - Khẳng định B: \( BD \bot (SAC) \) Tương tự như trên, ta cũng có \( BD \bot AC \) vì \( ABCD \) là hình vuông. Mặt khác, \( SL \bot (ABCD) \), do đó \( SL \bot AC \). Vì \( AC \) và \( SL \) đều nằm trong mặt phẳng \( (SAC) \), nên \( BD \bot (SAC) \). Khẳng định này đúng. - Khẳng định C: \( CD \bot (SAD) \) Trong hình vuông \( ABCD \), ta có \( CD \bot AD \). Mặt khác, \( SL \bot (ABCD) \), do đó \( SL \bot AD \). Vì \( AD \) và \( SL \) đều nằm trong mặt phẳng \( (SAD) \), nên \( CD \bot (SAD) \). Khẳng định này đúng. - Khẳng định D: \( BC \bot (SHB) \) Trong hình vuông \( ABCD \), ta có \( BC \bot AB \). Tuy nhiên, \( SHB \) là mặt phẳng chứa \( S \), \( H \) (chân đường cao từ \( S \) xuống \( HB \)) và \( B \). Ta thấy rằng \( BC \) không vuông góc với cả hai đường thẳng \( SB \) và \( HB \) (vì \( BC \) chỉ vuông góc với \( AB \) và không chắc chắn vuông góc với \( SB \) hoặc \( HB \)). Do đó, \( BC \) không phải luôn luôn vuông góc với mặt phẳng \( (SHB) \). Khẳng định này sai. Vậy khẳng định sai là: \[ \boxed{D} \] Câu 4. Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương vuông góc với (P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P). Do đó, đáp án đúng là: A. Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương A vuông góc với (P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P). Câu 5. Để tìm khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \((SAB)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích tam giác \(SAB\): - \(SA \perp (ABCD)\) nên \(SA \perp AB\). - Diện tích tam giác \(SAB\) là: \[ S_{SAB} = \frac{1}{2} \times SA \times AB = \frac{1}{2} \times 5a \times 3a = \frac{15a^2}{2} \] 2. Tính thể tích khối chóp \(SABC\): - Diện tích đáy \(ABCD\) là: \[ S_{ABCD} = AB \times BC = 3a \times 4a = 12a^2 \] - Thể tích khối chóp \(SABCD\) là: \[ V_{SABCD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA = \frac{1}{3} \times 12a^2 \times 5a = 20a^3 \] - Thể tích khối chóp \(SABC\) là: \[ V_{SABC} = \frac{1}{2} \times V_{SABCD} = \frac{1}{2} \times 20a^3 = 10a^3 \] 3. Tính diện tích tam giác \(ABC\): - Diện tích tam giác \(ABC\) là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3a \times 4a = 6a^2 \] 4. Tìm khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \((SAB)\): - Gọi khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \((SAB)\) là \(h\). - Thể tích khối chóp \(SABC\) cũng có thể tính qua diện tích tam giác \(SAB\) và khoảng cách \(h\): \[ V_{SABC} = \frac{1}{3} \times S_{SAB} \times h \] - Thay các giá trị đã biết vào: \[ 10a^3 = \frac{1}{3} \times \frac{15a^2}{2} \times h \] - Giải phương trình để tìm \(h\): \[ 10a^3 = \frac{15a^2}{6} \times h \implies 10a^3 = \frac{5a^2}{2} \times h \implies 20a^3 = 5a^2 \times h \implies h = \frac{20a^3}{5a^2} = 4a \] Vậy khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \((SAB)\) là \(4a\). Đáp án đúng là: A. 4a Câu 6. Để tìm giao của hai biến cố A và B, ta cần xác định biến cố xảy ra khi cả hai biến cố A và B đều xảy ra cùng một lúc. - Biến cố A: "Số chấm xuất hiện lần một là số lẻ". - Biến cố B: "Số chấm xuất hiện lần hai là số lẻ". Giao của hai biến cố A và B là biến cố xảy ra khi cả hai lần gieo xúc xắc đều xuất hiện số chấm lẻ. Ta xét từng đáp án: A. "Xuất hiện hai mặt có cùng số chấm": Điều này không đúng vì không