giải giúp em

Câu 25. Để tìm phương trình mặt cầu có đường kính AB, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ tâm mặt cầu: Tâm mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta tính tọa độ trung điểm của A và B: \[ I\left(\frac{4+0}{2}; \frac{-2-2}{2}; \frac{1-1}{2}\right) = I(2; -2; 0) \] 2. Tính bán kính mặt cầu: Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ tâm đến một trong hai đầu mút của đường kính. Ta tính khoảng cách từ I đến A: \[ IA = \sqrt{(4-2)^2 + (-2+2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5} \] 3. Viết phương trình mặt cầu: Mặt cầu có tâm tại I(2; -2; 0) và bán kính \( \sqrt{5} \) có phương trình: \[ (x-2)^2 + (y+2)^2 + z^2 = 5 \] Do đó, phương trình mặt cầu có đường kính AB là: \[ (x-2)^2 + (y+2)^2 + z^2 = 5 \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~(x-2)^2 + (y+2)^2 + z^2 = 5 \] Câu 26. Phương trình của mặt cầu (S) có tâm là điểm $R(a; b; c)$ và bán kính $R$ là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] Do đó, phương án đúng là: \[ A. (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] Lập luận từng bước: 1. Mặt cầu có tâm $R(a; b; c)$ và bán kính $R$. 2. Phương trình tổng quát của mặt cầu là $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$. 3. So sánh với các phương án đã cho, phương án A đúng. Đáp án: A. $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$. Câu 27. Để tìm tâm của mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-2x+2z-1=0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình mặt cầu dưới dạng chuẩn: Ta cần hoàn thành bình phương để viết lại phương trình mặt cầu dưới dạng chuẩn $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó $(a, b, c)$ là tọa độ tâm và $R$ là bán kính. 2. Hoàn thành bình phương: - Với $x^2 - 2x$, ta thêm và bớt $(\frac{-2}{2})^2 = 1$: \[ x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1 \] - Với $z^2 + 2z$, ta thêm và bớt $(\frac{2}{2})^2 = 1$: \[ z^2 + 2z = (z+1)^2 - 1 \] 3. Thay vào phương trình ban đầu: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 2z - 1 = 0 \] \[ (x-1)^2 - 1 + y^2 + (z+1)^2 - 1 - 1 = 0 \] \[ (x-1)^2 + y^2 + (z+1)^2 - 3 = 0 \] \[ (x-1)^2 + y^2 + (z+1)^2 = 3 \] 4. Nhận diện tâm và bán kính: Phương trình trên có dạng chuẩn $(x-1)^2 + y^2 + (z+1)^2 = 3$. Từ đây, ta thấy tâm của mặt cầu là $(1, 0, -1)$ và bán kính là $\sqrt{3}$. Vậy tâm của mặt cầu $(S)$ có tọa độ là $(1, 0, -1)$. Đáp án đúng là: $B.~(1;0;-1).$ Câu 28. Phương trình mặt cầu có dạng tổng quát là: \[ x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0 \] Để xác định phương trình mặt cầu, ta cần kiểm tra điều kiện \( D^2 + E^2 + F^2 - 4G > 0 \). Ta sẽ kiểm tra từng phương trình đã cho: A. \( x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y + 4z + 3 = 0 \) So sánh với phương trình tổng quát: \[ D = -2, \quad E = -2, \quad F = 4, \quad G = 3 \] Kiểm tra điều kiện: \[ D^2 + E^2 + F^2 - 4G = (-2)^2 + (-2)^2 + 4^2 - 4 \cdot 3 = 4 + 4 + 16 - 12 = 12 > 0 \] Vậy phương trình này là phương trình mặt cầu. B. \( x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 2y + 4z + 9 = 0 \) So sánh với phương trình tổng quát: \[ D = -4, \quad E = -2, \quad F = 4, \quad G = 9 \] Kiểm tra điều kiện: \[ D^2 + E^2 + F^2 - 4G = (-4)^2 + (-2)^2 + 4^2 - 4 \cdot 9 = 16 + 4 + 16 - 36 = 0 \] Vậy phương trình này không phải là phương trình mặt cầu vì điều kiện \( D^2 + E^2 + F^2 - 4G > 0 \) không thoả mãn. C. \( x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 2y + 4z + 9 = 0 \) So sánh với phương trình tổng quát: \[ D = 4, \quad E = -2, \quad F = 4, \quad G = 9 \] Kiểm tra điều kiện: \[ D^2 + E^2 + F^2 - 4G = 4^2 + (-2)^2 + 4^2 - 4 \cdot 9 = 16 + 4 + 16 - 36 = 0 \] Vậy phương trình này không phải là phương trình mặt cầu vì điều kiện \( D^2 + E^2 + F^2 - 4G > 0 \) không thoả mãn. D. \( x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 2y + 4z + 19 = 0 \) So sánh với phương trình tổng quát: \[ D = -6, \quad E = -2, \quad F = 4, \quad G = 19 \] Kiểm tra điều kiện: \[ D^2 + E^2 + F^2 - 4G = (-6)^2 + (-2)^2 + 4^2 - 4 \cdot 19 = 36 + 4 + 16 - 76 = -20 < 0 \] Vậy phương trình này không phải là phương trình mặt cầu vì điều kiện \( D^2 + E^2 + F^2 - 4G > 0 \) không thoả mãn. Kết luận: Phương trình \( A.