giúp e với ạ

Câu 2. a) Mệnh đề: "Đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}(1; 2)$" Phương trình đường thẳng $\Delta$ là $2x + y - 1 = 0$. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là $\vec{n}(2; 1)$. Do đó, mệnh đề này là sai. b) Mệnh đề: "Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1; -1)$" Thay tọa độ điểm $A(1; -1)$ vào phương trình đường thẳng: \[ 2(1) + (-1) - 1 = 2 - 1 - 1 = 0 \] Phương trình đúng, do đó điểm $A(1; -1)$ nằm trên đường thẳng $\Delta$. Mệnh đề này là đúng. c) Mệnh đề: "Khoảng cách từ điểm $B(4; -2)$ đến trục hoành là $\sqrt{5}$" Khoảng cách từ điểm $B(4; -2)$ đến trục hoành là giá trị tuyệt đối của tọa độ $y$ của điểm đó: \[ |-2| = 2 \] Do đó, mệnh đề này là sai. d) Mệnh đề: "Đường tròn tâm $I(3; 4)$ và tiếp xúc với $\Delta$ là $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 29$" Đường tròn tâm $I(3; 4)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ có bán kính bằng khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng $\Delta$. Ta tính khoảng cách này: \[ d = \frac{|2(3) + 4 - 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|6 + 4 - 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{9}{\sqrt{5}} = \frac{9\sqrt{5}}{5} \] Bán kính của đường tròn là $\frac{9\sqrt{5}}{5}$. Phương trình đường tròn sẽ là: \[ (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = \left(\frac{9\sqrt{5}}{5}\right)^2 = \frac{81 \cdot 5}{25} = \frac{405}{25} = 16.2 \] Do đó, phương trình $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 29$ là sai. Tóm lại: - a) Sai - b) Đúng - c) Sai - d) Sai Câu 1. Để tính tổng các nghiệm của phương trình $\sqrt{x^2-3x+3} + \sqrt{x^2-3x+6} = 3$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Phương trình có hai căn thức $\sqrt{x^2-3x+3}$ và $\sqrt{x^2-3x+6}$. Để các căn thức này có nghĩa, ta cần: \[ x^2 - 3x + 3 \geq 0 \] \[ x^2 - 3x + 6 \geq 0 \] Ta thấy rằng $x^2 - 3x + 3$ và $x^2 - 3x + 6$ đều là các biểu thức bậc hai có hệ số a dương và delta âm, do đó luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Vậy ĐKXĐ của phương trình là tất cả các số thực. Bước 2: Giải phương trình - Gọi $A = \sqrt{x^2-3x+3}$ và $B = \sqrt{x^2-3x+6}$. Ta có phương trình: \[ A + B = 3 \] - Ta cũng có: \[ B^2 - A^2 = (x^2 - 3x + 6) - (x^2 - 3x + 3) = 3 \] \[ (B - A)(B + A) = 3 \] Thay $A + B = 3$ vào, ta có: \[ (B - A) \cdot 3 = 3 \] \[ B - A = 1 \] Bây giờ ta có hệ phương trình: \[ A + B = 3 \] \[ B - A = 1 \] Giải hệ phương trình này: - Cộng hai phương trình: \[ (A + B) + (B - A) = 3 + 1 \] \[ 2B = 4 \] \[ B = 2 \] - Thay $B = 2$ vào phương trình $A + B = 3$: \[ A + 2 = 3 \] \[ A = 1 \] Bước 3: Tìm giá trị của $x$ - Ta có: \[ \sqrt{x^2 - 3x + 3} = 1 \] \[ x^2 - 3x + 3 = 1 \] \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] Phương trình này có các nghiệm: \[ x = 1 \text{ hoặc } x = 2 \] - Kiểm tra lại: \[ \sqrt{1^2 - 3 \cdot 1 + 3} + \sqrt{1^2 - 3 \cdot 1 + 6} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3 \] \[ \sqrt{2^2 - 3 \cdot 2 + 3} + \sqrt{2^2 - 3 \cdot 2 + 6} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3 \] Cả hai giá trị $x = 1$ và $x = 2$ đều thỏa mãn phương trình ban đầu. Bước 4: Tính tổng các nghiệm - Tổng các nghiệm là: \[ 1 + 2 = 3 \] Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 3. Câu 2. Để tìm số lượng các số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau: 1. Xác định chữ số cuối cùng (chữ số hàng đơn vị): - Số chẵn có thể có chữ số hàng đơn vị là 0, 2, 4, 6. 