Gaiir giup toi

Câu 9. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào đúng. 1. Khẳng định A: \( AB \bot (SBC) \) - Để \( AB \bot (SBC) \), \( AB \) phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \( (SBC) \). - \( AB \) vuông góc với \( BC \) vì \( ABC \) là tam giác vuông tại \( A \). - Tuy nhiên, \( AB \) không vuông góc với \( SB \) vì \( SA \bot (ABC) \) và \( AB \) nằm trong mặt phẳng \( (ABC) \). Do đó, khẳng định A sai. 2. Khẳng định B: \( BC \bot (SAC) \) - Để \( BC \bot (SAC) \), \( BC \) phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \( (SAC) \). - \( BC \) vuông góc với \( AC \) vì \( ABC \) là tam giác vuông tại \( A \). - Tuy nhiên, \( BC \) không vuông góc với \( SC \) vì \( SA \bot (ABC) \) và \( BC \) nằm trong mặt phẳng \( (ABC) \). Do đó, khẳng định B sai. 3. Khẳng định C: \( AB \bot (SAC) \) - Để \( AB \bot (SAC) \), \( AB \) phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \( (SAC) \). - \( AB \) vuông góc với \( AC \) vì \( ABC \) là tam giác vuông tại \( A \). - \( AB \) cũng vuông góc với \( SA \) vì \( SA \bot (ABC) \) và \( AB \) nằm trong mặt phằng \( (ABC) \). Do đó, khẳng định C đúng. 4. Khẳng định D: \( BC \bot (SAB) \) - Để \( BC \bot (SAB) \), \( BC \) phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \( (SAB) \). - \( BC \) vuông góc với \( AB \) vì \( ABC \) là tam giác vuông tại \( A \). - Tuy nhiên, \( BC \) không vuông góc với \( SB \) vì \( SA \bot (ABC) \) và \( BC \) nằm trong mặt phẳng \( (ABC) \). Do đó, khẳng định D sai. Kết luận: Khẳng định đúng là \( C.~AB \bot (SAC) \). Câu 10. A. Nếu $a\|(P)$ và $b\bot(P)$ thì $b\bot a.$ - Lập luận: Nếu đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng $b$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$, thì đường thẳng $b$ sẽ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(P)$ hoặc song song với nó. Do đó, $b$ vuông góc với $a$. Mệnh đề này đúng. B. Nếu $a\|(P)$ và $b\bot a$ thì $b\bot(P).$ - Lập luận: Nếu đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng $b$ vuông góc với $a$, thì không thể kết luận rằng $b$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$. Đường thẳng $b$ có thể nằm trong mặt phẳng $(P)$ hoặc cắt mặt phẳng $(P)$ ở một điểm nào đó. Mệnh đề này sai. C. Nếu a vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng (P) thì $a\bot(P).$ - Lập luận: Nếu đường thẳng $a$ vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mặt phẳng $(P)$, thì đường thẳng $a$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$. Điều này đúng theo định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Mệnh đề này đúng. D. Nếu $a\|(P)$ và $b\|a$ thì $b\|(P).$ - Lập luận: Nếu đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng $b$ song song với $a$, thì đường thẳng $b$ cũng song song với mặt phẳng $(P)$. Điều này đúng theo tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng. Mệnh đề này đúng. Tóm lại, các mệnh đề đúng là: - A. Nếu $a\|(P)$ và $b\bot(P)$ thì $b\bot a.$ - C. Nếu a vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng (P) thì $a\bot(P).$ - D. Nếu $a\|(P)$ và $b\|a$ thì $b\|(P).$ Đáp án: A, C, D. Câu 11. Để tìm góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: - Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa đường thẳng SC và hình chiếu của nó lên mặt phẳng (ABCD). 2. Tìm hình chiếu của điểm C lên mặt phẳng (ABCD): - Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên hình chiếu của điểm C lên mặt phẳng (ABCD) là chính điểm C. 3. Tính khoảng cách từ S đến C: - Ta có SA = $\sqrt{2}a$ và đáy ABCD là hình vuông cạnh $\sqrt{3}a$. - Do đó, AC = $\sqrt{(\sqrt{3}a)^2 + (\sqrt{3}a)^2} = \sqrt{3a^2 + 3a^2} = \sqrt{6a^2} = \sqrt{6}a$. - SC là đường chéo của hình chữ nhật SACD, do đó: \[ SC = \sqrt{(SA)^2 + (AC)^2} = \sqrt{(\sqrt{2}a)^2 + (\sqrt{6}a)^2} = \sqrt{2a^2 + 6a^2} = \sqrt{8a^2} = 2\sqrt{2}a \] 4. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD): - Gọi góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là $\theta$. - Ta có: \[ \sin \theta = \frac{SA}{SC} = \frac{\sqrt{2}a}{2\sqrt{2}a} = \frac{1}{2} \] - Từ đó suy ra: \[ \theta = \arcsin \left( \frac{1}{2} \right) = 30^\circ \] Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là $30^\circ$. Đáp án đúng là: $B.~30^0.$ Câu 12. Giá trị đại diện của nhóm [49;53) là trung điểm của khoảng này. Bước 1: Tính giá trị đại diện của nhóm [49;53). Giá trị đại diện của nhóm [49;53) là: \[ \frac{49 + 53}{2} = \frac{102}{2} = 51 \] Vậy giá trị đại diện của nhóm [49;53) là 51. Đáp án đúng là: C. 51 Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. a) Tính xác suất của biến cố A Biến cố A là "Số ghi trên thẻ chia hết cho 3". Các số từ 1 đến 25 mà chia hết cho 3 là: \[ 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 \] Tổng cộng có 8 số chia hết cho 3 trong khoảng từ 1 đến 25. Xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = \frac{\text{số lượng kết quả thuận lợi}}{\text{số lượng kết quả có thể xảy ra}} = \frac{8}{25} \] b) Xác định xem biến cố A và B có xung khắc hay không Biến cố B là "Số ghi trên thẻ chia hết cho 10". Các số từ 1 đến 25 mà chia hết cho 10 là: \[ 10, 20 \] Tổng cộng có 2 số chia hết cho 10 trong khoảng từ 1 đến 25. Hai biến cố A và B xung khắc nếu không có số nào cùng thuộc cả hai biến cố. Ta thấy rằng không có số nào vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 10 trong khoảng từ 1 đến 25. Do đó, A và B xung khắc. c) Tính xác suất của biến cố B Xác suất của biến cố B là: \[ P(B) = \frac{\text{số lượng kết quả thuận lợi}}{\text{số lượng kết quả có thể xảy ra}} = \frac{2}{25} \] d) Tính xác suất của biến cố \(A \cup B\) Vì A và B xung khắc, nên xác suất của biến cố \(A \cup B\) là tổng xác suất của A và B: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{8}{25} + \frac{2}{25} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} \] Đáp số \[ a)~P(A) = \frac{8}{25} \] \[ b)~A~và~B~xung~khắc \] \[ c)~P(B) = \frac{2}{25} \] \[ d)~P(A \cup B) = \frac{2}{5} \] Câu 2. a) Ta có thể tích của khối chóp S.ABCD là: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA \] Diện tích đáy ABCD là: \[ S_{ABCD} = a^2 \] Thay vào công thức thể tích: \[ V = \frac{1}{3} \times a^2 \times a = \frac{a^3}{3} \] Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là $\frac{a^3}{3}$, không phải $a^3$. Do đó, phát biểu này sai. b) Để chứng minh $BC \perp (SAB)$, ta cần kiểm tra xem BC vuông góc với hai đường thẳng trong mặt phẳng (SAB). Ta có: - $BC \perp AB$ vì ABCD là hình vuông. - $BC \perp SA$ vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD. Do đó, $BC \perp (SAB)$. Phát biểu này đúng. c) Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) là độ dài đoạn thẳng SA, vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD. Do đó, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) là a. Phát biểu này đúng. d) Góc nhị diện giữa hai mặt phẳng (SBC) và (DBC) là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với giao tuyến BC ở hai mặt phẳng đó. Ta có: - Đường thẳng SD vuông góc với BC trong mặt phẳng (SBC). - Đường thẳng CD vuông góc với BC trong mặt phẳng (DBC). Góc giữa SD và CD là góc SDC. Vì SA = a và đáy ABCD là hình vuông cạnh a, nên tam giác SAD là tam giác vuông cân tại A. Do đó, góc SDC là $45^\circ$. Phát biểu này đúng. Kết luận: - a) Sai - b) Đúng - c) Đúng - d) Đúng