Jsjnansnnsnsnnz

Câu 7. Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz có dạng: \[ Ax + By + Cz + D = 0 \] trong đó \( A, B, C, D \) là các hằng số và \( A, B, C \) không đồng thời bằng 0. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình để xác định phương trình tổng quát của mặt phẳng: A. \( 2x + 3y + z - 1 = 0 \) - Đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng vì nó có dạng \( Ax + By + Cz + D = 0 \) với \( A = 2, B = 3, C = 1, D = -1 \). B. \( x^2 + y - z + 3 = 0 \) - Phương trình này có \( x^2 \), do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng. C. \( x - y^2 + 3z - 6 = 0 \) - Phương trình này có \( y^2 \), do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng. D. \( x + y + z^2 - 7 = 0 \) - Phương trình này có \( z^2 \), do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng là: \[ 2x + 3y + z - 1 = 0 \] Đáp án đúng là: \( A.~2x+3y+z-1=0 \). Câu 8. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ dựa vào các tính chất của hình chóp và hình vuông. 1. Xác định các tính chất cơ bản: - Đáy ABCD là hình vuông, do đó các cạnh AB, BC, CD, DA đều bằng nhau và các góc ở đáy đều là 90°. - SA vuông góc với mặt đáy ABCD, tức là SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt đáy. 2. Xét các mặt phẳng: - Mặt phẳng (SAD) bao gồm các điểm S, A, D. - Mặt phẳng (SAB) bao gồm các điểm S, A, B. - Mặt phẳng (SAC) bao gồm các điểm S, A, C. - Mặt phẳng (SBD) bao gồm các điểm S, B, D. 3. Kiểm tra điều kiện vuông góc: - CD nằm trong mặt đáy ABCD và vuông góc với AD (vì ABCD là hình vuông). - Mặt phẳng (SAD) bao gồm SA và AD. Vì SA vuông góc với mặt đáy nên SA vuông góc với CD. Mặt khác, AD cũng vuông góc với CD. Do đó, CD vuông góc với cả hai đường thẳng SA và AD, suy ra CD vuông góc với mặt phẳng (SAD). Do đó, đường thẳng CD vuông góc với mặt phẳng (SAD). Đáp án: A. (SAD) Câu 9. Để giải bất phương trình \(5^{x+1} \geq 5^{x+9}\), ta thực hiện các bước sau: 1. So sánh các mũ của cùng cơ số: Vì cơ số \(5\) là số dương lớn hơn 1, nên ta có thể so sánh trực tiếp các mũ của chúng: \[ x + 1 \geq x + 9 \] 2. Giải bất phương trình: Ta trừ \(x\) từ cả hai vế: \[ 1 \geq 9 \] Điều này là vô lý, vì 1 không thể lớn hơn hoặc bằng 9. Do đó, bất phương trình này không có nghiệm. 3. Kiểm tra lại các bước: Ta thấy rằng việc so sánh \(x + 1 \geq x + 9\) đã dẫn đến một kết quả vô lý. Điều này có nghĩa là không có giá trị nào của \(x\) thỏa mãn bất phương trình ban đầu. Do đó, tập nghiệm của bất phương trình \(5^{x+1} \geq 5^{x+9}\) là rỗng, tức là không có nghiệm. Đáp án: D. Tập nghiệm rỗng (không có nghiệm). Câu 10. Ta biết rằng tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng được tính theo công thức: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2u_1 + (n-1)d\right) \] Trong đó: - \( S_n \) là tổng của n số hạng đầu tiên, - \( u_1 \) là số hạng đầu tiên, - \( d \) là khoảng cách giữa các số hạng liên tiếp, - \( n \) là số lượng số hạng. Theo đề bài, ta có: - \( S_1 = 72 \), - \( d = -2 \). Vì \( S_1 \) là tổng của số hạng đầu tiên, nên ta có: \[ S_1 = u_1 \] Do đó: \[ u_1 = 72 \] Tuy nhiên, ta cần kiểm tra lại xem liệu có sự nhầm lẫn nào trong việc hiểu đề bài hay không. Vì nếu \( S_1 = 72 \) thì \( u_1 = 72 \). Nhưng nếu đề bài yêu cầu tìm \( u_1 \) dựa trên tổng của nhiều hơn một số hạng, chúng ta cần biết thêm thông tin về \( n \). Giả sử đề bài yêu cầu tìm \( u_1 \) dựa trên tổng của nhiều hơn một số hạng, ta sẽ áp dụng công thức tổng của cấp số cộng: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2u_1 + (n-1)d\right) \] Với \( S_1 = 72 \), \( d = -2 \), và \( n = 1 \): \[ 72 = \frac{1}{2} \left(2u_1 + (1-1)(-2)\right) \] \[ 72 = \frac{1}{2} \left(2u_1 + 0\right) \] \[ 72 = \frac{1}{2} \times 2u_1 \] \[ 72 = u_1 \] Như vậy, \( u_1 = 72 \). Tuy nhiên, nếu đề bài yêu cầu tìm \( u_1 \) dựa trên tổng của nhiều hơn một số hạng, chúng ta cần biết thêm thông tin về \( n \). Nếu không có thông tin này, ta chỉ có thể kết luận rằng \( u_1 = 72 \). Vậy đáp án đúng là: \[ D.~u_1 = 72 \] Câu 11. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong một tứ diện đều, tất cả các cạnh đều có cùng độ dài và các góc giữa các cạnh cũng giống nhau. 1. Tìm góc giữa hai vectơ: - Trong tứ diện đều, góc giữa hai cạnh chung đỉnh là góc giữa hai vectơ từ đỉnh đó đến hai đỉnh còn lại. - Gọi \( \theta \) là góc giữa \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC} \). Ta biết rằng trong tứ diện đều, góc giữa hai cạnh chung đỉnh là \( 60^\circ \). 2. Tính tích vô hướng: - Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ \( \overrightarrow{u} \) và \( \overrightarrow{v} \) là: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}| \cos(\theta) \] - Ở đây, \( |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = a \) và \( \theta = 60^\circ \). 3. Áp dụng công thức: - Thay vào công thức, ta có: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) \] - Biết rằng \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \), nên: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} a^2 \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~\frac{1}{2}a^2 \] Câu 12. Dựa vào đồ thị của hàm số $y = f(x)$, ta có thể xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số như sau: - Trên khoảng $(-\infty; -1)$, đồ thị hàm số đang tăng dần từ trái sang phải, do đó hàm số đồng biến trên khoảng này. - Trên khoảng $(-1; 1)$, đồ thị hàm số đang giảm dần từ trái sang phải, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này. - Trên khoảng $(1; +\infty)$, đồ thị hàm số đang tăng dần từ trái sang phải, do đó hàm số đồng biến trên khoảng này. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng phát biểu: A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$. - Đúng, vì trên khoảng $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$, đồ thị hàm số đều tăng dần từ trái sang phải. B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(-1; 1)$. - Đúng, vì trên khoảng $(-1; 1)$, đồ thị hàm số giảm dần từ trái sang phải. C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-1; 1)$. - Sai, vì trên khoảng $(-1; 1)$, đồ thị hàm số giảm dần từ trái sang phải, tức là hàm số nghịch biến. D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(-3; 1)$. - Sai, vì trên khoảng $(-3; -1)$, hàm số đồng biến, chỉ trên khoảng $(-1; 1)$ hàm số mới nghịch biến. Vậy phát biểu đúng là: B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(-1; 1)$. Câu 1. a) Ta có: $f(0)=4\sin 0+2\times 0+1=1$ $f(-\frac{\pi }{2})=4\sin (-\frac{\pi }{2})+2\times (-\frac{\pi }{2})+1=-4-\pi +1=-\pi -3$ b) Đạo hàm của hàm số đã cho là: $f'(x)=(4\sin x+2x+1)'=4\cos x+2$ c) Ta có: $f'(x)=0$ $4\cos x+2=0$ $\cos x=-\frac{1}{2}$ $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ Vì $x\in [0;\pi ]$ nên $x=\frac{2\pi }{3}$ d) Ta có: $f(0)=1$ $f(\frac{2\pi }{3})=4\sin (\frac{2\pi }{3})+2\times \frac{2\pi }{3}+1=2\sqrt{3}+\frac{4\pi }{3}+1$ $f(\pi )=4\sin \pi +2\times \pi +1=2\pi +1$ Ta thấy $2\pi +1>2\sqrt{3}+\frac{4\pi }{3}+1>1$ Vậy giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn $[0;\pi ]$ là $2\pi +1$, đạt được khi $x=\pi $. Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Trong bài toán này, hàm số \( v(t) = 20 - 5t \) và \( s(t) = 20t - \frac{5}{2}t^2 \) đều đã được cho trong khoảng thời gian \( 0 \leq t \leq 4 \). Do đó, điều kiện xác định là: \[ 0 \leq t \leq 4 \] Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( s(t) \) Tìm đạo hàm của \( s(t) \): \[ s'(t) = \frac{d}{dt}\left(20t - \frac{5}{2}t^2\right) = 20 - 5t \] Tìm điểm cực trị: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị: \[ s'(t) = 0 \] \[ 20 - 5t = 0 \] \[ t = 4 \] Kiểm tra các giá trị tại biên và điểm cực trị: - Tại \( t = 0 \): \[ s(0) = 20 \cdot 0 - \frac{5}{2} \cdot 0^2 = 0 \] - Tại \( t = 4 \): \[ s(4) = 20 \cdot 4 - \frac{5}{2} \cdot 4^2 = 80 - \frac{5}{2} \cdot 16 = 80 - 40 = 40 \] Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \( s(t) \) là 40, đạt được khi \( t = 4 \). Kết luận: Quãng đường xe di chuyển được biểu diễn bởi hàm số \( s(t) = 20t - \frac{5}{2}t^2 \). Giá trị lớn nhất của hàm số này là 40 mét, đạt được khi \( t = 4 \) giây. Đáp số: 40 mét