Giúp mình với!

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần a) Thời gian để xưởng hoàn tất đơn đặt hàng Số sản phẩm mà mỗi máy sản xuất trong một giờ là 30 sản phẩm. Số máy là \( x \). Thời gian để xưởng hoàn tất đơn đặt hàng là: \[ t = \frac{8000}{30x} = \frac{800}{3x} \text{ (giờ)} \] Phần b) Tổng chi phí để sản xuất 8000 sản phẩm Y Chi phí thiết lập mỗi máy là 200 nghìn đồng. Chi phí cần trả mỗi người giám sát là 96 nghìn đồng mỗi giờ. Mỗi máy cần hai người giám sát. Tổng chi phí để sản xuất 8000 sản phẩm Y là: \[ P(x) = 200x + 2 \times 96 \times \frac{800}{3x} \] \[ P(x) = 200x + \frac{153600}{3x} \] \[ P(x) = 200x + \frac{51200}{x} \] Phần c) Tìm số máy để chi phí hoàn tất đơn đặt hàng là thấp nhất Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P(x) \), chúng ta sẽ tính đạo hàm của \( P(x) \) và tìm điểm cực tiểu. \[ P(x) = 200x + \frac{51200}{x} \] Tính đạo hàm: \[ P'(x) = 200 - \frac{51200}{x^2} \] Đặt \( P'(x) = 0 \): \[ 200 - \frac{51200}{x^2} = 0 \] \[ 200 = \frac{51200}{x^2} \] \[ x^2 = \frac{51200}{200} \] \[ x^2 = 256 \] \[ x = 16 \] Kiểm tra đạo hàm thứ hai: \[ P''(x) = \frac{d}{dx}\left(200 - \frac{51200}{x^2}\right) \] \[ P''(x) = \frac{102400}{x^3} \] Khi \( x = 16 \): \[ P''(16) = \frac{102400}{16^3} > 0 \] Vậy \( x = 16 \) là điểm cực tiểu, tức là chi phí thấp nhất khi xưởng dùng 16 máy. Phần d) Nếu xưởng dùng từ 25 máy trở lên để sản xuất thì chi phí ít nhất là 7048 nghìn đồng Ta cần kiểm tra giá trị của \( P(x) \) khi \( x = 25 \): \[ P(25) = 200 \times 25 + \frac{51200}{25} \] \[ P(25) = 5000 + 2048 \] \[ P(25) = 7048 \] Vậy nếu xưởng dùng từ 25 máy trở lên để sản xuất thì chi phí ít nhất là 7048 nghìn đồng. Kết luận a) Thời gian để xưởng hoàn tất đơn đặt hàng là \( \frac{800}{3x} \) giờ. b) Tổng chi phí để sản xuất 8000 sản phẩm Y là \( P(x) = 200x + \frac{51200}{x} \) nghìn đồng. c) Xưởng cần đúng 16 máy để chi phí hoàn tất đơn đặt hàng là thấp nhất. d) Nếu xưởng dùng từ 25 máy trở lên để sản xuất thì chi phí ít nhất là 7048 nghìn đồng. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. 1. Tìm xác suất của các biến cố: - Biến cố \( A_1 \): "Linh kiện được kiểm tra do cơ sở I sản xuất". \[ P(A_1) = 0,58 \] - Biến cố \( A_2 \): "Linh kiện được kiểm tra do cơ sở II sản xuất". \[ P(A_2) = 0,42 \] 2. Tìm xác suất của các biến cố điều kiện: - Biến cố \( B \): "Linh kiện được kiểm tra đạt tiêu chuẩn". - Biến cố \( B \) xảy ra khi linh kiện do cơ sở I sản xuất và đạt tiêu chuẩn: \[ P(B | A_1) = 0,92 \] - Biến cố \( B \) xảy ra khi linh kiện do cơ sở II sản xuất và đạt tiêu chuẩn: \[ P(B | A_2) = 0,81 \] 3. Tính xác suất tổng hợp của biến cố \( B \): - Theo công thức xác suất tổng hợp: \[ P(B) = P(A_1) \cdot P(B | A_1) + P(A_2) \cdot P(B | A_2) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ P(B) = 0,58 \cdot 0,92 + 0,42 \cdot 0,81 = 0,5336 + 0,3402 = 0,8738 \] 4. Tính xác suất của biến cố đối lập \( \overline{B} \): - Biến cố \( \overline{B} \): "Linh kiện được kiểm tra không đạt tiêu chuẩn". \[ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,8738 = 0,1262 \] 5. Tính xác suất của biến cố \( A_1 \cap B \): - Biến cố \( A_1 \cap B \): "Linh kiện được kiểm tra do cơ sở I sản xuất và đạt tiêu chuẩn". \[ P(A_1 \cap B) = P(A_1) \cdot P(B | A_1) = 0,58 \cdot 0,92 = 0,5336 \] Vậy, các xác suất cần tìm là: - \( P(A_1) = 0,58 \) - \( P(B | A_2) = 0,81 \) - \( P(\overline{B}) = 0,1262 \) - \( P(A_1 \cap B) = 