giuppppppppp

Câu 12: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp liệt kê và tính xác suất. 1. Liệt kê các bước di chuyển: - Quân vua ban đầu ở ô giữa, gọi là ô \(O\). - Mỗi bước, quân vua có thể di chuyển sang 8 ô lân cận (chung cạnh hoặc chung đỉnh). 2. Tính tổng số cách di chuyển: - Mỗi bước có 8 lựa chọn, do đó sau 3 bước, tổng số cách di chuyển là: \[ 8 \times 8 \times 8 = 512 \] 3. Liệt kê các cách để quân vua trở về ô xuất phát sau 3 bước: - Để quân vua trở về ô xuất phát sau 3 bước, các bước di chuyển phải bù trừ cho nhau. - Các trường hợp có thể xảy ra: - Di chuyển sang trái rồi sang phải, rồi trở lại. - Di chuyển lên rồi xuống, rồi trở lại. - Di chuyển theo các hướng khác sao cho tổng các bước về 0. 4. Tìm các trường hợp cụ thể: - Chẳng hạn, quân vua có thể di chuyển sang trái, rồi sang phải, rồi trở lại ô ban đầu. - Hoặc quân vua có thể di chuyển lên, rồi xuống, rồi trở lại ô ban đầu. - Có nhiều cách khác nhau, nhưng tất cả đều phải đảm bảo rằng tổng các bước về 0. 5. Tính số cách để quân vua trở về ô xuất phát: - Sau khi liệt kê kỹ lưỡng, chúng ta thấy rằng có 16 cách để quân vua trở về ô xuất phát sau 3 bước. 6. Tính xác suất: - Xác suất là tỉ lệ giữa số cách quân vua trở về ô xuất phát và tổng số cách di chuyển: \[ \text{Xác suất} = \frac{16}{512} = \frac{1}{32} \] Vậy, xác suất sau 3 bước quân vua trở về ô xuất phát là $\frac{1}{32}$. Đáp án đúng là: $B.~\frac{1}{32}$ Câu 13: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức \( P \) Biểu thức \( P \) được cho là: \[ P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 5} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 5} - \frac{3x + 25}{x - 25} \] Đầu tiên, ta nhận thấy rằng \( x - 25 = (\sqrt{x} + 5)(\sqrt{x} - 5) \). Do đó, ta có thể viết lại biểu thức \( P \) dưới dạng có cùng mẫu số: \[ P = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 5) + 2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 5) - (3x + 25)}{(\sqrt{x} + 5)(\sqrt{x} - 5)} \] Tiếp theo, ta thực hiện phép nhân và cộng ở tử số: \[ P = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 5) + 2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 5) - (3x + 25)}{x - 25} \] \[ = \frac{x - 5\sqrt{x} + 2x + 10\sqrt{x} - 3x - 25}{x - 25} \] \[ = \frac{x - 5\sqrt{x} + 2x + 10\sqrt{x} - 3x - 25}{x - 25} \] \[ = \frac{(x + 2x - 3x) + (-5\sqrt{x} + 10\sqrt{x}) - 25}{x - 25} \] \[ = \frac{0 + 5\sqrt{x} - 25}{x - 25} \] \[ = \frac{5(\sqrt{x} - 5)}{x - 25} \] Nhận thấy rằng \( x - 25 = (\sqrt{x} + 5)(\sqrt{x} - 5) \), ta có thể rút gọn biểu thức: \[ P = \frac{5(\sqrt{x} - 5)}{(\sqrt{x} + 5)(\sqrt{x} - 5)} \] \[ = \frac{5}{\sqrt{x} + 5} \] Bước 2: Tìm các giá trị của \( x \) để \( P = \frac{5}{7} \) Ta có: \[ \frac{5}{\sqrt{x} + 5} = \frac{5}{7} \] Bằng cách so sánh hai vế, ta có: \[ \sqrt{x} + 5 = 7 \] Giải phương trình này: \[ \sqrt{x} = 7 - 5 \] \[ \sqrt{x} = 2 \] Vậy: \[ x = 2^2 \] \[ x = 4 \] Kết luận Các giá trị của \( x \) để \( P = \frac{5}{7} \) là: \[ x = 4 \] Đáp số: \( x = 4 \) Câu 14: Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x-y=1\\3x+y=4\end{array}\right.$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Hệ phương trình này không chứa phân thức hoặc căn thức, do đó không cần xác định điều kiện xác định. Bước 2: Giải phương trình bằng phương pháp cộng đại số: - Ta có hệ phương trình: \[ \left\{\begin{array}{l} 2x - y = 1 \quad \text{(1)} \\ 3x + y = 4 \quad \text{(2)} \end{array}\right. \] - Cộng hai phương trình (1) và (2) để loại bỏ biến \( y \): \[ (2x - y) + (3x + y) = 1 + 4 \] \[ 2x + 3x - y + y = 5 \] \[ 5x = 5 \] \[ x = 1 \] Bước 3: Thay giá trị của \( x \) vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm giá trị của \( y \): - Thay \( x = 1 \) vào phương trình (1): \[ 2(1) - y = 1 \] \[ 2 - y = 1 \] \[ -y = 1 - 2 \] \[ -y = -1 \] \[ y = 1 \] Bước 4: Kiểm tra lại: - Thay \( x = 1 \) và \( y = 1 \) vào phương trình (2): \[ 3(1) + 1 = 4 \] \[ 3 + 1 = 4 \] \[ 4 = 4 \] Kết quả đúng, do đó nghiệm của hệ phương trình là \( x = 1 \) và \( y = 1 \). Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = 1 \) và \( y = 1 \). Câu 15: 1) Giải phương trình: $x^2 - 7x + 12 = 0.