yêu cầu hai lần gieo phải có cùng số chấm, chỉ cần mỗi lần gieo xuất hiện số chấm lẻ. B. "Tổng số chấm xuất hiện là số lẻ": Điều này không đúng vì tổng của hai số lẻ là một số chẵn. C. "Xuất hiện ít nhất một mặt có số chấm là số lẻ": Điều này không đúng vì yêu cầu là cả hai lần gieo đều phải xuất hiện số chấm lẻ. D. "Xuất hiện cả hai lần có số chấm lẻ": Điều này đúng vì cả hai lần gieo đều xuất hiện số chấm lẻ. Vậy đáp án đúng là D. "Xuất hiện cả hai lần có số chấm lẻ". Câu 7. Để tính xác suất của biến cố \( B \), ta sử dụng công thức xác suất của biến cố tổng khi hai biến cố xung khắc: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \] Biết rằng: \[ P(A) = \frac{1}{5} \] \[ P(A \cup B) = \frac{1}{3} \] Thay vào công thức trên, ta có: \[ \frac{1}{3} = \frac{1}{5} + P(B) \] Giải phương trình này để tìm \( P(B) \): \[ P(B) = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \] Quy đồng mẫu số: \[ P(B) = \frac{5}{15} - \frac{3}{15} = \frac{2}{15} \] Vậy, xác suất của biến cố \( B \) là: \[ P(B) = \frac{2}{15} \] Đáp án đúng là: \( C.~\frac{2}{15} \). Câu 8. Xác suất để thí sinh đỗ là 0,6. Do đó, xác suất để thí sinh trượt là 1 - 0,6 = 0,4. Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ bao gồm hai trường hợp: 1. Bạn A đỗ và bạn B trượt. 2. Bạn A trượt và bạn B đỗ. Xác suất của mỗi trường hợp là: 1. Xác suất bạn A đỗ và bạn B trượt: 0,6 × 0,4 = 0,24. 2. Xác suất bạn A trượt và bạn B đỗ: 0,4 × 0,6 = 0,24. Vậy tổng xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là: 0,24 + 0,24 = 0,48. Đáp án đúng là D. 0,48. Câu 9. Để tìm hệ số góc \( k \) của tiếp tuyến của parabol \( y = x^2 \) tại điểm có hoành độ \( x = \frac{1}{2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( y = x^2 \): Đạo hàm của \( y = x^2 \) là: \[ y' = 2x \] 2. Tính giá trị của đạo hàm tại điểm \( x = \frac{1}{2} \): Thay \( x = \frac{1}{2} \) vào đạo hàm: \[ y'\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \] 3. Hệ số góc \( k \) của tiếp tuyến: Hệ số góc \( k \) của tiếp tuyến tại điểm \( x = \frac{1}{2} \) chính là giá trị của đạo hàm tại điểm đó: \[ k = 1 \] Vậy hệ số góc \( k \) của tiếp tuyến của parabol \( y = x^2 \) tại điểm có hoành độ \( x = \frac{1}{2} \) là \( 1 \). Đáp án đúng là: \( B.~k=1 \). Câu 10. Để tìm đạo hàm \( y' \) của hàm số \( y = \sin x + \cos x \), chúng ta sẽ áp dụng công thức đạo hàm của tổng hai hàm số và công thức đạo hàm của sin và cos. Bước 1: Áp dụng công thức đạo hàm của tổng hai hàm số: \[ y' = (\sin x + \cos x)' = (\sin x)' + (\cos x)' \] Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm của sin và cos: \[ (\sin x)' = \cos x \] \[ (\cos x)' = -\sin x \] Bước 3: Thay vào công thức đạo hàm của tổng hai hàm số: \[ y' = \cos x + (-\sin x) = \cos x - \sin x \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = \sin x + \cos x \) là: \[ y' = \cos x - \sin x \] Đáp án đúng là: \( C.~y' = \cos x - \sin x \). Câu 11. Để tính giá trị của hàm số \( f(x) = \sqrt{2x - 1} \) tại \( x = 5 \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Thay \( x = 5 \) vào biểu thức của hàm số: \[ f(5) = \sqrt{2 \cdot 5 - 1} \] 2. Tính giá trị trong căn bậc hai: \[ 2 \cdot 5 - 1 = 10 - 1 = 9 \] 3. Tính căn bậc hai của 9: \[ \sqrt{9} = 3 \] Vậy giá trị của hàm số \( f(x) \) tại \( x = 5 \) là 3. Đáp án đúng là: \( D.~3 \).