Giải tất cả các bài chính xác nhất, chi tiết và ghi rõ câu trả lời ra riêng giúp mình ạ.( Tóm kết quả lại ở cuối trang)

Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ dựa vào đồ thị của hàm số $y = \left(\frac{p}{q}\right)^x$ và các tính chất của hàm số mũ. Bước 1: Xác định tính chất của hàm số mũ - Nếu $\frac{p}{q} > 1$, hàm số $y = \left(\frac{p}{q}\right)^x$ là hàm số đồng biến. - Nếu $\frac{p}{q} < 1$, hàm số $y = \left(\frac{p}{q}\right)^x$ là hàm số nghịch biến. Bước 2: Phân tích đồ thị - Từ đồ thị, ta thấy hàm số $y = \left(\frac{p}{q}\right)^x$ là hàm số nghịch biến. Do đó, $\frac{p}{q} < 1$. Bước 3: Xác định giá trị của hàm số tại điểm đặc biệt - Ta thấy rằng khi $x = 0$, giá trị của hàm số là $y = 1$. Điều này đúng với mọi hàm số mũ $y = a^x$ vì $a^0 = 1$. Bước 4: Xác định giá trị của hàm số tại điểm khác - Khi $x = 1$, giá trị của hàm số là $y = \frac{1}{2}$. Do đó, $\left(\frac{p}{q}\right)^1 = \frac{1}{2}$, suy ra $\frac{p}{q} = \frac{1}{2}$. Bước 5: Tìm giá trị của $p$ và $q$ - Từ $\frac{p}{q} = \frac{1}{2}$, ta có $p = \frac{1}{2}q$. Bước 6: Tính giá trị biểu thức $A = p + q$ - Thay $p = \frac{1}{2}q$ vào biểu thức $A = p + q$, ta có: \[ A = \frac{1}{2}q + q = \frac{3}{2}q \] Bước 7: Xác định giá trị của $q$ - Để xác định giá trị cụ thể của $q$, ta cần thêm thông tin từ đồ thị hoặc giả định một giá trị hợp lý. Tuy nhiên, trong bài toán này, ta có thể chọn $q = 2$ để đơn giản hóa (vì $\frac{p}{q} = \frac{1}{2}$). Bước 8: Tính giá trị của $A$ - Với $q = 2$, ta có $p = \frac{1}{2} \times 2 = 1$. - Vậy $A = p + q = 1 + 2 = 3$. Đáp số: $A = 3$. Câu 2. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 - 2x$ tại điểm $M(1, -1)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $y = x^3 - 2x$. \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x) = 3x^2 - 2 \] Bước 2: Tìm giá trị của đạo hàm tại điểm $M(1, -1)$. \[ y'(1) = 3(1)^2 - 2 = 3 - 2 = 1 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $M(1, -1)$ là $a = 1$. Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M(1, -1)$. Phương trình tiếp tuyến có dạng: \[ y = a(x - x_0) + y_0 \] Trong đó, $(x_0, y_0) = (1, -1)$ và $a = 1$. Thay vào ta có: \[ y = 1(x - 1) - 1 \] \[ y = x - 1 - 1 \] \[ y = x - 2 \] Bước 4: So sánh phương trình tiếp tuyến đã tìm được với phương trình $y = ax + b$ để xác định giá trị của $a$ và $b$. \[ y = x - 2 \] So sánh với $y = ax + b$, ta thấy $a = 1$ và $b = -2$. Bước 5: Tính giá trị của $ab$. \[ ab = 1 \times (-2) = -2 \] Vậy giá trị của $ab$ là $\boxed{-2}$. Câu 3. Để tính giá trị của $\log_2(16a^2)$, ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit. Trước tiên, ta biết rằng $\log_2a = 3$. Điều này có nghĩa là $a = 2^3 = 8$. Bây giờ, ta cần tính $\log_2(16a^2)$. Ta sẽ sử dụng tính chất của logarit để phân tích biểu thức này: \[ \log_2(16a^2) = \log_2(16) + \log_2(a^2) \] Ta biết rằng $16 = 2^4$, nên: \[ \log_2(16) = \log_2(2^4) = 4 \] Tiếp theo, ta tính $\log_2(a^2)$. Vì $a = 8$, ta có: \[ a^2 = 8^2 = 64 \] Do đó: \[ \log_2(a^2) = \log_2(64) = \log_2(2^6) = 6 \] Vậy: \[ \log_2(16a^2) = \log_2(16) + \log_2(a^2) = 4 + 6 = 10 \] Đáp số: $\log_2(16a^2) = 10$. Câu 4. Để tính vận tốc của vật tại thời điểm mà vật chuyển động được 24m, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm thời điểm t mà vật chuyển động được 24m: Ta có phương trình chuyển động của vật là: \[ S(t) = t^3 + 4t^2 \] Ta cần tìm t sao cho \( S(t) = 24 \): \[ t^3 + 4t^2 = 24 \] Ta thử các giá trị t để tìm nghiệm: - Nếu \( t = 2 \): \[ 2^3 + 4 \cdot 2^2 = 8 + 16 = 24 \] Vậy \( t = 2 \) là nghiệm của phương trình. 