giúp em với

Câu 7. Trước tiên, ta cần hiểu rằng góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc giữa hai tia xuất phát từ điểm chung của chúng. Ta sẽ kiểm tra từng trường hợp để xác định góc giữa SD và BC. 1. Góc giữa SD và BC: - Vì ABCD là hình bình hành, nên BC song song với AD. - Góc giữa SD và BC sẽ giống như góc giữa SD và AD (do BC // AD). 2. Góc giữa SD và SC: - Đây là góc giữa hai đường thẳng SD và SC, không liên quan trực tiếp đến BC hoặc AD. 3. Góc giữa SD và AD: - Như đã nói ở trên, vì BC // AD, nên góc giữa SD và BC sẽ giống như góc giữa SD và AD. 4. Góc giữa SD và DC: - Đây là góc giữa SD và DC, không liên quan trực tiếp đến BC hoặc AD. 5. Góc giữa SD và BD: - Đây là góc giữa SD và BD, không liên quan trực tiếp đến BC hoặc AD. Từ các phân tích trên, ta thấy rằng góc giữa SD và BC sẽ giống như góc giữa SD và AD. Do đó, đáp án đúng là: B. Góc giữa hai đường thẳng SD và AD. Câu 8. Để tính giá trị của biểu thức \( I = \log_{1} \left( \frac{a^2}{125} \right) \), ta cần lưu ý rằng cơ số của logarit là 1. Trong toán học, logarit cơ số 1 của bất kỳ số nào khác 1 đều không xác định vì không tồn tại số mũ nào của 1 để bằng một số khác 1. Do đó, biểu thức \( \log_{1} \left( \frac{a^2}{125} \right) \) không xác định. Tuy nhiên, nếu giả sử rằng có một lỗi trong đề bài và cơ số của logarit là 5 thay vì 1, ta sẽ có: \[ I = \log_{5} \left( \frac{a^2}{125} \right). \] Ta biết rằng \( 125 = 5^3 \), do đó: \[ \frac{a^2}{125} = \frac{a^2}{5^3}. \] Áp dụng công thức logarit: \[ I = \log_{5} \left( \frac{a^2}{5^3} \right) = \log_{5} (a^2) - \log_{5} (5^3). \] Sử dụng tính chất logarit: \[ \log_{5} (a^2) = 2 \log_{5} (a), \] \[ \log_{5} (5^3) = 3. \] Do đó: \[ I = 2 \log_{5} (a) - 3. \] Vì \( a \neq 5 \), biểu thức này không thể đơn giản hóa thêm nữa. Tuy nhiên, nếu ta giả sử \( a = 5 \), thì: \[ I = 2 \log_{5} (5) - 3 = 2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = -1. \] Nhưng vì \( a \neq 5 \), biểu thức \( I = 2 \log_{5} (a) - 3 \) vẫn giữ nguyên. Vậy, đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~I = -\frac{1}{3}} \] Câu 9. A. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia. Lập luận: - Giả sử hai mặt phẳng \(P\) và \(Q\) vuông góc với nhau tại giao tuyến \(d\). - Lấy một đường thẳng \(a\) nằm trong mặt phẳng \(P\) và vuông góc với giao tuyến \(d\). Theo định lý về đường thẳng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc, ta có: - Nếu một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng kia. Do đó, đường thẳng \(a\) vuông góc với mặt phẳng \(Q\). Vậy mệnh đề A là đúng. B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. Lập luận: - Giả sử hai mặt phẳng \(P\) và \(Q\) đều vuông góc với mặt phẳng \(R\). Tuy nhiên, hai mặt phẳng \(P\) và \(Q\) không nhất thiết phải song song với nhau. Chúng có thể cắt nhau theo một đường thẳng. Do đó, mệnh đề B là sai. C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau. Lập luận: - Giả sử hai mặt phẳng \(P\) và \(Q\) đều vuông góc với mặt phẳng \(R\). Tuy nhiên, hai mặt phẳng \(P\) và \(Q\) không nhất thiết phải vuông góc với nhau. Chúng có thể song song hoặc cắt nhau theo một đường thẳng. Do đó, mệnh đề C là sai. D. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia. Lập luận: - Giả sử hai mặt phẳng \(P\) và \(Q\) vuông góc với nhau. Tuy nhiên, không phải mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(P\) đều vuông góc với mặt phẳng \(Q\). Chỉ những đường thẳng nằm trong \(P\) và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng mới vuông góc với mặt phẳng \(Q\). Do đó, mệnh đề D là sai. Kết luận: Mệnh đề đúng là A. Câu 10. Trước tiên, ta cần hiểu rằng hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD và đỉnh S thẳng đứng trên tâm O của đáy. Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. $(SAB) \perp (SIG)$: - Ta thấy rằng mặt phẳng $(SAB)$ chứa cạnh SA và SB. - Mặt phẳng $(SIG)$ chứa cạnh SI và IG. - Để $(SAB) \perp (SIG)$ thì đường thẳng SI phải vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$. Tuy nhiên, SI không vuông góc với $(SAB)$ vì SI nằm trong mặt phẳng $(SAB)$ (do I là trung điểm của AB và G là trọng tâm của tam giác SAB). Do đó, mệnh đề này sai. B. $(SAC) \perp (SAD)$: - Ta thấy rằng mặt phẳng $(SAC)$ chứa cạnh SA và SC. - Mặt phẳng $(SAD)$ chứa cạnh SA và SD. - Để $(SAC) \perp (SAD)$ thì đường thẳng SA phải vuông góc với cả hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SAD)$. Tuy nhiên, SA không vuông góc với $(SAC)$ và $(SAD)$ vì SA nằm trong cả hai mặt phẳng này. Do đó, mệnh đề này sai. C. $(SGI) \perp (SBC)$: - Ta thấy rằng mặt phẳng $(SGI)$ chứa cạnh SG và GI. - Mặt phẳng $(SBC)$ chứa cạnh SB và SC. - Để $(SGI) \perp (SBC)$ thì đường thẳng SG phải vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$. Tuy nhiên, SG không vuông góc với $(SBC)$ vì SG nằm trong mặt phẳng $(SBC)$ (do G là trọng tâm của tam giác SBC). Do đó, mệnh đề này sai. D. $(SAD) \perp (SBD)$: - Ta thấy rằng mặt phẳng $(SAD)$ chứa cạnh SA và SD. - Mặt phẳng $(SBD)$ chứa cạnh SB và SD. - Để $(SAD) \perp (SBD)$ thì đường thẳng SD phải vuông góc với cả hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBD)$. Tuy nhiên, SD không vuông góc với $(SAD)$ và $(SBD)$ vì SD nằm trong cả hai mặt phẳng này. Do đó, mệnh đề này sai. Như vậy, tất cả các mệnh đề đều sai. Tuy nhiên, nếu ta xét kỹ lại, ta thấy rằng trong các mệnh đề đã cho, không có mệnh đề nào đúng. Vì vậy, câu trả lời là: Đáp án: Không có mệnh đề nào đúng. Câu 11. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào là đúng. A. Tồn tại duy nhất một đường thẳng A nằm trên mặt phẳng (P) và vuông góc với d: - Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P), thì tồn tại nhiều đường thẳng nằm trên mặt phẳng (P) và vuông góc với d. Do đó, mệnh đề này sai vì không phải là duy nhất. B. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng $(\alpha)$ chứa đường thẳng d và (a) song song với (P): - Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P), thì tồn tại nhiều mặt phẳng chứa đường thẳng d và song song với (P). Do đó, mệnh đề này sai vì không phải là duy nhất. C. