chọn đáp án đúng sai và lời giải chi tiết

Câu 2. a) Ta có $d'(t)=3\cos (\frac{\pi (t-80)}{182})\times \frac{\pi }{182}$. Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $d(t)$, ta giải phương trình $d'(t)=0$: \[3\cos \left(\frac{\pi (t-80)}{182}\right) \times \frac{\pi}{182} = 0 \Rightarrow \cos \left(\frac{\pi (t-80)}{182}\right) = 0.\] Từ đó suy ra: \[\frac{\pi (t-80)}{182} = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.\] Giải phương trình này: \[t - 80 = 91 + 182k \Rightarrow t = 171 + 182k.\] Vì $0 < t \leq 365$, ta chọn $k = 0$ để có $t = 91$. Do đó, ngày mà thành phố X có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất là ngày thứ 91. b) Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $d(t)$, ta xét giá trị của $\sin$: \[\sin \left(\frac{\pi (t-80)}{182}\right)\] có giá trị lớn nhất là 1. Do đó: \[d(t)_{max} = 3 \times 1 + 12 = 15.\] Vậy thành phố X có nhiều nhất là 15 giờ có ánh sáng mặt trời trong một ngày. c) Thay $t = 120$ vào hàm số $d(t)$: \[d(120) = 3\sin \left(\frac{\pi (120-80)}{182}\right) + 12 = 3\sin \left(\frac{40\pi}{182}\right) + 12.\] Tính giá trị của $\sin \left(\frac{40\pi}{182}\right)$: \[\sin \left(\frac{40\pi}{182}\right) \approx 0.636.\] Do đó: \[d(120) \approx 3 \times 0.636 + 12 = 1.908 + 12 = 13.908 \approx 13.91.\] Vậy số giờ có ánh sáng mặt trời tại thành phố X vào ngày thứ 120 là khoảng 13.91 giờ. d) Ta thay $t = 140$ (ngày 19/05/2025) và $t = 245$ (ngày 02/09/2025) vào hàm số $d(t)$: \[d(140) = 3\sin \left(\frac{\pi (140-80)}{182}\right) + 12 = 3\sin \left(\frac{60\pi}{182}\right) + 12,\] \[d(245) = 3\sin \left(\frac{\pi (245-80)}{182}\right) + 12 = 3\sin \left(\frac{165\pi}{182}\right) + 12.\] Ta thấy rằng: \[\sin \left(\frac{60\pi}{182}\right) = \sin \left(\pi - \frac{165\pi}{182}\right) = \sin \left(\frac{165\pi}{182}\right).\] Do đó: \[d(140) = d(245).\] Vậy thời gian có ánh sáng mặt trời vào các ngày 19/05/2025 và 02/09/2025 là bằng nhau. Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một. a) Đường thẳng $y = x - 2$ là tiệm cận xiên của đồ thị (C). Ta thực hiện phép chia đa thức để tìm tiệm cận xiên: \[ y = \frac{x^2 - x + 1}{x + 1} \] Thực hiện phép chia: \[ x^2 - x + 1 = (x + 1)(x - 2) + 3 \] Do đó: \[ y = x - 2 + \frac{3}{x + 1} \] Khi $x \to \pm \infty$, $\frac{3}{x + 1} \to 0$. Vậy tiệm cận xiên của đồ thị là $y = x - 2$. Phát biểu này đúng. b) Điểm $I(-1; -1)$ là giao điểm các đường tiệm cận của đồ thị (C). Tiệm cận đứng của đồ thị là $x = -1$ (vì mẫu số $x + 1 = 0$ khi $x = -1$). Tiệm cận xiên đã tìm ở trên là $y = x - 2$. Giao điểm của hai đường thẳng này là: \[ x = -1 \quad \text{thay vào} \quad y = x - 2 \Rightarrow y = -1 - 2 = -3 \] Vậy giao điểm là $(-1, -3)$, không phải là $(-1, -1)$. Phát biểu này sai. c) Đồ thị (C) cắt đường thẳng $y = 3x - 1$ tại hai điểm phân biệt. Để tìm giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng $y = 3x - 1$, ta giải phương trình: \[ \frac{x^2 - x + 1}{x + 1} = 3x - 1 \] Nhân cả hai vế với $(x + 1)$: \[ x^2 - x + 1 = (3x - 1)(x + 1) \] \[ x^2 - x + 1 = 3x^2 + 3x - x - 1 \] \[ x^2 - x + 1 = 3x^2 + 2x - 1 \] \[ 0 = 2x^2 + 3x - 2 \] Giải phương trình bậc hai: \[ 2x^2 + 3x - 2 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4} \] \[ x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-8}{4} = -2 \] Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt, do đó đồ thị (C) cắt đường thẳng $y = 3x - 1$ tại hai điểm phân biệt. Phát biểu này đúng. d) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục Oy là đường thẳng $y = 2x + 1$. Giao điểm của đồ thị (C) với trục Oy là điểm có hoành độ $x = 0$: \[ y = \frac{0^2 - 0 + 1}{0 + 1} = 1 \] Vậy giao điểm là $(0, 1)$. Để tìm tiếp tuyến tại điểm này, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{x^2 - x + 1}{x + 1} \right)' = \frac{(2x - 1)(x + 1) - (x^2 - x + 1)}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 2x - x - 1 - x^2 + x - 1}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 2}{(x + 1)^2} \] Tại điểm $(0, 1)$: \[ y'(0) = \frac{0^2 + 2 \cdot 0 - 2}{(0 + 1)^2} = -2 \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(0, 1)$ là: \[ y - 1 = -2(x - 0) \Rightarrow y = -2x + 1 \] Vậy tiếp tuyến là $y = -2x + 1$, không phải là $y = 2x + 1$. Phát biểu này sai. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai