cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đuong tròn ̣̣̣̣̣̣̣̣̣̣̣̣̣̣̣O có AB<AC .kẻ các đường cao AH,BK và đường kính AA'.Gọi I là trung điểm BC,kẻ CF vuông góc với AA' tại F a,chứn...

a) Ta có: - $\angle BAH = 90^\circ - \angle C$ - $\angle KBH = 90^\circ - \angle C$ (vì $\angle BKC = 90^\circ)$ Do đó, $\angle BAH = \angle KBH$. Vậy tứ giác $ABHK$ nội tiếp. b) Ta có: - $\angle BAH = \angle BAA'$ (cùng bằng $90^\circ - \angle C)$ - $\angle AHB = \angle AA'B = 90^\circ$ Do đó, $\triangle AHB \sim \triangle AA'B$ (g.g). Từ đó ta có: \[ \frac{AB}{AH} = \frac{AA'}{AB} \] \[ \Rightarrow AB \cdot AB = AH \cdot AA' \] \[ \Rightarrow AB \cdot AC = AH \cdot AA' \] Tiếp theo, ta chứng minh tam giác $HIF$ cân tại $I$: - Ta có $\angle HIA = \angle HFA = 90^\circ$, do đó tứ giác $AHIF$ nội tiếp. - Do đó, $\angle HIF = \angle HAF$. Ta cũng có: - $\angle HAF = \angle HCF$ (cùng bằng $90^\circ - \angle C)$ - $\angle HCF = \angle HBF$ (cùng bằng $90^\circ - \angle C)$ - $\angle HBF = \angle HIF$ (tứ giác $AHIF$ nội tiếp) Vậy $\angle HIF = \angle HFI$, do đó tam giác $HIF$ cân tại $I$.