Giúp tôi trả bài này với

Câu 1. Để tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2^x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$ và $x = 2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giới hạn tích phân: - Giới hạn dưới là $x = 0$. - Giới hạn trên là $x = 2$. 2. Tính diện tích bằng tích phân: - Diện tích S của hình phẳng (H) được tính bằng tích phân của hàm số $y = 2^x$ từ $x = 0$ đến $x = 2$. Do đó, diện tích S của hình phẳng (H) là: \[ S = \int_{0}^{2} 2^x \, dx \] Ta thấy rằng trong các đáp án đã cho, chỉ có đáp án C đúng là: \[ C.~S = \int_{0}^{2} 2^x \, dx \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~S = \int_{0}^{2} 2^x \, dx} \] Câu 2. Để xác định hàm số nào đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$, ta sẽ kiểm tra tính chất của mỗi hàm số. A. $y = \frac{x+1}{x+3}$ Điều kiện xác định: $x \neq -3$ Ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{x+1}{x+3} \right)' = \frac{(x+3)'(x+1) - (x+3)(x+1)'}{(x+3)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - (x+3) \cdot 1}{(x+3)^2} = \frac{x+1 - x - 3}{(x+3)^2} = \frac{-2}{(x+3)^2} \] Vì $(x+3)^2 > 0$ với mọi $x \neq -3$, nên $y' < 0$ với mọi $x \neq -3$. Do đó, hàm số này nghịch biến trên khoảng $(-\infty; -3)$ và $(-3; +\infty)$. B. $y = \frac{x-1}{x-2}$ Điều kiện xác định: $x \neq 2$ Ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{x-1}{x-2} \right)' = \frac{(x-2)'(x-1) - (x-2)(x-1)'}{(x-2)^2} = \frac{1 \cdot (x-1) - (x-2) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{x-1 - x + 2}{(x-2)^2} = \frac{1}{(x-2)^2} \] Vì $(x-2)^2 > 0$ với mọi $x \neq 2$, nên $y' > 0$ với mọi $x \neq 2$. Do đó, hàm số này đồng biến trên khoảng $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$. C. $y = -x^3 - 3x$ Ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = (-x^3 - 3x)' = -3x^2 - 3 \] Vì $-3x^2 - 3 < 0$ với mọi $x$, nên hàm số này nghịch biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$. D. $y = x^2 + x$ Ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = (x^2 + x)' = 2x + 1 \] Đạo hàm $y' = 2x + 1$ có dấu phụ thuộc vào giá trị của $x$: - Với $x > -\frac{1}{2}$, ta có $y' > 0$, hàm số đồng biến. - Với $x < -\frac{1}{2}$, ta có $y' < 0$, hàm số nghịch biến. Do đó, hàm số này đồng biến trên khoảng $(-\frac{1}{2}; +\infty)$ và nghịch biến trên khoảng $(-\infty; -\frac{1}{2})$. Từ các phân tích trên, ta thấy rằng chỉ có hàm số B ($y = \frac{x-1}{x-2}$) là đồng biến trên khoảng $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$, nhưng không đồng biến trên toàn bộ khoảng $(-\infty; +\infty)$ do bị chặn bởi điểm bất định tại $x = 2$. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B} \] Câu 3. Để tính thể tích của khối chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích đáy ABCD: Đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng \(e\). Diện tích đáy \(S_{ABCD}\) là: \[ S_{ABCD} = e^2 \] 2. Xác định chiều cao SA: Chiều cao của chóp S.ABCD là đoạn thẳng \(SA\) và đã cho \(SA = a\sqrt{2}\). 3. Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: Thể tích \(V\) của khối chóp được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA \] Thay các giá trị vào công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times e^2 \times a\sqrt{2} \] 4. Xác định giá trị của \(e\): Vì \(SA \perp (ABCD)\) và \(SA = a\sqrt{2}\), ta có thể suy ra rằng \(e = a\). Do đó: \[ e^2 = a^2 \] 5. Thay \(e^2 = a^2\) vào công thức thể tích: \[ V = \frac{1}{3} \times a^2 \times a\sqrt{2} = \frac{1}{3} \times a^3 \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}a^3}{3} \] Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là: \[ V = \frac{\sqrt{2}a^3}{3} \] Đáp án đúng là: \(B.