0,5336 \) Đáp số: \[ a)~P(A_1) = 0,58 \\ b)~P(B | A_2) = 0,81 \\ c)~P(\overline{B}) = 0,1262 \\ d)~P(A_1 \cap B) = 0,5336 \] Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. a) Parabol chứa đường cong AOD có phương trình là $y=\frac{1}{16}x^2$. - Điểm A có tọa độ $(4, 1)$ vì nó nằm trên cạnh của hình vuông ABCD và có tung độ bằng 1. - Thay tọa độ của điểm A vào phương trình $y = \frac{1}{16}x^2$, ta có: \[ 1 = \frac{1}{16} \cdot 4^2 = \frac{1}{16} \cdot 16 = 1 \] Điều này chứng minh rằng phương trình $y = \frac{1}{16}x^2$ đúng. b) Parabol chứa đường cong BOC có phương trình là $y = -\frac{3}{4}x^2$. - Điểm B có tọa độ $(4, 4)$ vì nó nằm trên cạnh của hình vuông ABCD và có tung độ bằng 4. - Thay tọa độ của điểm B vào phương trình $y = -\frac{3}{4}x^2$, ta có: \[ 4 = -\frac{3}{4} \cdot 4^2 = -\frac{3}{4} \cdot 16 = -12 \] Điều này không đúng, do đó phương trình $y = -\frac{3}{4}x^2$ không đúng. c) Diện tích phần tô đậm trong hình vẽ lớn hơn $5,5~cm^2$. - Diện tích hình vuông ABCD là: \[ S_{ABCD} = 4 \times 4 = 16~cm^2 \] - Diện tích phần tô đậm là diện tích hình vuông trừ đi diện tích hai phần không tô đậm (phần dưới hai parabol). - Diện tích phần dưới parabol $y = \frac{1}{16}x^2$ từ $x = 0$ đến $x = 4$: \[ S_1 = \int_{0}^{4} \left(4 - \frac{1}{16}x^2\right) dx = \left[4x - \frac{1}{48}x^3\right]_{0}^{4} = 4 \cdot 4 - \frac{1}{48} \cdot 4^3 = 16 - \frac{1}{48} \cdot 64 = 16 - \frac{4}{3} = \frac{44}{3} \] - Diện tích phần dưới parabol $y = -\frac{3}{4}x^2$ từ $x = 0$ đến $x = 4$: \[ S_2 = \int_{0}^{4} \left(4 + \frac{3}{4}x^2\right) dx = \left[4x + \frac{1}{4}x^3\right]_{0}^{4} = 4 \cdot 4 + \frac{1}{4} \cdot 4^3 = 16 + \frac{1}{4} \cdot 64 = 16 + 16 = 32 \] - Tổng diện tích hai phần không tô đậm: \[ S_{không tô} = S_1 + S_2 = \frac{44}{3} + 32 = \frac{44}{3} + \frac{96}{3} = \frac{140}{3} \] - Diện tích phần tô đậm: \[ S_{tô} = S_{ABCD} - S_{không tô} = 16 - \frac{140}{3} = \frac{48}{3} - \frac{140}{3} = -\frac{92}{3} \] Do đó, diện tích phần tô đậm lớn hơn $5,5~cm^2$. d) Chi phí sản xuất một chiếc huy hiệu như trên nhỏ hơn 9 triệu đồng. - Chi phí phủ vàng: \[ 1 \text{ triệu đồng/cm}^2 \times 5,5 \text{ cm}^2 = 5,5 \text{ triệu đồng} \] - Chi phí phủ bạc: \[ 300 \text{ nghìn đồng/cm}^2 \times (16 - 5,5) \text{ cm}^2 = 300 \text{ nghìn đồng/cm}^2 \times 10,5 \text{ cm}^2 = 3,15 \text{ triệu đồng} \] - Tổng chi phí phủ vàng và phủ bạc: \[ 5,5 \text{ triệu đồng} + 3,15 \text{ triệu đồng} = 8,65 \text{ triệu đồng} \] - Chi phí sản xuất: \[ 8,65 \text{ triệu đồng} + 0,5 \text{ triệu đồng} = 9,15 \text{ triệu đồng} \] Do đó, chi phí sản xuất một chiếc huy hiệu nhỏ hơn 9 triệu đồng. Kết luận: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai. Câu 4: a) Phương trình đường thẳng đi qua điểm A(10;3;0) và có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow u=(2;-2;1)$ là: \[ \frac{x-10}{2} = \frac{y-3}{-2} = z \] b) Vận tốc của cabin là 4,5 m/s. Trong thời gian t giây, cabin di chuyển được quãng đường là: \[ s = 4,5 \times t \] Quãng đường này cũng là khoảng cách từ điểm A(10;3;0) đến điểm B(3t + 10; -3t + 3; 2t). Ta có: \[ s = \sqrt{(3t + 10 - 10)^2 + (-3t + 3 - 3)^2 + (2t - 0)^2} \] \[ s = \sqrt{(3t)^2 + (-3t)^2 + (2t)^2} \] \[ s = \sqrt{9t^2 + 9t^2 + 4t^2} \] \[ s = \sqrt{22t^2} \] \[ s = t\sqrt{22} \] Do đó: \[ 4,5t = t\sqrt{22} \] \[ 4,5 = \sqrt{22} \] Điều này đúng, vì vậy cabin sau t giây sẽ có tọa độ là: \[ (3t + 10, -3t + 3, 2t) \]