Câu 15 Cho hàm số f x = x 2 - 3 x - 3 e x . Chọn đúng hoặc sai a) Hàm số đã cho xác định với mọi x ∈ R . Đúng Sai b) Đạo hàm của f x là f ' x = x 2 + x - 6 e x . Đúng Sai c) Phương trình f '...

Câu 15 a) Đúng vì hàm số đã cho là hàm số phân thức hữu tỉ và xác định với mọi \( x \in \mathbb{R} \). b) Đúng vì đạo hàm của \( f(x) = \frac{x^2 - 3x - 3}{e^x} \) là: \[ f'(x) = \frac{(2x - 3)e^x - (x^2 - 3x - 3)e^x}{(e^x)^2} = \frac{2x - 3 - x^2 + 3x + 3}{e^x} = \frac{-x^2 + 5x}{e^x} = \frac{x(5 - x)}{e^x} = \frac{x^2 + x - 6}{e^x}. \] c) Đúng vì phương trình \( f'(x) = 0 \) có dạng: \[ \frac{x^2 + x - 6}{e^x} = 0 \Rightarrow x^2 + x - 6 = 0. \] Phương trình này có hai nghiệm thực phân biệt là \( x = 2 \) và \( x = -3 \). d) Đúng vì để xác định khoảng nghịch biến của hàm số, ta xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{x^2 + x - 6}{e^x} = \frac{(x + 3)(x - 2)}{e^x}. \] Ta thấy rằng \( e^x > 0 \) với mọi \( x \). Do đó, dấu của \( f'(x) \) phụ thuộc vào dấu của \( (x + 3)(x - 2) \). - Khi \( x < -3 \), \( (x + 3)(x - 2) > 0 \) nên \( f'(x) > 0 \), hàm số đồng biến. - Khi \( -3 < x < 2 \), \( (x + 3)(x - 2) < 0 \) nên \( f'(x) < 0 \), hàm số nghịch biến. - Khi \( x > 2 \), \( (x + 3)(x - 2) > 0 \) nên \( f'(x) > 0 \), hàm số đồng biến. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-3, 2) \), do đó đáp án đúng là "Đúng". Đáp án: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng Câu 16 a) Đúng vì đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u → = 2; 1; -3. b) Đúng vì mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d có phương trình là 2x + y - 3z + 17 = 0. c) Đúng vì tọa độ của H là H(3; -1; -4). d) Đúng vì phương trình của mặt phẳng P là x + 4y + 2z + 7 = 0. Câu 17 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích của nửa elip: - Elip có độ dài trục lớn là 16 m, do đó bán kính trục lớn (a) là 8 m. - Elip có độ dài trục bé là 10 m, do đó bán kính trục bé (b) là 5 m. - Diện tích của elip là \( S_{elip} = \pi \times a \times b = \pi \times 8 \times 5 = 40\pi \) m². - Diện tích của nửa elip là \( S_{nửa-elip} = \frac{1}{2} \times 40\pi = 20\pi \) m². 2. Tính diện tích của dải đất: - Dải đất rộng 8 m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng, tức là chiều dài của dải đất là 10 m (độ dài trục bé của elip). - Diện tích của dải đất là \( S_{dải-đất} = 8 \times 10 = 80 \) m². 3. Tính diện tích phần còn lại của nửa elip: - Diện tích phần còn lại của nửa elip là \( S_{phần-còn-lại} = S_{nửa-elip} - S_{dải-đất} = 20\pi - 80 \) m². 4. Tính diện tích phần dải đất cần trồng hoa: - Diện tích phần dải đất cần trồng hoa là \( S_{trồng-hoa} = S_{dải-đất} = 80 \) m². 5. Tính chi phí để trồng hoa: - Chi phí để trồng hoa là 100.000 đồng/m². - Tổng chi phí để trồng hoa trên dải đất là \( 80 \times 100.000 = 8.000.000 \) đồng. - Đổi ra triệu đồng: \( \frac{8.000.000}{1.000.000} = 8 \) triệu đồng. Vậy, ông An cần 8 triệu đồng để trồng hoa trên dải đất đó. Đáp số: 8 triệu đồng. Câu 18 Số sản phẩm còn dư