giải các câu hỏi sau

Câu 12. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc tức thời: Vận tốc tức thời \( v(t) \) là đạo hàm của phương trình chuyển động \( s(t) \). \[ s(t) = \frac{t^0}{3} - t^2 + 2t + 3 = \frac{1}{3} - t^2 + 2t + 3 \] Đạo hàm của \( s(t) \): \[ v(t) = s'(t) = 0 - 2t + 2 = -2t + 2 \] 2. Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời bằng 5 m/s: Ta giải phương trình \( v(t) = 5 \): \[ -2t + 2 = 5 \] \[ -2t = 3 \] \[ t = -\frac{3}{2} \] Vì \( t > 0 \), nên ta loại nghiệm \( t = -\frac{3}{2} \). Do đó, không có thời điểm nào trong khoảng \( t > 0 \) mà vận tốc tức thời bằng 5 m/s. 3. Tìm gia tốc tức thời: Gia tốc tức thời \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc tức thời \( v(t) \). \[ v(t) = -2t + 2 \] Đạo hàm của \( v(t) \): \[ a(t) = v'(t) = -2 \] Như vậy, gia tốc tức thời của chất điểm là \(-2 \, \text{m/s}^2\) và không phụ thuộc vào thời gian \( t \). Kết luận: Do không có thời điểm nào trong khoảng \( t > 0 \) mà vận tốc tức thời bằng 5 m/s, nên không thể tính gia tốc tức thời tại thời điểm đó. Tuy nhiên, gia tốc tức thời của chất điểm là \(-2 \, \text{m/s}^2\). Đáp án: Không có thời điểm nào trong khoảng \( t > 0 \) mà vận tốc tức thời bằng 5 m/s. Câu 1. a) Đúng vì kết quả các lần bắn độc lập với nhau nên $A_{1}$ và $A_{2}$ là hai biến cố độc lập. b) Sai vì xác suất biến cố "Cả hai lần bắn không trúng đích" là $P(A_{1} \cap A_{2}) = P(A_{1}) \times P(A_{2}) = 0,2 \times 0,3 = 0,06$ c) Đúng vì xác suất biến cố "Lần bắn thứ nhất không trúng đích, lần bắn thứ hai trúng đích" là $P(A_{1} \cap \bar{A_{2}}) = P(A_{1}) \times P(\bar{A_{2}}) = 0,2 \times (1 - 0,3) = 0,2 \times 0,7 = 0,14$ d) Đúng vì xác suất biến cố "Có ít nhất một lần bắn trúng đích" là $P(\bar{A_{1}} \cup \bar{A_{2}}) = 1 - P(A_{1} \cap A_{2}) = 1 - 0,06 = 0,94$ Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng. Câu 2. Để kiểm tra tính đúng sai của các mệnh đề, chúng ta sẽ lần lượt tính đạo hàm của hàm số $y = f(x) = \cos(2x)$ và kiểm tra các điều kiện đã cho. a) Tính đạo hàm của $y = \cos(2x)$: \[ y' = -2\sin(2x) \] Vậy mệnh đề a) là đúng. b) Kiểm tra phương trình $4y + y'' = 0$: - Đạo hàm thứ nhất: $y' = -2\sin(2x)$ - Đạo hàm thứ hai: $y'' = -4\cos(2x)$ Thay vào phương trình: \[ 4y + y'' = 4\cos(2x) - 4\cos(2x) = 0 \] Vậy mệnh đề b) là đúng. c) Kiểm tra giá trị đạo hàm tại $x = \frac{\pi}{2}$: \[ y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -2\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = -2\sin(\pi) = -2 \cdot 0 = 0 \] Vậy mệnh đề c) là sai vì $y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$, không phải là 2. d) Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \cos(2x)$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 0$: - Giá trị của hàm số tại $x_0 = 0$: \[ y(0) = \cos(2 \cdot 0) = \cos(0) = 1 \] - Đạo hàm của hàm số tại $x_0 = 0$: \[ y'(0) = -2\sin(2 \cdot 0) = -2\sin(0) = -2 \cdot 0 = 0 \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(0, 1)$ với hệ số góc $y'(0) = 0$ là: \[ y - 1 = 0(x - 0) \Rightarrow y = 1 \] Vậy mệnh đề d) là sai vì phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0 = 0$ là $y = 1$, không phải là $y = x$. Kết luận: - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là đúng. - Mệnh đề c) là sai. - Mệnh đề d) là sai. Câu 1. Để giải phương trình $2^{x^2-2x} = 8 \cdot 2$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng cùng cơ số: \[ 2^{x^2 - 2x} = 8 \cdot 2 \] \[ 2^{x^2 - 2x} = 2^3 \cdot 2^1 \] \[ 2^{x^2 - 2x} = 2^{3 + 1} \] \[ 2^{x^2 - 2x} = 2^4 \] Bước 2: Vì hai lũy thừa có cùng cơ số, ta so sánh các mũ: \[ x^2 - 2x = 4 \] Bước 3: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành phương trình bậc hai: \[ x^2 - 2x - 4 = 0 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó, \( a = 1 \), \( b = -2 \), và \( c = -4 \). \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \] \[ x = 1 \pm \sqrt{5} \] Bước 5: Kết luận các nghiệm: \[ x_1 = 1 + \sqrt{5} \] \[ x_2 = 1 - \sqrt{5} \] Bước 6: Tính tổng các nghiệm: \[ x_1 + x_2 = (1 + \sqrt{5}) + (1 - \sqrt{5}) \] \[ x_1 + x_2 = 1 + 1 + \sqrt{5} - \sqrt{5} \] \[ x_1 + x_2 = 2 \] Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 2. Câu 2. Để tính giá trị của \(a + b\) trong phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = x^2 + 2\) tại điểm \(A(-1; 3)\), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Hàm số đã cho là \(y = x^2 + 2\). Đạo hàm của hàm số này là: \[ y' = 2x \] 2. Tính giá trị đạo hàm tại điểm \(A(-1; 3)\): Thay \(x = -1\) vào đạo hàm: \[ y'(-1) = 2 \times (-1) = -2 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(A(-1; 3)\) là \(-2\). 3. Viết phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(A(x_0, y_0)\) có dạng: \[ y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0 \] Thay \(f'(x_0) = -2\), \(x_0 = -1\), và \(y_0 = 3\) vào phương trình trên: \[ y = -2(x - (-1)) + 3 \] \[ y = -2(x + 1) + 3 \] \[ y = -2x - 2 + 3 \] \[ y = -2x + 1 \] 4. Xác định giá trị của \(a\) và \(b\): Từ phương trình tiếp tuyến \(y = -2x + 1\), ta thấy rằng: \[ a = -2 \quad \text{và} \quad b = 1 \] 5. Tính \(a + b\): \[ a + b = -2 + 1 = -1 \] Vậy giá trị của \(a + b\) là \(-1\). Đáp số: \(-1\)