Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xy+yz+zx≥ x+y+z. Chứng minh rằng:$\frac{x^2}{\sqrt[]{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt[]{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt[]{z^{^3}+8}}$≥1

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng $\frac{x^2}{\sqrt[]{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt[]{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt[]{z^{^3}+8}} \geq 1$, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Đầu tiên, ta xét biểu thức $\frac{x^2}{\sqrt[]{x^3+8}}$. Ta có thể viết lại nó dưới dạng:
$$
\frac{x^2}{\sqrt[]{x^3+8}} = \frac{x^2}{\sqrt[]{x^3 + 2^3}}
$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho biểu thức này:
$$
\left( \frac{x^2}{\sqrt[]{x^3 + 8}} \right)^2 \leq \frac{x^4}{x^3 + 8}
$$

Tương tự, ta cũng có:
$$
\left( \frac{y^2}{\sqrt[]{y^3 + 8}} \right)^2 \leq \frac{y^4}{y^3 + 8}
$$
$$
\left( \frac{z^2}{\sqrt[]{z^3 + 8}} \right)^2 \leq \frac{z^4}{z^3 + 8}
$$

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng:
$$
\frac{x^4}{x^3 + 8} + \frac{y^4}{y^3 + 8} + \frac{z^4}{z^3 + 8} \geq 1
$$

Ta sử dụng giả thiết xy + yz + zx ≥ x + y + z. Ta sẽ biến đổi biểu thức trên để sử dụng giả thiết này.

Xét tổng:
$$
\frac{x^4}{x^3 + 8} + \frac{y^4}{y^3 + 8} + \frac{z^4}{z^3 + 8}
$$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho từng phân thức:
$$
\frac{x^4}{x^3 + 8} \geq \frac{x^4}{x^3 + 2x^3} = \frac{x^4}{3x^3} = \frac{x}{3}
$$
$$
\frac{y^4}{y^3 + 8} \geq \frac{y^4}{y^3 + 2y^3} = \frac{y^4}{3y^3} = \frac{y}{3}
$$
$$
\frac{z^4}{z^3 + 8} \geq \frac{z^4}{z^3 + 2z^3} = \frac{z^4}{3z^3} = \frac{z}{3}
$$

Do đó:
$$
\frac{x^4}{x^3 + 8} + \frac{y^4}{y^3 + 8} + \frac{z^4}{z^3 + 8} \geq \frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = \frac{x + y + z}{3}
$$

Theo giả thiết xy + yz + zx ≥ x + y + z, ta có:
$$
\frac{x + y + z}{3} \geq 1
$$

Vậy:
$$
\frac{x^4}{x^3 + 8} + \frac{y^4}{y^3 + 8} + \frac{z^4}{z^3 + 8} \geq 1
$$

Do đó:
$$
\frac{x^2}{\sqrt[]{x^3+8}} + \frac{y^2}{\sqrt[]{y^3+8}} + \frac{z^2}{\sqrt[]{z^3+8}} \geq 1
$$

Điều này hoàn thành chứng minh.

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xy+yz+zx≥ x+y+z. Chứng minh rằng:≥1