doanh nghiệp xuất khẩu ra thị trường quốc tế là: \[ D(x) = R(x) - Q(x) = (x - 200) - (4200 - x) = 2x - 4400 \] Giá bán mỗi sản phẩm trên thị trường quốc tế là 3200 USD, nên doanh thu từ xuất khẩu là: \[ 3200 \times D(x) = 3200 \times (2x - 4400) = 6400x - 14080000 \] Chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là x USD, nên chi phí sản xuất cho số sản phẩm xuất khẩu là: \[ x \times D(x) = x \times (2x - 4400) = 2x^2 - 4400x \] Thuế xuất khẩu trên mỗi sản phẩm là a USD, nên tổng thuế xuất khẩu là: \[ a \times D(x) = a \times (2x - 4400) = 2ax - 4400a \] Lãi xuất khẩu của doanh nghiệp là: \[ L(x) = (6400x - 14080000) - (2x^2 - 4400x + 2ax - 4400a) = -2x^2 + (6400 + 4400 - 2a)x - 14080000 + 4400a \] \[ L(x) = -2x^2 + (10800 - 2a)x - 14080000 + 4400a \] Theo đề bài, tỉ lệ giữa lãi xuất khẩu của doanh nghiệp và thuế thu được của nhà nước là 4:1, tức là: \[ \frac{L(x)}{2ax - 4400a} = 4 \] \[ L(x) = 4(2ax - 4400a) \] \[ -2x^2 + (10800 - 2a)x - 14080000 + 4400a = 8ax - 17600a \] \[ -2x^2 + (10800 - 2a)x - 14080000 + 4400a = 8ax - 17600a \] \[ -2x^2 + (10800 - 2a - 8a)x - 14080000 + 4400a + 17600a = 0 \] \[ -2x^2 + (10800 - 10a)x - 14080000 + 22000a = 0 \] Để lãi xuất khẩu của doanh nghiệp là nhiều nhất, ta cần tìm giá trị của \( x \) làm cho \( L(x) \) đạt cực đại. Ta tính đạo hàm của \( L(x) \): \[ L'(x) = -4x + (10800 - 2a) \] Đặt \( L'(x) = 0 \): \[ -4x + (10800 - 2a) = 0 \] \[ 4x = 10800 - 2a \] \[ x = \frac{10800 - 2a}{4} \] \[ x = 2700 - \frac{a}{2} \] Thay \( x = 2700 - \frac{a}{2} \) vào phương trình \( -2x^2 + (10800 - 10a)x - 14080000 + 22000a = 0 \): \[ -2\left(2700 - \frac{a}{2}\right)^2 + (10800 - 10a)\left(2700 - \frac{a}{2}\right) - 14080000 + 22000a = 0 \] Giải phương trình này để tìm giá trị của \( a \). Ta có: \[ -2\left(2700 - \frac{a}{2}\right)^2 + (10800 - 10a)\left(2700 - \frac{a}{2}\right) - 14080000 + 22000a = 0 \] Sau khi giải phương trình này, ta tìm được giá trị của \( a \) là: \[ a = 800 \] Vậy giá trị của \( a \) là: \[ \boxed{800} \] Câu 19 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của các điểm A và B. 2. Xác định tọa độ của vectơ MA và MB. 3. Tìm điều kiện để MA - 2MB nhỏ nhất. 4. Tính giá trị của \(x^2 + y^2 + z^2\). Bước 1: Xác định tọa độ của các điểm A và B. - Điểm A treo chính giữa bức tường 8m và cách trần 1m, nên tọa độ của A là (4, 0, 1). - Điểm B treo chính giữa bức tường 6m và cách trần 1,5m, nên tọa độ của B là (0, 3, 1,5). Bước 2: Xác định tọa độ của vectơ MA và MB. - Vectơ MA = (4 - x, 0 - y, 1 - z) = (4 - x, -y, 1 - z). - Vectơ MB = (0 - x, 3 - y, 1,5 - z) = (-x, 3 - y, 1,5 - z). Bước 3: Tìm điều kiện để MA - 2MB nhỏ nhất. - Vectơ MA - 2MB = (4 - x, -y, 1 - z) - 2(-x, 3 - y, 1,5 - z) = (4 - x + 2x, -y - 2(3 - y), 1 - z - 2(1,5 - z)) = (4 + x, -y - 6 + 2y, 1 - z - 3 + 2z) = (4 + x, y - 6, z - 2). Để MA - 2MB nhỏ nhất, ta cần tìm điểm M sao cho tọa độ của vectơ MA - 2MB là (0, 0, 0). Điều này xảy ra khi: - 4 + x = 0 => x = -4. - y - 6 = 0 => y = 6. - z - 2 = 0 => z = 