Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C=\frac{x^2}{x^2-5x+7}$ và $D=\frac{2x+1}{x^2+2}$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và tìm giá trị cực đại/cực tiểu của các biểu thức này. Biểu thức $C = \frac{x^2}{x^2 - 5x + 7}$ 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): Biểu thức $\frac{x^2}{x^2 - 5x + 7}$ có mẫu số là $x^2 - 5x + 7$. Ta cần kiểm tra xem mẫu số này có thể bằng 0 hay không. \[ x^2 - 5x + 7 = 0 \] Ta tính $\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3 < 0$ Vì $\Delta < 0$, nên phương trình $x^2 - 5x + 7 = 0$ vô nghiệm, tức là mẫu số luôn khác 0. Do đó, ĐKXĐ là $x \in \mathbb{R}$. 2. Biến đổi biểu thức: \[ C = \frac{x^2}{x^2 - 5x + 7} \] Ta thấy rằng $x^2 - 5x + 7$ luôn dương vì $\Delta < 0$. Do đó, biểu thức $C$ luôn dương. 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: Ta xét giới hạn của $C$ khi $x \to \pm \infty$: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2}{x^2 - 5x + 7} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{1 - \frac{5}{x} + \frac{7}{x^2}} = 1 \] Do đó, giá trị lớn nhất của $C$ là 1, đạt được khi $x \to \pm \infty$. Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta xét đạo hàm của $C$: \[ C' = \frac{(x^2)'(x^2 - 5x + 7) - x^2(x^2 - 5x + 7)'}{(x^2 - 5x + 7)^2} = \frac{2x(x^2 - 5x + 7) - x^2(2x - 5)}{(x^2 - 5x + 7)^2} \] \[ C' = \frac{2x^3 - 10x^2 + 14x - 2x^3 + 5x^2}{(x^2 - 5x + 7)^2} = \frac{-5x^2 + 14x}{(x^2 - 5x + 7)^2} \] Đặt $C' = 0$: \[ -5x^2 + 14x = 0 \implies x(-5x + 14) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = \frac{14}{5} \] Ta thay các giá trị này vào biểu thức $C$: \[ C(0) = \frac{0^2}{0^2 - 5 \cdot 0 + 7} = 0 \] \[ C\left(\frac{14}{5}\right) = \frac{\left(\frac{14}{5}\right)^2}{\left(\frac{14}{5}\right)^2 - 5 \cdot \frac{14}{5} + 7} = \frac{\frac{196}{25}}{\frac{196}{25} - 14 + 7} = \frac{\frac{196}{25}}{\frac{196}{25} - \frac{175}{25}} = \frac{\frac{196}{25}}{\frac{21}{25}} = \frac{196}{21} = \frac{28}{3} \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của $C$ là 0, đạt được khi $x = 0$. Biểu thức $D = \frac{2x + 1}{x^2 + 2}$ 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): Biểu thức $\frac{2x + 1}{x^2 + 2}$ có mẫu số là $x^2 + 2$. Ta cần kiểm tra xem mẫu số này có thể bằng 0 hay không. \[ x^2 + 2 = 0 \implies x^2 = -2 \] Vì $x^2$ luôn dương, nên phương trình này vô nghiệm. Do đó, ĐKXĐ là $x \in \mathbb{R}$. 2. Biến đổi biểu thức: \[ D = \frac{2x + 1}{x^2 + 2} \] 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: Ta xét giới hạn của $D$ khi $x \to \pm \infty$: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x + 1}{x^2 + 2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^2}} = 0 \] Do đó, giá trị lớn nhất của $D$ là 0, đạt được khi $x \to \pm \infty$. Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta xét đạo hàm của $D$: \[ D' = \frac{(2x + 1)'(x^2 + 2) - (2x + 1)(x^2 + 2)'}{(x^2 + 2)^2} = \frac{2(x^2 + 2) - (2x + 1)(2x)}{(x^2 + 2)^2} \] \[ D' = \frac{2x^2 + 4 - 4x^2 - 2x}{(x^2 + 2)^2} = \frac{-2x^2 - 2x + 4}{(x^2 + 2)^2} \] Đặt $D' = 0$: \[ -2x^2 - 2x + 4 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies (x + 2)(x - 1) = 0 \implies x = -2 \text{ hoặc } x = 1 \] Ta thay các giá trị này vào biểu thức $D$: \[ D(-2) = \frac{2(-2) + 1}{(-2)^2 + 2} = \frac{-4 + 1}{4 + 2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \] \[ D(1) = \frac{2(1) + 1}{1^2 + 2} = \frac{2 + 1}{1 + 2} = \frac{3}{3} = 1 \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của $D$ là $-\frac{1}{2}$, đạt được khi $x = -2$. Kết luận: - Giá trị lớn nhất của $C$ là 1, đạt được khi $x \to \pm \infty$. - Giá trị nhỏ nhất của $C$ là 0, đạt được khi $x = 0$. - Giá trị lớn nhất của $D$ là 1, đạt được khi $x = 1$. - Giá trị nhỏ nhất của $D$ là $-\frac{1}{2}$, đạt được khi $x = -2$.