Giaibgiuonto voi

Câu 1. a) Đạo hàm của hàm số $f(x) = \cos x + x$ là: \[ f'(x) = -\sin x + 1 \] Đáp án đúng là: $f'(x) = -\sin x + 1$ b) Đánh giá đạo hàm tại điểm $x = \pi$: \[ f'(\pi) = -\sin \pi + 1 = -0 + 1 = 1 \] Đáp án đúng là: $f'(\pi) = 1$ c) Phương trình $f'(x) = 0$: \[ -\sin x + 1 = 0 \] \[ \sin x = 1 \] \[ \sin x = \sin \frac{\pi}{2} \] Đáp án đúng là: $\sin x = \sin \frac{\pi}{2}$ d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x_0 = \pi$: - Tính giá trị của hàm số tại điểm $x_0 = \pi$: \[ f(\pi) = \cos \pi + \pi = -1 + \pi \] - Tính giá trị của đạo hàm tại điểm $x_0 = \pi$: \[ f'(\pi) = 1 \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(\pi, \pi - 1)$ là: \[ y - (\pi - 1) = 1(x - \pi) \] \[ y = x - \pi + \pi - 1 \] \[ y = x - 1 \] Đáp án đúng là: $y = x - 1$ Tóm lại, các đáp án đúng là: a) $f'(x) = -\sin x + 1$ b) $f'(\pi) = 1$ c) $\sin x = \sin \frac{\pi}{2}$ d) $y = x - 1$ Câu 2. Trước tiên, ta cần xác định các thông tin đã cho và yêu cầu của đề bài: - Hình lăng trụ tam giác đều ABC - A'B'C' với cạnh đáy bằng a. - Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (AB'C') bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Bước 1: Xác định các tính chất của hình lăng trụ tam giác đều - Các mặt đáy ABC và A'B'C' là các tam giác đều. - Các cạnh bên AA', BB', CC' vuông góc với các mặt đáy. Bước 2: Xác định khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (AB'C') - Ta biết rằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (AB'C') là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Bước 3: Xác định chiều cao của lăng trụ - Vì lăng trụ tam giác đều, khoảng cách giữa hai mặt đáy (chiều cao của lăng trụ) sẽ bằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (AB'C'). - Do đó, chiều cao của lăng trụ là $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Bước 4: Tính diện tích đáy của lăng trụ - Diện tích đáy của lăng trụ là diện tích tam giác đều ABC. - Công thức tính diện tích tam giác đều là $S_{đáy} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. Bước 5: Tính thể tích của lăng trụ - Thể tích của lăng trụ tam giác đều được tính bằng công thức: $V = S_{đáy} \times h$. - Thay các giá trị vào công thức: \[ V = \left(\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\right) \times \left(\frac{a \sqrt{3}}{2}\right) = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \times \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a^3 \cdot 3}{8} = \frac{3a^3}{8} \] Kết luận - Diện tích đáy của lăng trụ là $\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. - Thể tích của lăng trụ là $\frac{3a^3}{8}$. Do đó, đáp án đúng là: - Diện tích đáy của lăng trụ là $\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. - Thể tích của lăng trụ là $\frac{3a^3}{8}$. Câu 1. Để tìm tập xác định của hàm số $y=\log_3(-x^2-5x+6)$, ta cần đảm bảo rằng biểu thức ở trong dấu logarit phải dương, tức là: \[ -x^2 - 5x + 6 > 0 \] Bước 1: Giải bất phương trình $-x^2 - 5x + 6 > 0$ Đầu tiên, ta giải phương trình bậc hai $-x^2 - 5x + 6 = 0$ để tìm các nghiệm của nó: \[ -x^2 - 5x + 6 = 0 \] Nhân cả hai vế với -1 để dễ dàng hơn: \[ x^2 + 5x - 6 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$, ta có: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 1$, $b = 5$, $c = -6$. Thay vào công thức: \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 \pm 7}{2} \] Từ đó, ta tìm được hai nghiệm: \[ x = \frac{-5 + 7}{2} = 1 \quad \text{và} \quad x = \frac{-5 - 7}{2} = -6 \] Bước 2: Xác định khoảng giá trị của $x$ sao cho $-x^2 - 5x + 6 > 0$ Biểu thức $-x^2 - 5x + 6$ là một