2. Xét từng trường hợp cho chữ số hàng đơn vị: Trường hợp 1: Chữ số hàng đơn vị là 0 - Chữ số hàng nghìn có 6 lựa chọn (1, 2, 3, 4, 5, 6). - Chữ số hàng trăm có 5 lựa chọn còn lại. - Chữ số hàng chục có 4 lựa chọn còn lại. - Tổng số cách chọn: \(6 \times 5 \times 4 = 120\). Trường hợp 2: Chữ số hàng đơn vị là 2 - Chữ số hàng nghìn có 5 lựa chọn (1, 3, 4, 5, 6) vì không thể là 0. - Chữ số hàng trăm có 5 lựa chọn còn lại (không tính 2 và chữ số hàng nghìn đã chọn). - Chữ số hàng chục có 4 lựa chọn còn lại. - Tổng số cách chọn: \(5 \times 5 \times 4 = 100\). Trường hợp 3: Chữ số hàng đơn vị là 4 - Chữ số hàng nghìn có 5 lựa chọn (1, 2, 3, 5, 6) vì không thể là 0. - Chữ số hàng trăm có 5 lựa chọn còn lại (không tính 4 và chữ số hàng nghìn đã chọn). - Chữ số hàng chục có 4 lựa chọn còn lại. - Tổng số cách chọn: \(5 \times 5 \times 4 = 100\). Trường hợp 4: Chữ số hàng đơn vị là 6 - Chữ số hàng nghìn có 5 lựa chọn (1, 2, 3, 4, 5) vì không thể là 0. - Chữ số hàng trăm có 5 lựa chọn còn lại (không tính 6 và chữ số hàng nghìn đã chọn). - Chữ số hàng chục có 4 lựa chọn còn lại. - Tổng số cách chọn: \(5 \times 5 \times 4 = 100\). 3. Tổng hợp các trường hợp: - Tổng số các số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau: \[ 120 + 100 + 100 + 100 = 420 \] Vậy, có tất cả 420 số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Câu 3. Để tính tổng các hệ số trong khai triển của $(1 - 2x)^2$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Khai triển biểu thức $(1 - 2x)^2$. \[ (1 - 2x)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2x + (2x)^2 = 1 - 4x + 4x^2 \] Bước 2: Xác định các hệ số trong khai triển. Trong khai triển $1 - 4x + 4x^2$, các hệ số là: - Hệ số của $x^0$ (hằng số) là 1. - Hệ số của $x^1$ là -4. - Hệ số của $x^2$ là 4. Bước 3: Tính tổng các hệ số. \[ 1 + (-4) + 4 = 1 - 4 + 4 = 1 \] Vậy tổng các hệ số trong khai triển của $(1 - 2x)^2$ là 1. Đáp số: 1 Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đếm và tính xác suất. Bước 1: Xác định các trường hợp có thể xảy ra. - Có 40 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 40. - Số cách chọn 3 tấm thẻ từ 40 tấm thẻ là: \[ C_{40}^3 = \frac{40!}{3!(40-3)!} = \frac{40 \times 39 \times 38}{3 \times 2 \times 1} = 9880 \] Bước 2: Xác định các trường hợp thuận lợi. - Để tổng của 3 số chia hết cho 3, ta cần xem xét các trường hợp sau: - Tất cả 3 số đều chia hết cho 3. - 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2. Bước 3: Đếm số cách chọn các trường hợp thuận lợi. - Số các số chia hết cho 3 trong khoảng từ 1 đến 40 là: 3, 6, 9, ..., 39. Đây là dãy số cách đều với khoảng cách là 3. - Số các số chia hết cho 3 là: \[ \frac{39 - 3}{3} + 1 = 13 \] - Số cách chọn 3 số từ 13 số chia hết cho 3 là: \[ C_{13}^3 = \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286 \] - Số các số chia 3 dư 1 trong khoảng từ 1 đến 40 là: 1, 4, 7, ..., 37. Đây là dãy số cách đều với khoảng cách là 3. - Số các số chia 3 dư 1 là: \[ \frac{37 - 1}{3} + 1 = 13 \] - Số các số chia 3 dư 2 trong khoảng từ 1 đến 40 là: 2, 5, 8, ..., 40. Đây là dãy số cách đều với khoảng cách là 3. - Số các số chia 3 dư 2 là: \[ \frac{40 - 2}{3} + 1 = 13 \] - Số cách chọn 1 số từ 13 số chia 3 dư 1, 1 số từ 13 số chia 3 dư 2 và 1 số từ 13 số chia hết cho 3 là: \[ 13 \times 13 \times 13 = 2197 \] Bước 4: Tổng hợp các trường hợp thuận lợi. - Tổng số cách chọn 3 tấm thẻ có tổng 3 số ghi trên các thẻ chia hết cho 3 là: \[ 286 + 2197 = 2483 \] Vậy số cách chọn được 3 tấm thẻ có tổng 3 số ghi trên các thẻ chia hết cho 3 là 2483. Câu 1 Để xác định các hệ số \(a\), \(b\), và \(c\) của parabol \(y = ax^2 + bx + c\), ta sẽ sử dụng các điểm \(A(0;2)\), \(B(1;0)\), và \(C(-1;6)\) để lập hệ phương trình. 1. Thay tọa độ điểm \(A(0;2)\) vào phương trình: \[ y = ax^2 + bx + c \] \[ 2 = a(0)^2 + b(0) + c \] \[ c = 2 \] 2. Thay tọa độ điểm \(B(1;0)\) vào phương trình: \[ y = ax^2 + bx + c \] \[ 0 = a(1)^2 + b(1) + c \] \[ 0 = a + b + 2 \] \[ a + b = -2 \quad \text{(1)} \] 3. Thay tọa độ điểm \(C(-1;6)\) vào phương trình: \[ y = ax^2 + bx + c \] \[ 6 = a(-1)^2 + b(-1) + c \] \[ 6 = a - b + 2 \] \[ a - b = 4 \quad \text{(2)} \] Bây giờ, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} a + b = -2 \\ a - b = 4 \end{cases} \] 4. Giải hệ phương trình này bằng phương pháp cộng trừ: - Cộng hai phương trình: \[ (a + b) + (a - b) = -2 + 4 \] \[ 2a = 2 \] \[ a = 1 \] - Thay \(a = 1\) vào phương trình \(a + b = -2\): \[ 1 + b = -2 \] \[ b = -3 \] Vậy, các hệ số của parabol là: \[ a = 1, \quad b = -3, \quad c = 2 \] Đáp số: \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\). Câu 2 Để tìm tọa độ tâm \( I \) và bán kính \( R \) của đường tròn \((C):~x^2 + y^2 + 2x - 4y - 4 = 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình đường tròn dưới dạng chuẩn: Phương trình đường tròn có dạng chuẩn là \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\), trong đó \((a, b)\) là tọa độ tâm và \(R\) là bán kính. 2. Hoàn thành bình phương: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\) lại: \[ x^2 + 2x + y^2 - 4y = 4 \] Hoàn thành bình phương cho các nhóm \(x\) và \(y\): \[ (x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) = 4 + 1 + 4 \] \[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 \] 3. So sánh với phương trình chuẩn: So sánh phương trình \((x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9\) với phương trình chuẩn \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\), ta nhận thấy: \[ a = -1, \quad b = 2, \quad R^2 = 9 \] 4. Tìm tọa độ tâm và bán kính: Tọa độ tâm \(I\) là \((-1, 2)\) và bán kính \(R\) là \(\sqrt{9} = 3\). Vậy tọa độ tâm \(I\) là \((-1, 2)\) và bán kính \(R\) là \(3\). Câu 3 Để tính diện tích lớn nhất của khu đất hình tam giác vuông có thể rào được, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số cơ bản: - Diện tích khu đất hình vuông là 100m², do đó mỗi cạnh của khu đất hình vuông là $\sqrt{100} = 10$ m. - Chiếc cọc cách hai cạnh của mảnh đất lần lượt là 1m và 2m. 2. Xác định tọa độ của chiếc cọc: - Giả sử chiếc cọc nằm ở điểm $(x, y)$ trên mặt phẳng tọa độ, với gốc tọa độ ở một góc của khu đất hình vuông. - Theo đề bài, chiếc cọc cách hai cạnh của mảnh đất lần lượt là 1m và 2m, nên tọa độ của chiếc cọc là $(1, 2)$. 