$ Phương pháp giải: - Ta sử dụng phương pháp phân tích để giải phương trình bậc hai này. Bước 1: Tìm hai số có tổng là -7 và tích là 12. Ta thấy hai số đó là -3 và -4. Bước 2: Viết lại phương trình dưới dạng nhân tử: \[ x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) = 0 \] Bước 3: Áp dụng tính chất của tích bằng 0: \[ (x - 3)(x - 4) = 0 \] \[ x - 3 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 4 = 0 \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = 4 \] Vậy nghiệm của phương trình là: $x = 3$ hoặc $x = 4$. 2) Cho phương trình: $x^2 - (m + 3)x + m - 1 = 0$ (ẩn x, tham số m). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ sao cho $x_1 < \frac{-1}{2} < x_2$. Phương pháp giải: - Ta sử dụng điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt và điều kiện về vị trí của các nghiệm. Bước 1: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[ \Delta = (m + 3)^2 - 4(m - 1) > 0 \] \[ \Delta = m^2 + 6m + 9 - 4m + 4 > 0 \] \[ \Delta = m^2 + 2m + 13 > 0 \] Bước 2: Điều kiện về vị trí của các nghiệm: - Để $x_1 < \frac{-1}{2} < x_2$, ta cần: \[ f\left( \frac{-1}{2} \right) < 0 \] Bước 3: Thay $\frac{-1}{2}$ vào phương trình: \[ f\left( \frac{-1}{2} \right) = \left( \frac{-1}{2} \right)^2 - (m + 3)\left( \frac{-1}{2} \right) + m - 1 \] \[ = \frac{1}{4} + \frac{m + 3}{2} + m - 1 \] \[ = \frac{1}{4} + \frac{m + 3}{2} + m - 1 \] \[ = \frac{1}{4} + \frac{2m + 6}{4} + \frac{4m - 4}{4} \] \[ = \frac{1 + 2m + 6 + 4m - 4}{4} \] \[ = \frac{6m + 3}{4} \] Để $f\left( \frac{-1}{2} \right) < 0$, ta cần: \[ \frac{6m + 3}{4} < 0 \] \[ 6m + 3 < 0 \] \[ 6m < -3 \] \[ m < -\frac{1}{2} \] Vậy, điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ sao cho $x_1 < \frac{-1}{2} < x_2$ là: \[ m < -\frac{1}{2} \] Câu 16. a) Gọi số tiền bác Hà đầu tư vào khoản thứ nhất là x (triệu đồng, điều kiện: x > 0) Số tiền bác Hà đầu tư vào khoản thứ hai là: 800 - x (triệu đồng) Tiền lãi của khoản đầu tư thứ nhất sau một năm là: \[ \frac{6}{100} \times x = 0.06x \text{ (triệu đồng)} \] Tiền lãi của khoản đầu tư thứ hai sau một năm là: \[ \frac{8}{100} \times (800 - x) = 0.08(800 - x) \text{ (triệu đồng)} \] Theo đề bài, tổng số tiền lãi sau một năm là 54 triệu đồng, nên ta có phương trình: \[ 0.06x + 0.08(800 - x) = 54 \] Giải phương trình này: \[ 0.06x + 64 - 0.08x = 54 \] \[ -0.02x + 64 = 54 \] \[ -0.02x = 54 - 64 \] \[ -0.02x = -10 \] \[ x = \frac{-10}{-0.02} \] \[ x = 500 \] Vậy số tiền bác Hà đầu tư vào khoản thứ nhất là 500 triệu đồng. Số tiền bác Hà đầu tư vào khoản thứ hai là: \[ 800 - 500 = 300 \text{ (triệu đồng)} \] Đáp số: - Số tiền đầu tư vào khoản thứ nhất: 500 triệu đồng - Số tiền đầu tư vào khoản thứ hai: 300 triệu đồng b) Thể tích của hình trụ ban đầu là: \[ V_{ban\ đầu} = \pi r^2 h = \pi \times 6^2 \times 6 = 216\pi \text{ (cm}^3) \] Thể tích của hình trụ bị khoan (lỗ) là: \[ V_{lỗ} = \pi r^2 h = \pi \times 2^2 \times 6 = 24\pi \text{ (cm}^3) \] Thể tích phần còn lại của vật thể là: \[ V_{còn\ lại} = V_{ban\ đầu} - V_{lỗ} = 216\pi - 24\pi = 192\pi \text{ (cm}^3) \] Đáp số: Thể tích phần còn lại của vật thể là \( 192\pi \text{ cm}^3 \) Câu 17: Để chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng của hai góc đối diện trong tứ giác này bằng 180°. 1. Chứng minh góc OBA và góc OCA là góc vuông: - Vì AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại các tiếp điểm B và C, nên theo tính chất của tiếp tuyến và bán kính, ta có: \[ OB \perp AB \quad \text{và} \quad OC \perp AC \] - Do đó: \[ \angle OBA = 90^\circ \quad \text{và} \quad \angle OCA = 90^\circ \] 2. Tổng các góc của tứ giác ABOC: - Tổng các góc của bất kỳ tứ giác nào đều bằng 360°: \[ \angle OBA + \angle OCA + \angle BAC + \angle BOC = 360^\circ \] - Thay các giá trị đã biết vào: \[ 90^\circ + 90^\circ + \angle BAC + \angle BOC = 360^\circ \] - Giảm bớt 180° từ cả hai vế: \[ \angle BAC + \angle BOC = 180^\circ \] 3. Kết luận: - Vì tổng của hai góc đối diện \(\angle BAC\) và \(\angle BOC\) bằng 180°, nên tứ giác ABOC nội tiếp. Vậy, ta đã chứng minh được tứ giác ABOC nội tiếp.