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng $(\alpha)$ chứa đường thẳng d và (a) vuông góc với (P): - Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P), thì không thể tồn tại mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với (P). Do đó, mệnh đề này sai. D. Không tồn tại mặt phẳng $(\alpha)$ chứa đường thẳng d và (a) song song với (P): - Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P), thì tồn tại nhiều mặt phẳng chứa đường thẳng d và song song với (P). Do đó, mệnh đề này sai. Từ các lập luận trên, chúng ta thấy rằng tất cả các mệnh đề đều sai ngoại trừ mệnh đề D. Tuy nhiên, mệnh đề D cũng không đúng vì tồn tại nhiều mặt phẳng chứa đường thẳng d và song song với (P). Do đó, câu trả lời chính xác là không có mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề đã cho. Đáp án: Không có mệnh đề nào đúng. Câu 12. Để viết biểu thức $a^3\sqrt a$ dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, ta làm như sau: 1. Biểu thức $a^3\sqrt a$ có thể được viết lại thành $a^3 \cdot a^{\frac{1}{2}}$ vì $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$. 2. Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ sở: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, ta có: \[ a^3 \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{3 + \frac{1}{2}} \] 3. Cộng các số mũ: \[ 3 + \frac{1}{2} = \frac{6}{2} + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \] 4. Vậy biểu thức $a^3\sqrt a$ viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là: \[ a^{\frac{7}{2}} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~a^{\frac{7}{2}} \] Câu 1: Để xác định tính đúng/sai của các mệnh đề, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. a) \( B \cap D = \emptyset \) - Biến cố \( B \): "Ít nhất có một tấm thẻ ghi số chẵn". - Biến cố \( D \): "Tổng hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn". Biến cố \( D \) xảy ra khi cả hai số đều là số chẵn hoặc cả hai số đều là số lẻ. Biến cố \( B \) xảy ra khi ít nhất một trong hai số là số chẵn. Vậy \( B \cap D \) xảy ra khi cả hai số đều là số chẵn. Do đó, \( B \cap D \neq \emptyset \). b) \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \) - Biến cố \( A \): "Cả hai tấm thẻ đều ghi số lẻ". - Biến cố \( B \): "Ít nhất có một tấm thẻ ghi số chẵn". \( A \cup B \) là biến cố "ít nhất một tấm thẻ ghi số chẵn hoặc cả hai tấm thẻ đều ghi số lẻ", tức là tất cả các trường hợp trừ trường hợp cả hai tấm thẻ đều ghi số chẵn. Vì vậy, \( P(A \cup B) = 1 - P(\text{cả hai tấm thẻ đều ghi số chẵn}) \). \( P(A) \) là xác suất cả hai tấm thẻ đều ghi số lẻ, và \( P(B) \) là xác suất ít nhất một tấm thẻ ghi số chẵn. Ta có: \[ P(A \cup B) = 1 - P(\text{cả hai tấm thẻ đều ghi số chẵn}) \] \[ P(A) + P(B) = P(A) + (1 - P(\text{cả hai tấm thẻ đều ghi số lẻ})) \] Do đó, \( P(A \cup B) \neq P(A) + P(B) \). c) \( C = A \cup B \) - Biến cố \( C \): "Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số lẻ". - Biến cố \( A \): "Cả hai tấm thẻ đều ghi số lẻ". - Biến cố \( B \): "Ít nhất có một tấm thẻ ghi số chẵn". \( C \) xảy ra khi cả hai số đều là số lẻ. \( A \cup B \) xảy ra khi ít nhất một tấm thẻ ghi số chẵn hoặc cả hai tấm thẻ đều ghi số lẻ. Do đó, \( C \neq A \cup B \). d) Biến cố \( A \) và \( D \) độc lập - Biến cố \( A \): "Cả hai tấm thẻ đều ghi số lẻ". - Biến cố \( D \): "Tổng hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn". \( A \) xảy ra khi cả hai số đều là số lẻ. \( D \) xảy ra khi cả hai số đều là số chẵn hoặc cả hai số đều là số lẻ. Do đó, \( A \) và \( D \) không độc lập vì xác suất của \( D \) phụ thuộc vào \( A \). Kết luận: - \( a) \) Sai - \( b) \) Sai - \( c) \) Sai - \( d) \) Sai