3. Xác định các cạnh của tam giác vuông: - Hai cạnh góc vuông của tam giác nằm trên cạnh của khu đất ban đầu, tức là chúng song song với các cạnh của khu đất hình vuông. - Cạnh còn lại của tam giác đi qua chiếc cọc $(1, 2)$. 4. Tìm diện tích lớn nhất của tam giác: - Diện tích của tam giác vuông được tính bằng công thức: $S = \frac{1}{2} \times a \times b$, trong đó $a$ và $b$ là hai cạnh góc vuông. - Để diện tích lớn nhất, ta cần tối đa hóa tích của hai cạnh góc vuông. 5. Áp dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất: - Gọi hai cạnh góc vuông của tam giác là $a$ và $b$. Ta có: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \] - Để tối đa hóa diện tích, ta cần tối đa hóa tích $a \times b$. - Do chiếc cọc nằm ở $(1, 2)$, ta có thể coi $a$ là khoảng cách từ chiếc cọc đến một cạnh và $b$ là khoảng cách từ chiếc cọc đến cạnh còn lại. 6. Tính diện tích lớn nhất: - Khi chiếc cọc nằm ở $(1, 2)$, ta có thể coi $a = 1$ và $b = 2$ hoặc ngược lại. - Diện tích lớn nhất của tam giác là: \[ S_{\text{max}} = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1 \text{ m}^2 \] Vậy diện tích lớn nhất của khu đất hình tam giác vuông có thể rào được là 1 m². Câu 4 Để tính xác suất để hai người thắng trò chơi, chúng ta cần xác định số cách chọn hai điểm sao cho chúng tạo thành một hình vuông từ các ô vuông đơn vị và chia nó cho tổng số cách chọn hai điểm bất kỳ trên bảng. Bước 1: Xác định tổng số cách chọn hai điểm bất kỳ trên bảng. - Bảng có 100x100 ô vuông đơn vị, do đó có 101x101 điểm đỉnh (giao điểm của các đường kẻ). - Tổng số cách chọn hai điểm bất kỳ là: \[ \binom{101 \times 101}{2} = \frac{(101 \times 101) \times (101 \times 101 - 1)}{2} \] Bước 2: Xác định số cách chọn hai điểm sao cho chúng tạo thành một hình vuông. - Một hình vuông được xác định bởi hai điểm đối xứng qua tâm của nó. - Ta cần đếm số cách chọn các cặp điểm tạo thành các hình vuông có kích thước từ 1x1 đến 99x99. - Số cách chọn các cặp điểm tạo thành các hình vuông có kích thước \(k \times k\) là: \[ (101 - k) \times (101 - k) \] - Tổng số cách chọn các cặp điểm tạo thành các hình vuông là: \[ \sum_{k=1}^{99} (101 - k)^2 \] Bước 3: Tính xác suất. - Xác suất để hai người thắng trò chơi là: \[ P = \frac{\sum_{k=1}^{99} (101 - k)^2}{\binom{101 \times 101}{2}} \] Bước 4: Thực hiện các phép tính cụ thể. - Tổng số cách chọn hai điểm bất kỳ: \[ \binom{101 \times 101}{2} = \frac{10201 \times 10200}{2} = 51005100 \] - Tổng số cách chọn các cặp điểm tạo thành các hình vuông: \[ \sum_{k=1}^{99} (101 - k)^2 = \sum_{j=1}^{99} j^2 = \frac{99 \times 100 \times 199}{6} = 328350 \] - Xác suất: \[ P = \frac{328350}{51005100} \approx 0.006437 \] Vậy xác suất để hai người thắng trò chơi là khoảng 0.0064 hoặc 0.64%.