~V=\frac{\sqrt{2}a^3}{3}\). Câu 4. Để tìm bán kính của mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-8x+10y-6z+49=0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình mặt cầu dưới dạng chuẩn: Phương trình mặt cầu có dạng chuẩn là $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó $(a, b, c)$ là tâm của mặt cầu và $R$ là bán kính. 2. Hoàn thành bình phương: Ta sẽ hoàn thành bình phương cho các biến $x$, $y$, và $z$ trong phương trình đã cho. - Đối với $x$: \[ x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16 \] - Đối với $y$: \[ y^2 + 10y = (y + 5)^2 - 25 \] - Đối với $z$: \[ z^2 - 6z = (z - 3)^2 - 9 \] 3. Thay vào phương trình ban đầu: Thay các biểu thức trên vào phương trình ban đầu: \[ (x - 4)^2 - 16 + (y + 5)^2 - 25 + (z - 3)^2 - 9 + 49 = 0 \] 4. Rút gọn phương trình: \[ (x - 4)^2 + (y + 5)^2 + (z - 3)^2 - 16 - 25 - 9 + 49 = 0 \] \[ (x - 4)^2 + (y + 5)^2 + (z - 3)^2 = 1 \] 5. Nhận diện bán kính: So sánh với phương trình chuẩn $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, ta thấy rằng $R^2 = 1$. Do đó, bán kính $R$ là: \[ R = \sqrt{1} = 1 \] Vậy, bán kính của mặt cầu $(S)$ là $\boxed{1}$. Câu 5. Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số lượng quãng đường: Tổng số ngày = 3 + 6 + 5 + 4 + 2 = 20 ngày 2. Xác định vị trí của Q1 và Q3: - Vị trí của Q1 = $\frac{n}{4} = \frac{20}{4} = 5$ - Vị trí của Q3 = $\frac{3n}{4} = \frac{3 \times 20}{4} = 15$ 3. Xác định khoảng chứa Q1 và Q3: - Khoảng chứa Q1: [2,7; 3,0) - Khoảng chứa Q3: [3,3; 3,6) 4. Áp dụng công thức tính Q1 và Q3: - Công thức chung: $Q_k = x_{k-1} + \frac{\frac{k \times n}{4} - F_{k-1}}{f_k} \times d$ - Với Q1: - $x_{k-1} = 2,7$ - $F_{k-1} = 0$ (vì không có dữ liệu trước đó) - $f_k = 3$ (số ngày trong khoảng [2,7; 3,0)) - $d = 0,3$ (khoảng cách giữa các khoảng) $Q1 = 2,7 + \frac{5 - 0}{3} \times 0,3 = 2,7 + 0,5 = 3,2$ - Với Q3: - $x_{k-1} = 3,3$ - $F_{k-1} = 14$ (tổng số ngày trước khoảng [3,3; 3,6)) - $f_k = 5$ (số ngày trong khoảng [3,3; 3,6)) - $d = 0,3$ (khoảng cách giữa các khoảng) $Q3 = 3,3 + \frac{15 - 14}{5} \times 0,3 = 3,3 + 0,06 = 3,36$ 5. Tính khoảng tứ phân vị: Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 3,36 - 3,2 = 0,16 Do đó, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 0,16. Đáp án: D. 0,9 Câu 6. Phương trình $\sin x = 1$ có nghiệm là các giá trị của $x$ sao cho $\sin x$ bằng 1. Ta biết rằng $\sin x = 1$ khi $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. Do đó, nghiệm của phương trình $\sin x = 1$ là: \[ x = \frac{\pi}{2} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~x = \frac{\pi}{2} + k2\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Câu 7. Để tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \cos x + 6x$, ta thực hiện như sau: 1. Tìm nguyên hàm của $\cos x$: Nguyên hàm của $\cos x$ là $\sin x$. 2. Tìm nguyên hàm của $6x$: Nguyên hàm của $6x$ là $6 \cdot \frac{x^2}{2} = 3x^2$. 3. Kết hợp các kết quả trên và thêm hằng số tích phân $C$: Nguyên hàm của $f(x) = \cos x + 6x$ là $\sin x + 3x^2 + C$. Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\sin x + 3x^2 + C. \] Câu 8. Để tìm số điểm cực tiểu của hàm số \( f(x) \), ta dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). Bảng xét dấu của \( f'(x) \) cho thấy: - \( f'(x) \) chuyển từ âm sang dương tại \( x = -2 \) và \( x = 2 \). Điều này cho thấy \( f(x) \) đạt cực tiểu tại hai điểm này. Do đó, hàm số \( f(x) \) có 2 điểm cực tiểu. Vậy đáp án đúng là: A. 2 Câu 9. Cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu tiên $u_1 = -2$ và công sai $d = -7$. Công thức để tính số hạng thứ $n$ của cấp số cộng là: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Áp dụng công thức này để tìm số hạng $u_{10}$: \[ u_{10} = -2 + (10-1)(-7) \] \[ u_{10} = -2 + 9(-7) \] \[ u_{10} = -2 - 63 \] \[ u_{10} = -65 \] Như vậy, số hạng $u_{10}$ của cấp số cộng là $-65$. Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có đáp án đúng là $-65$. Do đó, có thể có lỗi trong đề bài hoặc các đáp án đã cho. Đáp án: Đáp án đúng không có trong các lựa chọn đã cho.