giải giúp tôi

Câu 2. Để tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SHC), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm: - Đặt A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, $\sqrt{3}$, 0), D(0, $\sqrt{3}$, 0). - Vì tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy, ta có S nằm trên đường thẳng vuông góc với AB tại H. - H là trung điểm của AB, nên H có tọa độ ($\frac{1}{2}$, 0, 0). 2. Tìm tọa độ của S: - Vì SAB là tam giác cân tại S, S nằm trên đường thẳng vuông góc với AB tại H, ta có S($\frac{1}{2}$, 0, h). - Ta cần tìm giá trị của h. Do SAB là tam giác cân, SA = SB, ta có: \[ SA = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2 + h^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2 + h^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + h^2} \] \[ SB = \sqrt{\left(1 - \frac{1}{2}\right)^2 + 0^2 + h^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + h^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + h^2} \] - Vậy SA = SB, suy ra h là bất kỳ giá trị nào thỏa mãn điều kiện này. Ta chọn h = 1 để đơn giản hóa. 3. Tìm phương trình mặt phẳng (SHC): - Vector SH = ($\frac{1}{2}$, 0, 1) - ($\frac{1}{2}$, 0, 0) = (0, 0, 1). - Vector HC = (1, $\sqrt{3}$, 0) - ($\frac{1}{2}$, 0, 0) = ($\frac{1}{2}$, $\sqrt{3}$, 0). - Vector pháp tuyến n của mặt phẳng (SHC) là tích vector SH và HC: \[ n = SH \times HC = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & 0 & 1 \\ \frac{1}{2} & \sqrt{3} & 0 \end{vmatrix} = (-\sqrt{3}, -\frac{1}{2}, 0) \] - Phương trình mặt phẳng (SHC) có dạng: \[ -\sqrt{3}(x - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}(y - 0) + 0(z - 0) = 0 \] \[ -\sqrt{3}x + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}y = 0 \] \[ -2\sqrt{3}x - y + \sqrt{3} = 0 \] 4. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SHC): - Tọa độ của D là (0, $\sqrt{3}$, 0). - Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SHC) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|-2\sqrt{3}(0) - (\sqrt{3}) + \sqrt{3}|}{\sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} \] \[ d = \frac{|-\sqrt{3} + \sqrt{3}|}{\sqrt{12 + 1}} = \frac{0}{\sqrt{13}} = 0 \] Do đó, khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SHC) là 0. Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định vị trí của các điểm và tính toán các thông số cần thiết. 2. Xác định mặt phẳng (P) và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. 3. Tính toán góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Bước 1: Xác định vị trí của các điểm và tính toán các thông số cần thiết - Đáy ABCD là hình thoi cạnh 3a. - Tam giác ABC đều, do đó AB = BC = AC = 3a. - SA = SB = SC = a√6. Bước 2: Xác định mặt phẳng (P) và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (SCD). Bước 3: Tính toán góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (SCD). Ta cần tìm góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SCD). Ta có: - AH là đường cao hạ từ A xuống mặt phẳng (SCD). - Góc giữa SA và mặt phẳng (SCD) là góc giữa SA và AH. Tính toán khoảng cách AH Trong tam giác SCD, ta có: - SD = CD = 3a (vì ABCD là hình thoi). - SC = a√6. Áp dụng công thức tính diện tích tam giác SCD: \[ [SCD] = \frac{1}{2} \times SD \times CD \times \sin(\angle SDC) \] Vì tam giác SCD là tam giác cân tại S, ta có: \[ \cos(\angle SDC) = \frac{SD^2 + CD^2 - SC^2}{2 \times SD \times CD} = \frac{(3a)^2 + (3a)^2 - (a\sqrt{6})^2}{2 \times 3a \times 3a} = \frac{9a^2 + 9a^2 - 6a^2}{18a^2} = \frac{12a^2}{18a^2} = \frac{2}{3} \] Do đó: \[ \sin(\angle SDC) = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \] Diện tích tam giác SCD: \[ [SCD] = \frac{1}{2} \times 3a \times 3a \times \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{9a^2 \sqrt{5}}{6} = \frac{3a^2 \sqrt{5}}{2} \] Diện tích tam giác SAD: \[ [SAD] = \frac{1}{2} \times SA \times AD \times \sin(\angle SAD) \] Vì tam giác SAD là tam giác cân tại S, ta có: \[ \cos(\angle SAD) = \frac{SA^2 + AD^2 - SD^2}{2 \times SA \times AD} = \frac{(a\sqrt{6})^2 + (3a)^2 - (3a)^2}{2 \times a\sqrt{6} \times 3a} = \frac{6a^2 + 9a^2 - 9a^2}{6a^2 \sqrt{6}} = \frac{6a^2}{6a^2 \sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} \] Do đó: \[ \sin(\angle SAD) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt{30}}{6} \] Diện tích tam giác SAD: \[ [SAD] = \frac{1}{2} \times a\sqrt{6} \times 3a \times \frac{\sqrt{30}}{6} = \frac{3a^2 \sqrt{6} \times \sqrt{30}}{12} = \frac{3a^2 \sqrt{180}}{12} = \frac{3a^2 \times 6\sqrt{5}}{12} = \frac{3a^2 \sqrt{5}}{2} \] Khoảng cách AH: \[ AH = \frac{2 \times [SAD]}{SD} = \frac{2 \times \frac{3a^2 \sqrt{5}}{2}}{3a} = a\sqrt{5} \] Tính góc giữa SA và AH Trong tam giác SAH, ta có: \[ \sin(\angle SAH) = \frac{AH}{SA} = \frac{a\sqrt{5}}{a\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{30}}{6} \] Do đó: \[ \angle SAH = \arcsin\left(\frac{\sqrt{30}}{6}\right) \] Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SCD) là: \[ \boxed{\arcsin\left(\frac{\sqrt{30}}{6}\right)} \]