giúp mình vs a

Câu 2. a) Vì (SAB) vuông góc với (ABC) và SH nằm trong (SAB) và vuông góc với AB nên SH vuông góc với (ABC). b) Khoảng cách từ S đến (ABC) là SH. Vì tam giác SAB đều cạnh 2a nên SH = $\frac{2a\sqrt3}{2}=a\sqrt3$. c) Gọi H' là hình chiếu của S trên BC. Ta có SC vuông góc với H'C (giao tuyến của (SBC) và (ABC)). Vậy góc giữa SC và (ABC) là góc SCH'. Vì tam giác ABC vuông tại C và AC = $a\sqrt3$, AB = 2a nên BC = a. Tam giác SBC có SB = 2a, BC = a, SC = $\sqrt{(2a)^2+(a\sqrt3)^2}=a\sqrt7$. Tam giác SH'C vuông tại H' nên theo định lý Pythagore ta có: $SC^2=SH'^2+H'C^2$. Suy ra $(a\sqrt7)^2=SH'^2+a^2$. Suy ra $SH'=a\sqrt6$. Tỉ số lượng giác của góc SCH' là $\frac{H'C}{SC}=\frac{a}{a\sqrt7}=\frac{\sqrt7}{7}$. Vậy góc giữa SC và (ABC) là góc có tỉ số lượng giác bằng $\frac{\sqrt7}{7}$. d) Diện tích tam giác ABC là $\frac{1}{2}\times a\times a\sqrt3=\frac{a^2\sqrt3}{2}$. Thể tích của khối chóp S.ABC là $\frac{1}{3}\times \frac{a^2\sqrt3}{2}\times a\sqrt3=\frac{a^3}{2}$. Câu 3. Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Tính \( P(AB) \) Biến cố \( AB \) là biến cố xảy ra khi cả hai biến cố \( A \) và \( B \) cùng xảy ra. Biến cố \( A \) là "tổng số chấm xuất hiện trên xúc xắc sau hai lần gieo nhỏ hơn 5", và biến cố \( B \) là "số chấm xuất hiện trên xúc xắc sau hai lần gieo khác nhau". Các kết quả có thể xảy ra khi gieo xúc xắc 2 lần là: \[ (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) \] Các kết quả thỏa mãn biến cố \( A \) (tổng nhỏ hơn 5): \[ (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1) \] Các kết quả thỏa mãn biến cố \( B \) (số chấm khác nhau): \[ (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5) \] Các kết quả thỏa mãn cả \( A \) và \( B \): \[ (1,2), (1,3), (2,1), (3,1) \] Số kết quả có thể xảy ra là 36, số kết quả thỏa mãn \( AB \) là 4. Do đó: \[ P(AB) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \] b) Tính \( P(A \cup B) \) Biến cố \( A \cup B \) là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố \( A \) hoặc \( B \) xảy ra. Số kết quả thỏa mãn \( A \): \[ 6 \text{ kết quả} \] Số kết quả thỏa mãn \( B \): \[ 30 \text{ kết quả} \] Số kết quả thỏa mãn \( AB \): \[ 4 \text{ kết quả} \] Theo công thức cộng xác suất: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) \] \[ P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \] \[ P(B) = \frac{30}{36} = \frac{5}{6} \] \[ P(AB) = \frac{1}{9} \] Do đó: \[ P(A \cup B) = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} - \frac{1}{9} = \frac{6}{6} - \frac{1}{9} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \] c) Tính \( P(A \overline{B}) \) Biến cố \( \overline{B} \) là biến cố "số chấm xuất hiện trên xúc xắc sau hai lần gieo giống nhau". Số kết quả thỏa mãn \( \overline{B} \): \[ (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) \] \[ 6 \text{ kết quả} \] Số kết quả thỏa mãn \( A \cap \overline{B} \): \[ (1,1) \] \[ 1 \text{ kết quả} \] Do đó: \[ P(A \cap \overline{B}) = \frac{1}{36} \] d) Kiểm tra tính độc lập của biến cố \( A \) và \( B \) Hai biến cố \( A \) và \( B \) độc lập nếu: \[ P(AB) = P(A) \cdot P(B) \] Ta đã tính: \[ P(A) = \frac{1}{6} \] \[ P(B) = \frac{5}{6} \] \[ P(AB) = \frac{1}{9} \] Kiểm tra: \[ P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{36} \neq \frac{1}{9} \] Vậy hai biến cố \( A \) và \( B \) không độc lập với nhau. Đáp án: a) \( P(AB) = \frac{1}{9} \) b) \( P(A \cup B) = \frac{8}{9} \) c) \( P(A \overline{B}) = \frac{1}{36} \) d) Hai biến cố \( A \) và \( B \) không độc lập với nhau. Câu 4. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên các tính chất và phương pháp đã học trong chương trình lớp 11. Mệnh đề a) \( y'(0) = -3 \) Trước tiên, ta tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x + 2}{x - 1} \). Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \left( \frac{x + 2}{x - 1} \right)' = \frac{(x + 2)'(x - 1) - (x + 2)(x - 1)'}{(x - 1)^2} = \frac{1 \cdot (x - 1) - (x + 2) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{x - 1 - x - 2}{(x - 1)^2} = \frac{-3}{(x - 1)^2} \] Bây giờ, ta thay \( x = 0 \) vào đạo hàm vừa tìm được: \[ y'(0) = \frac{-3}{(0 - 1)^2} = \frac{-3}{1} = -3 \] Vậy mệnh đề a) là Đúng. Mệnh đề b) \( y'' = \frac{6}{(x - 1)^3} \) Tiếp theo, ta tính đạo hàm thứ hai của hàm số \( y' = \frac{-3}{(x - 1)^2} \). Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y'' = \left( \frac{-3}{(x - 1)^2} \right)' = \frac{(-3)'(x - 1)^2 - (-3)((x - 1)^2)'}{(x - 1)^4} = \frac{0 \cdot (x - 1)^2 - (-3) \cdot 2(x - 1)}{(x - 1)^4} = \frac{6(x - 1)}{(x - 1)^4} = \frac{6}{(x - 1)^3} \] Vậy mệnh đề b) là Đúng. Mệnh đề c) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ \( x = 0 \) có phương trình \( y = -3x + 2 \) Ta đã biết \( y'(0) = -3 \). Để viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \( x = 0 \), ta cần biết tung độ của điểm đó trên đồ thị. Thay \( x = 0 \) vào hàm số: \[ y(0) = \frac{0 + 2}{0 - 1} = -2 \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm \( (0, -2) \) với hệ số góc \( y'(0) = -3 \) là: \[ y - (-2) = -3(x - 0) \] \[ y + 2 = -3x \] \[ y = -3x - 2 \] Vậy mệnh đề c) là Sai vì phương trình tiếp tuyến đúng là \( y = -3x - 2 \). Mệnh đề d) Nếu \( a \leq -2 \) thì qua điểm \( A(0, a) \) sẽ kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị (C) Để kiểm tra mệnh đề này, ta cần xem xét phương trình tiếp tuyến chung của đồ thị \( y = \frac{x + 2}{x - 1} \) và đường thẳng đi qua điểm \( A(0, a) \). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \( y = \frac{x + 2}{x - 1} \) tại điểm \( (x_0, y_0) \) là: \[ y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) \] Thay \( y_0 = \frac{x_0 + 2}{x_0 - 1} \) và \( y'(x_0) = \frac{-3}{(x_0 - 1)^2} \): \[ y - \frac{x_0 + 2}{x_0 - 1} = \frac{-3}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) \] Điểm \( A(0, a) \) nằm trên tiếp tuyến này, nên thay \( x = 0 \) và \( y = a \): \[ a - \frac{x_0 + 2}{x_0 - 1} = \frac{-3}{(x_0 - 1)^2}(-x_0) \] \[ a - \frac{x_0 + 2}{x_0 - 1} = \frac{3x_0}{(x_0 - 1)^2} \] Nhân cả hai vế với \( (x_0 - 1)^2 \): \[ a(x_0 - 1)^2 - (x_0 + 2)(x_0 - 1) = 3x_0 \] \[ a(x_0^2 - 2x_0 + 1) - (x_0^2 - x_0 + 2x_0 - 2) = 3x_0 \] \[ a(x_0^2 - 2x_0 + 1) - (x_0^2 + x_0 - 2) = 3x_0 \] \[ ax_0^2 - 2ax_0 + a - x_0^2 - x_0 + 2 = 3x_0 \] \[ (a - 1)x_0^2 - (2a + 4)x_0 + (a + 2) = 0 \] Để có hai tiếp tuyến, phương trình bậc hai này phải có hai nghiệm thực khác nhau, tức là: \[ \Delta = (2a + 4)^2 - 4(a - 1)(a + 2) > 0 \] \[ \Delta = 4a^2 + 16a + 16 - 4(a^2 + a - 2) > 0 \] \[ \Delta = 4a^2 + 16a + 16 - 4a^2 - 4a + 8 > 0 \] \[ \Delta = 12a + 24 > 0 \] \[ 12a > -24 \] \[ a > -2 \] Do đó, nếu \( a \leq -2 \), ta không thể kẻ được hai tiếp tuyến từ điểm \( A(0, a) \) đến đồ thị (C). Vậy mệnh đề d) là Sai. Kết luận: - Mệnh đề a) Đúng. - Mệnh đề b) Đúng. - Mệnh đề c) Sai. - Mệnh đề d) Sai. Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit để biến đổi phương trình đã cho và tìm giá trị của biểu thức \( T = a^2b \). Bước 1: Biến đổi phương trình đã cho: \[ \log_3 a^4 + \log_3 \frac{b}{a^2} = 2 \] Áp dụng tính chất logarit \(\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y\) và \(\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b x - \log_b y\): \[ \log_3 a^4 + \log_3 b - \log_3 a^2 = 2 \] Bước 2: Gộp các logarit lại: \[ \log_3 a^4 + \log_3 b - \log_3 a^2 = \log_3 a^4 + \log_3 b - \log_3 a^2 = \log_3 \left( \frac{a^4 \cdot b}{a^2} \right) = \log_3 (a^2 b) \] Do đó, phương trình trở thành: \[ \log_3 (a^2 b) = 2 \] Bước 3: Chuyển về dạng số mũ: \[ a^2 b = 3^2 \] \[ a^2 b = 9 \] Vậy giá trị của biểu thức \( T = a^2 b \) là: \[ T = 9 \] Đáp số: \( T = 9 \). Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định lãi suất và thời gian gửi tiền: - Ngân hàng A trả lãi suất 6,2% một năm. - Ngân hàng B trả lãi suất 2,2% một quý, tương đương 8,8% một năm (vì 1 năm có 4 quý). 2. Áp dụng công thức lãi kép: - Số tiền sau 1 năm ở ngân hàng A: \( T_{A} = A_A (1 + 0,062) \) - Số tiền sau 1 năm ở ngân hàng B: \( T_{B} = A_B (1 + 0,088) \) 3. Tổng số tiền sau 1 năm từ cả hai ngân hàng: - Tổng số tiền sau 1 năm: \( T_{A} + T_{B} = 541,13 \) triệu đồng 4. Biểu diễn tổng số tiền ban đầu: - Tổng số tiền ban đầu: \( A_A + A_B = 500 \) triệu đồng 5. Thay vào công thức lãi kép: - \( A_A (1 + 0,062) + A_B (1 + 0,088) = 541,13 \) - \( A_A \cdot 1,062 + A_B \cdot 1,088 = 541,13 \) 6. Thay \( A_B = 500 - A_A \) vào phương trình: - \( A_A \cdot 1,062 + (500 - A_A) \cdot 1,088 = 541,13 \) - \( A_A \cdot 1,062 + 500 \cdot 1,088 - A_A \cdot 1,088 = 541,13 \) - \( A_A \cdot 1,062 - A_A \cdot 1,088 + 544 = 541,13 \) - \( A_A (1,062 - 1,088) + 544 = 541,13 \) - \( A_A (-0,026) + 544 = 541,13 \) - \( A_A (-0,026) = 541,13 - 544 \) - \( A_A (-0,026) = -2,87 \) - \( A_A = \frac{-2,87}{-0,026} \) - \( A_A = 109,615 \approx 110 \) triệu đồng Vậy ông An cần gửi khoảng 110 triệu đồng vào ngân hàng A để sau 1 năm nhận được số tiền cả vốn và lãi ở cả hai ngân hàng là 541,13 triệu đồng. Câu 3. Để tìm quãng đường ngắn nhất từ một mặt bên của kim tự tháp đến tâm của đáy kim tự tháp, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm chiều cao của kim tự tháp: - Ta biết rằng đáy của kim tự tháp là một hình vuông với cạnh đáy là 262m. - Tâm của đáy kim tự tháp nằm chính giữa hình vuông này, do đó khoảng cách từ tâm đáy đến một đỉnh của đáy là: \[ \frac{262}{2} = 131 \text{ m} \] - Ta cũng biết rằng cạnh bên của kim tự tháp là 230m. Chiều cao của kim tự tháp là khoảng cách từ đỉnh chóp đến tâm đáy. Ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông gồm chiều cao của kim tự tháp, khoảng cách từ tâm đáy đến một đỉnh của đáy và cạnh bên của kim tự tháp: \[ h^2 + 131^2 = 230^2 \] \[ h^2 + 17161 = 52900 \] \[ h^2 = 52900 - 17161 \] \[ h^2 = 35739 \] \[ h = \sqrt{35739} \approx 189 \text{ m} \] 2. Tìm quãng đường ngắn nhất từ một mặt bên đến tâm đáy: - Quãng đường ngắn nhất từ một điểm trên mặt bên đến tâm đáy chính là khoảng cách từ đỉnh chóp đến tâm đáy, tức là chiều cao của kim tự tháp đã tính ở trên. - Do đó, quãng đường ngắn nhất là: \[ 189 \text{ m} \] Vậy, quãng đường ngắn nhất từ một mặt bên của kim tự tháp đến tâm của đáy kim tự tháp là 189 mét.