parabol mở xuống (vì hệ số của $x^2$ là âm). Do đó, biểu thức này sẽ dương giữa hai nghiệm $x = -6$ và $x = 1$. Vậy tập xác định của hàm số là: \[ -6 < x < 1 \] Bước 3: Tìm các giá trị nguyên thuộc tập xác định Các giá trị nguyên nằm trong khoảng $-6 < x < 1$ là: \[ x = -5, -4, -3, -2, -1, 0 \] Vậy có 6 giá trị nguyên thuộc tập xác định của hàm số. Đáp số: 6 giá trị nguyên. Câu 2. Xác suất để cả hai bạn đều không đạt từ 8 điểm trở lên là: \[ P(\text{cả hai bạn không đạt từ 8 điểm trở lên}) = (1 - 0,8) \times (1 - 0,9) = 0,2 \times 0,1 = 0,02 \] Xác suất để ít nhất một bạn đạt từ 8 điểm trở lên là: \[ P(\text{ít nhất một bạn đạt từ 8 điểm trở lên}) = 1 - P(\text{cả hai bạn không đạt từ 8 điểm trở lên}) = 1 - 0,02 = 0,98 \] Đáp số: 0,98 Câu 3. Để tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định đường cao của tam giác SAB: Vì tam giác SAB đều cạnh bằng 2a, đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy AB sẽ chia tam giác SAB thành hai tam giác vuông cân. Đường cao này cũng là đường cao của tam giác SAB. Ta có: \[ SH = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2a = a\sqrt{3} \] 2. Xác định khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC): Mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABC). Do đó, đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC) sẽ nằm trên đường thẳng qua S và vuông góc với mặt đáy (ABC). Vì tam giác SAB đều và (SAB) vuông góc với (ABC), đường cao SH từ S xuống AB cũng là đường cao từ S xuống mặt phẳng (ABC). Vậy khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC) là: \[ d(S, (ABC)) = SH = a\sqrt{3} \] 3. Làm tròn kết quả: Kết quả làm tròn đến hàng phần mười: \[ a\sqrt{3} \approx a \times 1.732 \approx 1.7a \] Vậy khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC) là \(1.7a\). Câu 4. Để tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm độ dài cạnh SB: - Vì \( SA \perp (ABC) \) nên tam giác SAB vuông tại A. - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SAB: \[ SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{4a^2 + 4a^2} = \sqrt{8a^2} = 2a\sqrt{2} \] 2. Tìm độ dài cạnh BC: - Vì \( AB \perp BC \) nên tam giác ABC vuông tại B. - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABC: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \implies (a\sqrt{5})^2 = (2a)^2 + BC^2 \implies 5a^2 = 4a^2 + BC^2 \implies BC^2 = a^2 \implies BC = a \] 3. Tìm độ dài cạnh SC: - Tam giác SBC có SB và BC đã biết, áp dụng định lý Pythagoras: \[ SC = \sqrt{SB^2 + BC^2} = \sqrt{(2a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{8a^2 + a^2} = \sqrt{9a^2} = 3a \] 4. Tìm góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB): - Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ C xuống mặt phẳng (SAB). Ta có \( CH \perp (SAB) \). - Ta cần tìm góc \( \angle SCH \). 5. Tính diện tích tam giác SBC: - Diện tích tam giác SBC: \[ [SBC] = \frac{1}{2} \times SB \times BC = \frac{1}{2} \times 2a\sqrt{2} \times a = a^2\sqrt{2} \] 6. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB): - Diện tích tam giác SAB: \[ [SAB] = \frac{1}{2} \times SA \times AB = \frac{1}{2} \times 2a \times 2a = 2a^2 \] - Khoảng cách từ C đến (SAB) là: \[ d(C, (SAB)) = \frac{2 \times [SBC]}{SC} = \frac{2 \times a^2\sqrt{2}}{3a} = \frac{2a\sqrt{2}}{3} \] 7. Tính góc \( \angle SCH \): - Trong tam giác vuông SCH, ta có: \[ \sin(\angle SCH) = \frac{CH}{SC} = \frac{\frac{2a\sqrt{2}}{3}}{3a} = \frac{2\sqrt{2}}{9} \] - Góc \( \angle SCH \): \[ \angle SCH = \arcsin\left(\frac{2\sqrt{2}}{9}\right) \] 8. Kết luận: - Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là: \[ \boxed{\arcsin\left(\frac{2\sqrt{2}}{9}\right)} \] Làm tròn đến độ, ta có: \[ \boxed{16^\circ} \] Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức $A_N = Ae^{rN}$ để tìm tỉ lệ tăng dân số hàng năm $r$, sau đó sử dụng lại công thức này để tìm năm mà dân số vượt qua ngưỡng 120 triệu người. Bước 1: Xác định các giá trị đã biết: - Dân số năm 2014: $A = 85,9$ triệu người. - Dân số năm 2024: $A_{10} = 96,2$ triệu người. - Thời gian từ năm 2014 đến năm 2024 là 10 năm. Bước 2: Áp dụng công thức $A_N = Ae^{rN}$ để tìm $r$: \[ 96,2 = 85,9 e^{10r} \] Chia cả hai vế cho 85,9: \[ \frac{96,2}{85,9} = e^{10r} \] Tính giá trị của $\frac{96,2}{85,9}$: \[ 1,12 = e^{10r} \] Lấy ln của cả hai vế: \[ \ln(1,12) = 10r \] Tính giá trị của $\ln(1,12)$: \[ 0,1133 = 10r \] Giải ra $r$: \[ r = \frac{0,1133}{10} = 0,01133 \] Bước 3: Tìm năm mà dân số vượt qua ngưỡng 120 triệu người: Áp dụng công thức $A_N = Ae^{rN}$ với $A_N = 120$ triệu người: \[ 120 = 85,9 e^{0,01133N} \] Chia cả hai vế cho 85,9: \[ \frac{120}{85,9} = e^{0,01133N} \] Tính giá trị của $\frac{120}{85,9}$: \[ 1,4 = e^{0,01133N} \] Lấy ln của cả hai vế: \[ \ln(1,4) = 0,01133N \] Tính giá trị của $\ln(1,4)$: \[ 0,3365 = 0,01133N \] Giải ra $N$: \[ N = \frac{0,3365}{0,01133} \approx 29,7 \] Vậy, dân số Việt Nam sẽ vượt qua ngưỡng 120 triệu người vào khoảng năm 2014 + 29,7 ≈ 2044. Đáp số: Năm 2044. Câu 2. Để giải quyết các bài toán liên quan đến hình chóp S.ABCD, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các thông số đã biết - Đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng \(a\). - Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy \((ABCD)\) và \(SA = a\sqrt{2}\). Bước 2: Tính diện tích đáy ABCD Diện tích đáy \(ABCD\) là: \[ S_{ABCD} = a^2 \] Bước 3: Tính chiều cao của hình chóp Chiều cao của hình chóp là \(SA = a\sqrt{2}\). Bước 4: Tính thể tích của hình chóp Thể tích \(V\) của hình chóp được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA \] \[ V = \frac{1}{3} \times a^2 \times a\sqrt{2} \] \[ V = \frac{1}{3} \times a^3 \sqrt{2} \] \[ V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{3} \] Bước 5: Tính diện tích toàn phần của hình chóp Diện tích toàn phần bao gồm diện tích đáy và diện tích các mặt bên. Diện tích đáy: \[ S_{ABCD} = a^2 \] Diện tích các mặt bên: Mỗi mặt bên là tam giác đều có đáy là cạnh của hình vuông và chiều cao từ đỉnh \(S\) xuống đáy. Ta tính diện tích của một mặt bên, lấy tam giác \(SAB\) làm ví dụ: - \(AB = a\) - \(SA = a\sqrt{2}\) Chiều cao hạ từ \(S\) xuống \(AB\) là: \[ h_{SAB} = \sqrt{(SA)^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2} \] \[ h_{SAB} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \] \[ h_{SAB} = \sqrt{2a^2 - \frac{a^2}{4}} \] \[ h_{SAB} = \sqrt{\frac{8a^2 - a^2}{4}} \] \[ h_{SAB} = \sqrt{\frac{7a^2}{4}} \] \[ h_{SAB} = \frac{a\sqrt{7}}{2} \] Diện tích của tam giác \(SAB\): \[ S_{SAB} = \frac{1}{2} \times AB \times h_{SAB} \] \[ S_{SAB} = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a\sqrt{7}}{2} \] \[ S_{SAB} = \frac{a^2 \sqrt{7}}{4} \] Vì có 4 mặt bên giống nhau, tổng diện tích các mặt bên là: \[ S_{cạnh} = 4 \times S_{SAB} \] \[ S_{cạnh} = 4 \times \frac{a^2 \sqrt{7}}{4} \] \[ S_{cạnh} = a^2 \sqrt{7} \] Tổng diện tích toàn phần: \[ S_{toàn phần} = S_{ABCD} + S_{cạnh} \] \[ S_{toàn phần} = a^2 + a^2 \sqrt{7} \] \[ S_{toàn phần} = a^2 (1 + \sqrt{7}) \] Kết luận - Thể tích của hình chóp là: \( V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{3} \) - Diện tích toàn phần của hình chóp là: \( S_{toàn phần} = a^2 (1 + \sqrt{7}) \)