Giúp mình với!

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) của hàm số \( f(x) = \ln \frac{1}{x+1} \). 2. Tính giá trị của \( f(x) \) tại các điểm \( x = 1, 2, 3, ..., 2024 \). 3. Tính tổng \( S = f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(2024) \). Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Hàm số \( f(x) = \ln \frac{1}{x+1} \) có nghĩa khi \( \frac{1}{x+1} > 0 \). - Điều này tương đương với \( x + 1 > 0 \), tức là \( x > -1 \). Bước 2: Tính giá trị của \( f(x) \) tại các điểm \( x = 1, 2, 3, ..., 2024 \) - \( f(x) = \ln \frac{1}{x+1} = -\ln(x+1) \). Bước 3: Tính tổng \( S = f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(2024) \) - \( f(1) = -\ln(1+1) = -\ln 2 \). - \( f(2) = -\ln(2+1) = -\ln 3 \). - \( f(3) = -\ln(3+1) = -\ln 4 \). - ... - \( f(2024) = -\ln(2024+1) = -\ln 2025 \). Tổng \( S \) là: \[ S = -\ln 2 - \ln 3 - \ln 4 - ... - \ln 2025 \] Áp dụng tính chất của lôgarit: \[ S = -(\ln 2 + \ln 3 + \ln 4 + ... + \ln 2025) \] \[ S = -\ln(2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot 2025) \] Nhận thấy rằng: \[ 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot 2025 = \frac{2025!}{1} = 2025! \] Do đó: \[ S = -\ln(2025!) \] Vậy, tổng \( S \) là: \[ S = -\ln(2025!) \] Đáp số: \( S = -\ln(2025!) \) Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \). 2. Tính giá trị của đạo hàm tại \( x = -1 \) và \( x = 0 \). 3. Áp dụng điều kiện \( f'(-1) \cdot f'(0) = 4 \) để tìm các giá trị của \( m \). 4. Tính tổng các giá trị của \( m \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \). Hàm số \( f(x) = \frac{5 - 2mx}{x + 2} \). Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ f'(x) = \frac{(5 - 2mx)'(x + 2) - (5 - 2mx)(x + 2)'}{(x + 2)^2} \] Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: \[ (5 - 2mx)' = -2m \] \[ (x + 2)' = 1 \] Thay vào công thức: \[ f'(x) = \frac{(-2m)(x + 2) - (5 - 2mx)(1)}{(x + 2)^2} \] \[ f'(x) = \frac{-2mx - 4m - 5 + 2mx}{(x + 2)^2} \] \[ f'(x) = \frac{-4m - 5}{(x + 2)^2} \] Bước 2: Tính giá trị của đạo hàm tại \( x = -1 \) và \( x = 0 \). Tại \( x = -1 \): \[ f'(-1) = \frac{-4m - 5}{(-1 + 2)^2} = \frac{-4m - 5}{1^2} = -4m - 5 \] Tại \( x = 0 \): \[ f'(0) = \frac{-4m - 5}{(0 + 2)^2} = \frac{-4m - 5}{4} \] Bước 3: Áp dụng điều kiện \( f'(-1) \cdot f'(0) = 4 \). \[ (-4m - 5) \cdot \left(\frac{-4m - 5}{4}\right) = 4 \] \[ \frac{(-4m - 5)^2}{4} = 4 \] \[ (-4m - 5)^2 = 16 \] Giải phương trình bậc hai: \[ (-4m - 5)^2 = 16 \] \[ -4m - 5 = 4 \quad \text{hoặc} \quad -4m - 5 = -4 \] Tìm các giá trị của \( m \): \[ -4m - 5 = 4 \] \[ -4m = 9 \] \[ m = -\frac{9}{4} \] \[ -4m - 5 = -4 \] \[ -4m = 1 \] \[ m = -\frac{1}{4} \] Bước 4: Tính tổng các giá trị của \( m \). Tập S bao gồm các giá trị \( m = -\frac{9}{4} \) và \( m = -\frac{1}{4} \). Tổng các phần tử của tập S: \[ -\frac{9}{4} + (-\frac{1}{4}) = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2} \] Đáp số: Tổng các phần tử của tập S là \( -\frac{5}{2} \). Câu 2. Để giải phương trình $3^{x^2-4} = \frac{1}{9}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng cơ số giống nhau: \[ 3^{x^2-4} = 3^{-2} \] Bước 2: Vì hai lũy thừa có cùng cơ số, ta có thể so sánh các mũ của chúng: \[ x^2 - 4 = -2 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 4 = -2 \\ x^2 = 2 \\ x = \pm \sqrt{2} \] Bước 4: Xác định các nghiệm âm: Các nghiệm của phương trình là \( x = \sqrt{2} \) và \( x = -\sqrt{2} \). Trong đó, nghiệm âm là \( x = -\sqrt{2} \). Vậy phương trình $3^{x^2-4} = \frac{1}{9}$ có 1 nghiệm âm. Đáp số: 1 nghiệm âm. Câu 3. Để tính thể tích của khối hộp chữ nhật, ta sử dụng công thức: \[ V = l \times w \times h \] Trong đó: - \( l \) là chiều dài, - \( w \) là chiều rộng, - \( h \) là chiều cao. Theo đề bài, ba kích thước của khối hộp chữ nhật lần lượt là 6, 4 và 3. Ta thay các giá trị này vào công thức: \[ V = 6 \times 4 \times 3 \] Bây giờ, ta thực hiện phép nhân từng bước: \[ 6 \times 4 = 24 \] \[ 24 \times 3 = 72 \] Vậy thể tích của khối hộp chữ nhật là: \[ V = 72 \] Đáp số: 72 Câu 4. Xác suất để hai bạn dừng chơi sau hai ván cờ tức là xác suất để hai ván cờ đều không có kết quả (không có người thắng, người thua). Xác suất để một ván cờ không có kết quả là: \[ 1 - (0,4 + 0,35) = 1 - 0,75 = 0,25 \] Xác suất để hai ván cờ đều không có kết quả là: \[ 0,25 \times 0,25 = 0,0625 \] Vậy xác suất để hai bạn dừng chơi sau hai ván cờ là: \[ 0,0625 \approx 0,06 \] Đáp số: 0,06 Câu 1. Để tính khoảng cách giữa SB và CI trong hình chóp S.ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - Hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. - Tam giác ABC đều cạnh a. - I là trung điểm của AB. 2. Tìm tọa độ các điểm: - Gọi A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C($\frac{a}{2}$, $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, 0). - Vì SA vuông góc với đáy và SA = $a\sqrt{3}$, nên S(0, 0, $a\sqrt{3}$). 3. Tìm tọa độ của I: - I là trung điểm của AB, nên tọa độ của I là ($\frac{a}{2}$, 0, 0). 4. Tìm vectơ SB và CI: - Vectơ SB = B - S = (a, 0, 0) - (0, 0, $a\sqrt{3}$) = (a, 0, -$a\sqrt{3}$). - Vectơ CI = I - C = ($\frac{a}{2}$, 0, 0) - ($\frac{a}{2}$, $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, 0) = (0, -$\frac{a\sqrt{3}}{2}$, 0). 5. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa SB và CI: - Gọi vectơ pháp tuyến là n = (x, y, z). - Ta có: n . SB = 0 và n . CI = 0. - Từ n . SB = 0, ta có: ax + 0y - $a\sqrt{3}$z = 0. - Từ n . CI = 0, ta có: 0x - $\frac{a\sqrt{3}}{2}$y + 0z = 0. 6. Giải hệ phương trình để tìm n: - Từ n . CI = 0, ta có: y = 0. - Thay y = 0 vào n . SB = 0, ta có: ax - $a\sqrt{3}$z = 0. - Chọn x = $\sqrt{3}$, z = 1, ta có n = ($\sqrt{3}$, 0, 1). 7. Tìm khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng CI: - Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng chứa CI. - Ta có: SH = |n . (S - C)| / |n|. - S - C = (0, 0, $a\sqrt{3}$) - ($\frac{a}{2}$, $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, 0) = (-$\frac{a}{2}$, -$\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $a\sqrt{3}$). - n . (S - C) = ($\sqrt{3}$, 0, 1) . (-$\frac{a}{2}$, -$\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $a\sqrt{3}$) = -$\frac{a\sqrt{3}}{2}$ + $a\sqrt{3}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. - |n| = $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 0^2 + 1^2}$ = $\sqrt{3 + 1}$ = 2. - SH = |$\frac{a\sqrt{3}}{2}$| / 2 = $\frac{a\sqrt{3}}{4}$. 8. Kết luận: - Khoảng cách giữa SB và CI là $\frac{a\sqrt{3}}{4}$. Câu 2. Để tính xác suất để viên bi được lấy ra là bi đỏ, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau: 1. Tính xác suất để chọn mỗi hộp: - Xác suất để chọn hộp I là $\frac{1}{3}$. - Xác suất để chọn hộp II là $\frac{1}{3}$. - Xác suất để chọn hộp III là $\frac{1}{3}$. 2. Tính xác suất để lấy ra một viên bi đỏ từ mỗi hộp: - Hộp I có 5 bi đỏ và tổng cộng 11 bi (5 đỏ + 6 vàng). Xác suất lấy ra một viên bi đỏ từ hộp I là $\frac{5}{11}$. - Hộp II có 3 bi đỏ và tổng cộng 5 bi (3 đỏ + 2 xanh). Xác suất lấy ra một viên bi đỏ từ hộp II là $\frac{3}{5}$. - Hộp III có 5 bi đỏ và tổng cộng 10 bi (5 đỏ + 2 xanh + 3 vàng). Xác suất lấy ra một viên bi đỏ từ hộp III là $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. 3. Tính xác suất tổng thể để lấy ra một viên bi đỏ: - Xác suất lấy ra một viên bi đỏ từ hộp I là $\frac{1}{3} \times \frac{5}{11} = \frac{5}{33}$. - Xác suất lấy ra một viên bi đỏ từ hộp II là $\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$. - Xác suất lấy ra một viên bi đỏ từ hộp III là $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$. 4. Tổng hợp xác suất: - Xác suất tổng thể để lấy ra một viên bi đỏ là: \[ \frac{5}{33} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} \] Để cộng các phân số này, chúng ta cần quy đồng mẫu số: - Mẫu số chung của 33, 5 và 6 là 330. - $\frac{5}{33} = \frac{5 \times 10}{33 \times 10} = \frac{50}{330}$. - $\frac{1}{5} = \frac{1 \times 66}{5 \times 66} = \frac{66}{330}$. - $\frac{1}{6} = \frac{1 \times 55}{6 \times 55} = \frac{55}{330}$. Tổng xác suất là: \[ \frac{50}{330} + \frac{66}{330} + \frac{55}{330} = \frac{171}{330} \] Rút gọn phân số: \[ \frac{171}{330} = \frac{57}{110} \] Vậy xác suất để viên bi được lấy ra là bi đỏ là $\frac{57}{110}$.