Giải hộ e với ạ

Câu 1. Để tính giá trị của góc \(a\) giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((ABC)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm chiều cao hạ từ đỉnh \(S\) xuống đáy \((ABC)\): - Thể tích của hình chóp \(S.ABC\) là \(20a^3\). - Diện tích đáy \((ABC)\) là \(10a^2\). Ta có công thức tính thể tích hình chóp: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ 20a^3 = \frac{1}{3} \times 10a^2 \times h \] Giải phương trình này để tìm \(h\): \[ 20a^3 = \frac{10a^2 \times h}{3} \] \[ 60a^3 = 10a^2 \times h \] \[ h = \frac{60a^3}{10a^2} = 6a \] 2. Tính giá trị của góc \(a\) giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((ABC)\): - Chiều cao hạ từ đỉnh \(S\) xuống đáy \((ABC)\) là \(6a\). - Độ dài đoạn thẳng \(SC\) là \(12a\). Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((ABC)\) là góc giữa \(SC\) và hình chiếu của nó trên mặt phẳng \((ABC)\). Ta có: \[ \sin(a^\circ) = \frac{\text{Chiều cao}}{\text{Độ dài đoạn thẳng}} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \sin(a^\circ) = \frac{6a}{12a} = \frac{1}{2} \] 3. Xác định giá trị của góc \(a\): \[ \sin(a^\circ) = \frac{1}{2} \] Góc \(a\) có thể là \(30^\circ\) hoặc \(150^\circ\). Tuy nhiên, trong ngữ cảnh của hình chóp và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc \(a\) thường là góc nhọn, do đó: \[ a = 30^\circ \] Đáp số: \(a = 30^\circ\) Câu 2. Để tìm số cạm bẫy ít nhất mà người chơi cần vượt qua khi về đích, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng đoạn đường từ điểm A đến điểm F và đếm số cạm bẫy trên mỗi đoạn. 1. Từ điểm A đến điểm B: - Số cạm bẫy: 1 2. Từ điểm B đến điểm C: - Số cạm bẫy: 2 3. Từ điểm C đến điểm D: - Số cạm bẫy: 1 4. Từ điểm D đến điểm E: - Số cạm bẫy: 2 5. Từ điểm E đến điểm F: - Số cạm bẫy: 1 Bây giờ, chúng ta cộng tổng số cạm bẫy trên tất cả các đoạn đường: \[ 1 + 2 + 1 + 2 + 1 = 7 \] Vậy, số cạm bẫy ít nhất mà người chơi cần vượt qua khi về đích là 7. Đáp số: 7 Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm \( M \) trên đường thẳng \( (\Delta) \): Đường thẳng \( (\Delta) \) có phương trình tham số: \[ \frac{x + 2}{1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z + 5}{-2} = t \] Từ đây, ta có: \[ x = t - 2, \quad y = 3t + 1, \quad z = -2t - 5 \] Vậy tọa độ điểm \( M \) là \( M(t - 2, 3t + 1, -2t - 5) \). 2. Tính diện tích tam giác \( \Delta MAB \): Diện tích tam giác \( \Delta MAB \) được tính bằng công thức: \[ S_{\Delta MAB} = \frac{1}{2} \| \overrightarrow{MA} \times \overrightarrow{MB} \| \] Trong đó, \( \overrightarrow{MA} \) và \( \overrightarrow{MB} \) là các vectơ từ \( M \) đến \( A \) và \( B \) tương ứng. Tọa độ của \( \overrightarrow{MA} \): \[ \overrightarrow{MA} = (-2 - (t - 2), 1 - (3t + 1), 1 - (-2t - 5)) = (-t, -3t, 2t + 6) \] Tọa độ của \( \overrightarrow{MB} \): \[ \overrightarrow{MB} = (-3 - (t - 2), -1 - (3t + 1), 2 - (-2t - 5)) = (-t - 1, -3t - 2, 2t + 7) \] Tích vector \( \overrightarrow{MA} \times \overrightarrow{MB} \): \[ \overrightarrow{MA} \times \overrightarrow{MB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -t & -3t & 2t + 6 \\ -t - 1 & -3t - 2 & 2t + 7 \end{vmatrix} \] \[ = \mathbf{i}((-3t)(2t + 7) - (-3t - 2)(2t + 6)) - \mathbf{j}((-t)(2t + 7) - (-t - 1)(2t + 6)) + \mathbf{k}((-t)(-3t - 2) - (-3t)(-t - 1)) \] \[ = \mathbf{i}(-6t^2 - 21t + 6t^2 + 18t + 4t + 12) - \mathbf{j}(-2t^2 - 7t + 2t^2 + 6t + 2t + 6) + \mathbf{k}(3t^2 + 2t - 3t^2 - 3t) \] \[ = \mathbf{i}(-t + 12) - \mathbf{j}(t + 6) + \mathbf{k}(-t) \] \[ = (-t + 12)\mathbf{i} - (t + 6)\mathbf{j} - t\mathbf{k} \] Độ dài của vectơ này: \[ \| \overrightarrow{MA} \times \overrightarrow{MB} \| = \sqrt{(-t + 12)^2 + (-(t + 6))^2 + (-t)^2} \] \[ = \sqrt{(t - 12)^2 + (t + 6)^2 + t^2} \] \[ = \sqrt{t^2 - 24t + 144 + t^2 + 12t + 36 + t^2} \] \[ = \sqrt{3t^2 - 12t + 180} \] Diện tích tam giác \( \Delta MAB \): \[ S_{\Delta MAB} = \frac{1}{2} \sqrt{3t^2 - 12t + 180} \] Ta biết rằng diện tích tam giác \( \Delta MAB \) bằng \( 3\sqrt{5} \): \[ \frac{1}{2} \sqrt{3t^2 - 12t + 180} = 3\sqrt{5} \] \[ \sqrt{3t^2 - 12t + 180} = 6\sqrt{5} \] \[ 3t^2 - 12t + 180 = 180 \] \[ 3t^2 - 12t = 0 \] \[ t(3t - 12) = 0 \] \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t = 4 \] 3. Tìm tọa độ điểm \( M \): - Nếu \( t = 0 \): \[ M(0 - 2, 3 \cdot 0 + 1, -2 \cdot 0 - 5) = M(-2, 1, -5) \] - Nếu \( t = 4 \): \[ M(4 - 2, 3 \cdot 4 + 1, -2 \cdot 4 - 5) = M(2, 13, -13) \] 4. Tính tổng \( a + b + c \): - Với \( M(-2, 1, -5) \): \[ a + b + c = -2 + 1 - 5 = -6 \] - Với \( M(2, 13, -13) \): \[ a + b + c = 2 + 13 - 13 = 2 \] Vậy tổng \( a + b + c \) có thể là \( -6 \) hoặc \( 2 \).