snsnsnsnsnsnnnsnsnsnns

Câu 1: a) Ta có: \[ y = x^3 - 3x^2 + 1 \] Áp dụng công thức đạo hàm của tổng, ta có: \[ y' = (x^3)' - (3x^2)' + (1)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của lũy thừa và hằng số, ta có: \[ y' = 3x^2 - 6x + 0 \] \[ y' = 3x^2 - 6x \] b) Ta có: \[ y = x \sin x \] Áp dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số, ta có: \[ y' = (x)' \sin x + x (\sin x)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của lũy thừa và sin, ta có: \[ y' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x \] \[ y' = \sin x + x \cos x \] c) Ta có: \[ y = \frac{x-1}{\sqrt{x}} \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số, ta có: \[ y' = \frac{(x-1)' \sqrt{x} - (x-1) (\sqrt{x})'}{(\sqrt{x})^2} \] Áp dụng công thức đạo hàm của lũy thừa và hằng số, ta có: \[ y' = \frac{1 \cdot \sqrt{x} - (x-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} \] \[ y' = \frac{\sqrt{x} - \frac{x-1}{2\sqrt{x}}}{x} \] Rút gọn biểu thức: \[ y' = \frac{\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} - (x-1)}{2x\sqrt{x}} \] \[ y' = \frac{2x - (x-1)}{2x\sqrt{x}} \] \[ y' = \frac{2x - x + 1}{2x\sqrt{x}} \] \[ y' = \frac{x + 1}{2x\sqrt{x}} \] Đáp số: a) \( y' = 3x^2 - 6x \) b) \( y' = \sin x + x \cos x \) c) \( y' = \frac{x + 1}{2x\sqrt{x}} \) Câu 2: Để tính gia tốc tức thời của một vật chuyển động theo phương trình \( s(t) = \cos t \) tại thời điểm \( t = \frac{\pi}{4} \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc tức thời: - Vận tốc tức thời \( v(t) \) là đạo hàm của phương trình chuyển động \( s(t) \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos t) = -\sin t \] 2. Tìm gia tốc tức thời: - Gia tốc tức thời \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc tức thời \( v(t) \): \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-\sin t) = -\cos t \] 3. Tính gia tốc tức thời tại thời điểm \( t = \frac{\pi}{4} \): - Thay \( t = \frac{\pi}{4} \) vào biểu thức gia tốc tức thời: \[ a\left( \frac{\pi}{4} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) \] - Biết rằng \( \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), nên: \[ a\left( \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] Vậy gia tốc tức thời của vật tại thời điểm \( t = \frac{\pi}{4} \) là \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Câu 3: Để viết phương trình tiếp tuyến của parabol $y = x^2 - 4x + 1$, ta thực hiện theo các bước sau: a) Tiếp điểm tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$ Bước 1: Tìm tọa độ tiếp điểm. - Thay $x_0 = 1$ vào phương trình parabol: \[ y_0 = 1^2 - 4 \cdot 1 + 1 = 1 - 4 + 1 = -2 \] Vậy tiếp điểm là $(1, -2)$. Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số để tìm hệ số góc của tiếp tuyến. - Đạo hàm của $y = x^2 - 4x + 1$ là: \[ y' = 2x - 4 \] - Tại $x_0 = 1$, hệ số góc của tiếp tuyến là: \[ k = y'(1) = 2 \cdot 1 - 4 = -2 \] Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến. - Phương trình tiếp tuyến có dạng $y = k(x - x_0) + y_0$: \[ y = -2(x - 1) - 2 \] \[ y = -2x + 2 - 2 \] \[ y = -2x \] b) Tiếp điểm tại điểm có tung độ $y_0 = -2$ Bước 1: Tìm tọa độ tiếp điểm. - Thay $y_0 = -2$ vào phương trình parabol: \[ -2 = x^2 - 4x + 1 \] \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] - Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = 3 \] Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số để tìm hệ số góc của tiếp tuyến. - Đạo hàm của $y = x^2 - 4x + 1$ là: \[ y' = 2x - 4 \] - Tại $x_0 = 1$, hệ số góc của tiếp tuyến là: \[ k_1 = y'(1) = 2 \cdot 1 - 4 = -2 \] - Tại $x_0 = 3$, hệ số góc của tiếp tuyến là: \[ k_2 = y'(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2 \] Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến. - Đối với tiếp điểm $(1, -2)$: \[ y = -2(x - 1) - 2 \] \[ y = -2x + 2 - 2 \] \[ y = -2x \] - Đối với tiếp điểm $(3, -2)$: \[ y = 2(x - 3) - 2 \] \[ y = 2x - 6 - 2 \] \[ y = 2x - 8 \] Kết luận: - Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$ là $y = -2x$. - Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ $y_0 = -2$ là $y = -2x$ và $y = 2x - 8$.