2. Tính vận tốc của vật tại thời điểm t = 2: Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t là đạo hàm của \( S(t) \): \[ v(t) = \frac{dS(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 + 4t^2) = 3t^2 + 8t \] Thay \( t = 2 \) vào biểu thức vận tốc: \[ v(2) = 3 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 = 3 \cdot 4 + 16 = 12 + 16 = 28 \text{ m/s} \] Vậy vận tốc của vật tại thời điểm mà vật chuyển động được 24m là 28 m/s. Đáp số: 28 m/s --- Bài toán xác suất: Chị Hoa có tiếp xúc với người bệnh hai lần, một lần đeo khẩu trang và một lần không đeo khẩu trang. Xác suất lây bệnh nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang là 0,75 và nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang là 0,15. 1. Xác suất lây bệnh khi không đeo khẩu trang: \[ P(\text{lây bệnh | không đeo khẩu trang}) = 0,75 \] 2. Xác suất lây bệnh khi đeo khẩu trang: \[ P(\text{lây bệnh | đeo khẩu trang}) = 0,15 \] 3. Xác suất không lây bệnh khi không đeo khẩu trang: \[ P(\text{không lây bệnh | không đeo khẩu trang}) = 1 - 0,75 = 0,25 \] 4. Xác suất không lây bệnh khi đeo khẩu trang: \[ P(\text{không lây bệnh | đeo khẩu trang}) = 1 - 0,15 = 0,85 \] 5. Xác suất chị Hoa không lây bệnh trong cả hai lần tiếp xúc: \[ P(\text{không lây bệnh trong cả hai lần}) = P(\text{không lây bệnh | không đeo khẩu trang}) \times P(\text{không lây bệnh | đeo khẩu trang}) \] \[ P(\text{không lây bệnh trong cả hai lần}) = 0,25 \times 0,85 = 0,2125 \] 6. Xác suất chị Hoa bị lây bệnh từ người bệnh: \[ P(\text{lây bệnh}) = 1 - P(\text{không lây bệnh trong cả hai lần}) \] \[ P(\text{lây bệnh}) = 1 - 0,2125 = 0,7875 \] Vậy xác suất để chị Hoa bị lây bệnh từ người bệnh là 0,7875. Đáp số: 0,7875 Câu 2. Để giải bất phương trình $\log_3(3x-2)\leq2$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Điều kiện để $\log_3(3x-2)$ có nghĩa là: \[ 3x - 2 > 0 \] \[ 3x > 2 \] \[ x > \frac{2}{3} \] Bước 2: Giải bất phương trình Ta có: \[ \log_3(3x-2) \leq 2 \] Để giải bất phương trình này, ta sử dụng tính chất của hàm logarit: \[ \log_3(3x-2) \leq \log_3(9) \] Vì hàm logarit cơ số 3 là hàm đồng biến, nên ta có: \[ 3x - 2 \leq 9 \] Bước 3: Giải phương trình đại số \[ 3x - 2 \leq 9 \] \[ 3x \leq 11 \] \[ x \leq \frac{11}{3} \] Bước 4: Kết hợp điều kiện xác định Từ điều kiện xác định $x > \frac{2}{3}$ và kết quả từ bất phương trình $x \leq \frac{11}{3}$, ta có: \[ \frac{2}{3} < x \leq \frac{11}{3} \] Kết luận: Giải của bất phương trình $\log_3(3x-2) \leq 2$ là: \[ \left( \frac{2}{3}, \frac{11}{3} \right] \] Đáp số: $\left( \frac{2}{3}, \frac{11}{3} \right]$ Câu 3. Trước tiên, chúng ta cần xác định vị trí của con chim yến trong căn phòng. Gọi khoảng cách từ con chim yến đến mỗi đỉnh của trần nhà là 6m. Ta sẽ vẽ một hình vuông trên trần nhà với các đỉnh là các đỉnh của trần nhà và tâm của hình vuông là điểm chính giữa của trần nhà. Khoảng cách từ tâm của hình vuông đến mỗi đỉnh của hình vuông là $\frac{\sqrt{8^2 + 6^2}}{2} = \frac{\sqrt{64 + 36}}{2} = \frac{\sqrt{100}}{2} = 5$ m. Do đó, khoảng cách từ con chim yến đến trần nhà là: \[ \sqrt{6^2 - 5^2} = \sqrt{36 - 25} = \sqrt{11} \text{ m} \] Vậy khoảng cách ngắn nhất từ con chim yến đến trần nhà là $\sqrt{11}$ m. Đáp số: $\sqrt{11}$ m.