Giải và tìm ra công thức

Câu 25: Để tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1, -2, 1)$ và $\overrightarrow{b} = (-2, 1, 1)$ trong không gian, ta sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] Trước tiên, ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \cdot (-2) + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 1 = -2 - 2 + 1 = -3 \] Tiếp theo, ta tính độ dài của mỗi vectơ: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \] \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] Bây giờ, ta thay vào công thức để tính $\cos(\theta)$: \[ \cos(\theta) = \frac{-3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \] Từ đây, ta suy ra góc $\theta$: \[ \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ \] Vậy góc giữa $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là $120^\circ$. Đáp án đúng là B. $120^\circ$. Để tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB với A(1, 2, 2) và R(3, 8, 5), ta sử dụng công thức tọa độ trung điểm: \[ I = \left( \frac{x_A + x_R}{2}, \frac{y_A + y_R}{2}, \frac{z_A + z_R}{2} \right) \] Thay tọa độ của A và R vào công thức: \[ I = \left( \frac{1 + 3}{2}, \frac{2 + 8}{2}, \frac{2 + 5}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}, \frac{10}{2}, \frac{7}{2} \right) = (2, 5, 3.5) \] Vậy tọa độ trung điểm I là $(2, 5, 3.5)$.