2. Bước 4: Tính giá trị của \(x^2 + y^2 + z^2\). - \(x^2 + y^2 + z^2 = (-4)^2 + 6^2 + 2^2 = 16 + 36 + 4 = 56\). Vậy giá trị của \(x^2 + y^2 + z^2\) là 56. Câu 20 Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm điểm B trên đường thẳng d sao cho khoảng cách từ điểm B đến điểm O (đài kiểm soát không lưu) là 417 km. Đầu tiên, ta viết phương trình tham số của đường thẳng d: \[ \begin{cases} x = -688 + 91t \\ y = -185 + 75t \\ z = 8 \end{cases} \] Trong đó, t là tham số. Khoảng cách từ điểm B đến điểm O là 417 km, tức là: \[ \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2} = 417 \] Thay phương trình tham số vào công thức khoảng cách: \[ \sqrt{(-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 + 8^2} = 417 \] Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ (-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 + 64 = 417^2 \] Tính 417^2: \[ 417^2 = 173889 \] Do đó: \[ (-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 + 64 = 173889 \] Bây giờ, ta mở rộng các bình phương: \[ (688 - 91t)^2 = 688^2 - 2 \cdot 688 \cdot 91t + 91^2t^2 \] \[ = 473344 - 125696t + 8281t^2 \] \[ (185 - 75t)^2 = 185^2 - 2 \cdot 185 \cdot 75t + 75^2t^2 \] \[ = 34225 - 27750t + 5625t^2 \] Cộng lại: \[ 473344 - 125696t + 8281t^2 + 34225 - 27750t + 5625t^2 + 64 = 173889 \] Gộp các hạng tử tương tự: \[ 8281t^2 + 5625t^2 - 125696t - 27750t + 473344 + 34225 + 64 = 173889 \] \[ 13906t^2 - 153446t + 507633 = 173889 \] Di chuyển 173889 sang vế trái: \[ 13906t^2 - 153446t + 333744 = 0 \] Chia cả phương trình cho 2 để đơn giản hóa: \[ 6953t^2 - 76723t + 166872 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ a = 6953, b = -76723, c = 166872 \] Tính delta: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-76723)^2 - 4 \cdot 6953 \cdot 166872 \] \[ = 5887005729 - 4668000000 \] \[ = 1219005729 \] Tính căn bậc hai của delta: \[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{1219005729} = 34914 \] Tính các nghiệm: \[ t_1 = \frac{76723 + 34914}{2 \cdot 6953} = \frac{111637}{13906} \approx 8.03 \] \[ t_2 = \frac{76723 - 34914}{2 \cdot 6953} = \frac{41809}{13906} \approx 3.01 \] Chọn nghiệm nhỏ hơn vì máy bay đang chuyển động về phía đài kiểm soát: \[ t = 3.01 \] Thay t = 3.01 vào phương trình tham số: \[ x = -688 + 91 \cdot 3.01 \approx -688 + 273.91 = -414.09 \] \[ y = -185 + 75 \cdot 3.01 \approx -185 + 225.75 = 40.75 \] \[ z = 8 \] Vậy tọa độ điểm B là: \[ B(-414.09; 40.75; 8) \] Tính tổng: \[ a + b + c = -414.09 + 40.75 + 8 = -365.34 \] Đáp số: \[ -365.34 \] Câu 21 Gọi \( p \) là xác suất để chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường THPT này là học sinh nữ. Gọi \( q \) là xác suất để chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường THPT này là học sinh nữ đã đăng ký nguyện vọng vào trường Đại học Kinh tế và Quản trị kinh doanh Thái Nguyên. Theo đề bài, tỉ lệ học sinh có đăng ký nguyện vọng vào trường Đại học Kinh tế và Quản trị kinh doanh Thái Nguyên là 25%, tức là xác suất để chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường THPT này là học sinh đã đăng ký nguyện vọng vào trường là 0,25. Tỉ lệ học sinh nữ trong số học sinh có đăng ký nguyện vọng vào trường gấp 2 lần tỉ lệ học sinh nữ trong số học sinh không đăng ký nguyện vọng vào trường. Do đó, xác suất để chọn ngẫu nhiên một học sinh nữ trong số học sinh đã đăng ký nguyện vọng vào trường là \( 2q \). Ta có: \[ q = 0,25 \times 2p \] Vì xác suất để chọn ngẫu nhiên một học sinh nữ từ tổng số học sinh của trường là \( p \), nên ta có: \[ p = q + (1 - 0,25)p \] Thay \( q = 0,25 \times 2p \) vào phương trình trên: \[ p = 0,25 \times 2p + (1 - 0,25)p \] \[ p = 0,5p + 0,75p \] \[ p = p \] Do đó, ta thấy rằng phương trình này đúng, nhưng chúng ta cần tìm \( q \): \[ q = 0,25 \times 2p = 0,5p \] Vậy xác suất để chọn ngẫu nhiên một học sinh nữ đã đăng ký nguyện vọng vào trường Đại học Kinh tế và Quản trị kinh doanh Thái Nguyên là: \[ \frac{q}{p} = \frac{0,5p}{p} = 0,5 \] Đáp số: \(\frac{1}{2}\) Câu 22 Để tìm góc giữa hai đường thẳng \(A_1D\) và \(B_1I\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các đỉnh của hình lập phương: - \(A(0, 0, 0)\) - \(B(a, 0, 0)\) - \(C(a, a, 0)\) - \(D(0, a, 0)\) - \(A_1(0, 0, a)\) - \(B_1(a, 0, a)\) - \(C_1(a, a, a)\) - \(D_1(0, a, a)\) 2. Tìm tọa độ của điểm \(I\): \(I\) là trung điểm của \(BD\). Do đó: \[ I = \left(\frac{a + 0}{2}, \frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \] 3. Tìm vectơ \( \overrightarrow{A_1D} \) và \( \overrightarrow{B_1I} \): \[ \overrightarrow{A_1D} = D - A_1 = (0, a, 0) - (0, 0, a) = (0, a, -a) \] \[ \overrightarrow{B_1I} = I - B_1 = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) - (a, 0, a) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -a\right) \] 4. Tính tích vô hướng \( \overrightarrow{A_1D} \cdot \overrightarrow{B_1I} \): \[ \overrightarrow{A_1D} \cdot \overrightarrow{B_1I} = (0, a, -a) \cdot \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -a\right) = 0 \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) + a \cdot \frac{a}{2} + (-a) \cdot (-a) = 0 + \frac{a^2}{2} + a^2 = \frac{3a^2}{2} \] 5. Tính độ dài của các vectơ \( \overrightarrow{A_1D} \) và \( \overrightarrow{B_1I} \): \[ |\overrightarrow{A_1D}| = \sqrt{0^2 + a^2 + (-a)^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \] \[ |\overrightarrow{B_1I}| = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + (-a)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} + a^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = a\sqrt{\frac{3}{2}} \] 6. Tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{A_1D} \cdot \overrightarrow{B_1I}}{|\overrightarrow{A_1D}| \cdot |\overrightarrow{B_1I}|} = \frac{\frac{3a^2}{2}}{a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{3a^2}{2}}{a^2 \sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 7. Tìm góc \(\theta\): \[ \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = 30^\circ \] Vậy góc giữa hai đường thẳng \(A_1D\) và \(B_1I\) là \(30^\circ\). Đáp số: \(30^\circ\).