~x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y + 4z + 3 = 0 \) là phương trình mặt cầu. Câu 29. Phương trình mặt cầu tâm \( I(0; -3; 1) \) và bán kính \( R = 2 \) có dạng: \[ (x - x_I)^2 + (y - y_I)^2 + (z - z_I)^2 = R^2 \] Thay tọa độ tâm \( I(0; -3; 1) \) và bán kính \( R = 2 \) vào phương trình trên, ta có: \[ (x - 0)^2 + (y - (-3))^2 + (z - 1)^2 = 2^2 \] \[ x^2 + (y + 3)^2 + (z - 1)^2 = 4 \] Vậy phương trình mặt cầu là: \[ x^2 + (y + 3)^2 + (z - 1)^2 = 4 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~x^2 + (y + 3)^2 + (z - 1)^2 = 4 \] Câu 30. Phương trình $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có thể được viết lại dưới dạng: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - d \] Để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu, bán kính của mặt cầu phải lớn hơn 0. Do đó, ta cần: \[ a^2 + b^2 + c^2 - d > 0 \] Vậy phương trình $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi: \[ a^2 + b^2 + c^2 - d > 0 \] Đáp án đúng là: A. $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$. Câu 31. Để tìm toạ độ tâm và bán kính của mặt cầu, ta thực hiện phương pháp hoàn chỉnh bình phương. Mặt cầu có phương trình: \[ x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z - 11 = 0 \] Ta nhóm các hạng tử liên quan đến mỗi biến lại và hoàn chỉnh bình phương: 1. Với \(x\): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \] 2. Với \(y\): \[ y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4 \] 3. Với \(z\): \[ z^2 - 6z = (z - 3)^2 - 9 \] Thay vào phương trình ban đầu: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (z - 3)^2 - 9 - 11 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 - 25 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 25 \] Từ đây, ta nhận thấy phương trình trên có dạng chuẩn của mặt cầu: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] Trong đó, tâm của mặt cầu là \(I(a, b, c)\) và bán kính là \(R\). So sánh với phương trình chuẩn, ta có: \[ a = 1, \quad b = -2, \quad c = 3, \quad R^2 = 25 \] Do đó, bán kính \(R\) là: \[ R = \sqrt{25} = 5 \] Vậy toạ độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu là: \[ I(1, -2, 3), \quad R = 5 \] Đáp án đúng là: \[ A.~I(1, -2, 3),~R = 5 \] Câu 32. Để kiểm tra xem một điểm có thuộc mặt cầu hay không, ta cần kiểm tra xem khoảng cách từ điểm đó đến tâm mặt cầu có bằng bán kính của mặt cầu hay không. Mặt cầu có tâm \( I(-2;1;5) \) và bán kính \( R = 3 \). Ta sẽ tính khoảng cách từ mỗi điểm đến tâm \( I \): 1. Kiểm tra điểm \( C(0;3;4) \): \[ d(C, I) = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (3 - 1)^2 + (4 - 5)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \] Khoảng cách từ \( C \) đến \( I \) bằng 3, nên điểm \( C \) thuộc mặt cầu. 2. Kiểm tra điểm \( A(10;1;2) \): \[ d(A, I) = \sqrt{(10 - (-2))^2 + (1 - 1)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{12^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{144 + 0 + 9} = \sqrt{153} \neq 3 \] Khoảng cách từ \( A \) đến \( I \) không bằng 3, nên điểm \( A \) không thuộc mặt cầu. 3. Kiểm tra điểm \( B(0;1;4) \): \[ d(B, I) = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (1 - 1)^2 + (4 - 5)^2} = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5} \neq 3 \] Khoảng cách từ \( B \) đến \( I \) không bằng 3, nên điểm \( B \) không thuộc mặt cầu. 4. Kiểm tra điểm \( D(0;2;1) \): \[ d(D, I) = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (2 - 1)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 1 + 16} = \sqrt{21} \neq 3 \] Khoảng cách từ \( D \) đến \( I \) không bằng 3, nên điểm \( D \) không thuộc mặt cầu. Vậy, trong các điểm đã cho, chỉ có điểm \( C(0;3;4) \) thuộc mặt cầu. Đáp án: \( C.~C(0;3;4) \).