giúp tôi chọn đáp án đúng với

Câu 1. Đường thẳng $y=3$ cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ là $x_1; x_2$. Biết rằng $x_1 = 2x_2$. Ta có: \[ y = \log_a x \] \[ y = \log_b x \] Khi đường thẳng $y = 3$ cắt đồ thị hàm số, ta có: \[ 3 = \log_a x_1 \] \[ 3 = \log_b x_2 \] Từ đó suy ra: \[ x_1 = a^3 \] \[ x_2 = b^3 \] Biết rằng $x_1 = 2x_2$, ta thay vào: \[ a^3 = 2b^3 \] Chia cả hai vế cho $b^3$: \[ \left(\frac{a}{b}\right)^3 = 2 \] Lấy căn bậc ba của cả hai vế: \[ \frac{a}{b} = \sqrt[3]{2} \] Vậy giá trị của $\frac{a}{b}$ là $\sqrt[3]{2}$. Đáp án đúng là: D. $\sqrt[3]{2}$. Câu 2. Điều kiện xác định: $x - 1 > 0$ và $x + 1 > 0$, suy ra $x > 1$. Phương trình đã cho tương đương với: \[ \log_2((x-1)(x+1)) = 3 \] \[ \log_2(x^2 - 1) = 3 \] Từ đó ta có: \[ x^2 - 1 = 2^3 \] \[ x^2 - 1 = 8 \] \[ x^2 = 9 \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -3 \] Kiểm tra điều kiện xác định $x > 1$, ta thấy chỉ có $x = 3$ thỏa mãn. Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{3\}$. Đáp án đúng là: $A.~S=\{3\}$ Câu 3. Điều kiện xác định: \[ x + 1 > 0 \quad \text{và} \quad 3x - 1 > 0 \] \[ x > -1 \quad \text{và} \quad x > \frac{1}{3} \] Do đó, điều kiện chung là: \[ x > \frac{1}{3} \] Phương trình đã cho là: \[ \log_2(x+1) + 1 = \log_2(3x-1) \] Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng: \[ \log_2(x+1) + \log_2(2) = \log_2(3x-1) \] \[ \log_2(2(x+1)) = \log_2(3x-1) \] Vì hai biểu thức logarit có cùng cơ số, ta có thể loại bỏ cơ số logarit: \[ 2(x+1) = 3x - 1 \] Giải phương trình này: \[ 2x + 2 = 3x - 1 \] \[ 2 + 1 = 3x - 2x \] \[ 3 = x \] Kiểm tra điều kiện: \[ x = 3 \] \[ 3 > \frac{1}{3} \] (đúng) Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 3 \] Đáp án đúng là: D. \( x = 3 \). Câu 4. Điều kiện xác định: \[ x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \] Phương trình đã cho: \[ \log_3(2x + 1) - \log_3(x - 1) = 1 \] Áp dụng công thức tính chất của lôgarit: \[ \log_3 \left(\frac{2x + 1}{x - 1}\right) = 1 \] Đổi về dạng mũ: \[ \frac{2x + 1}{x - 1} = 3^1 \] \[ \frac{2x + 1}{x - 1} = 3 \] Nhân cả hai vế với \( x - 1 \): \[ 2x + 1 = 3(x - 1) \] \[ 2x + 1 = 3x - 3 \] Di chuyển các hạng tử để nhóm các biến và hằng số về một vế: \[ 2x - 3x = -3 - 1 \] \[ -x = -4 \] Chia cả hai vế cho -1: \[ x = 4 \] Kiểm tra điều kiện xác định: \[ x = 4 > 1 \] (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm của phương trình là: \[ S = \{4\} \] Đáp án đúng là: B. \( S = \{4\} \) Câu 5. Điều kiện xác định: $x + 1 > 0$ và $4x + 1 > 0$, suy ra $x > -1$. Phương trình đã cho tương đương với: \[ \log_3(x+1) + \log_3(3) = \log_3(4x+1) \] \[ \log_3(3(x+1)) = \log_3(4x+1) \] Do đó: \[ 3(x + 1) = 4x + 1 \] \[ 3x + 3 = 4x + 1 \] \[ 3 - 1 = 4x - 3x \] \[ 2 = x \] Kiểm tra điều kiện: $x = 2$ thỏa mãn $x > -1$. Vậy nghiệm của phương trình là $x = 2$. Đáp án đúng là B. Câu 6. Điều kiện xác định: \[ 2x + 1 > 0 \quad \text{và} \quad x - 1 > 0 \] \[ x > -\frac{1}{2} \quad \text{và} \quad x > 1 \] Do đó, điều kiện chung là: \[ x > 1 \] Phương trình đã cho là: \[ \log_3(2x+1) = 1 + \log_3(x-1) \] Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng: \[ \log_3(2x+1) = \log_3(3) + \log_3(x-1) \] Áp dụng tính chất của logarit: \[ \log_3(2x+1) = \log_3(3(x-1)) \] Vì hai logarit có cùng cơ số nên ta có: \[ 2x + 1 = 3(x - 1) \] Giải phương trình này: \[ 2x + 1 = 3x - 3 \] \[ 2x - 3x = -3 - 1 \] \[ -x = -4 \] \[ x = 4 \] Kiểm tra điều kiện: \[ x = 4 \] \[ 2(4) + 1 = 9 > 0 \quad \text{và} \quad 4 - 1 = 3 > 0 \] Vậy \( x = 4 \) thỏa mãn điều kiện xác định. Đáp án đúng là: \( A.~x=4 \). Câu 7. Điều kiện xác định: \[ x + 1 > 0 \quad \text{và} \quad x - 1 > 0 \] \[ x > -1 \quad \text{và} \quad x > 1 \] Từ đó suy ra: \[ x > 1 \] Phương trình đã cho là: \[ \log_2(x+1) = 1 + \log_2(x-1) \] Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng: \[ \log_2(x+1) = \log_2(2) + \log_2(x-1) \] Áp dụng tính chất của logarit: \[ \log_2(x+1) = \log_2(2(x-1)) \] Do hai logarit có cùng cơ số nên ta có: \[ x + 1 = 2(x - 1) \] Giải phương trình này: \[ x + 1 = 2x - 2 \] \[ 1 + 2 = 2x - x \] \[ 3 = x \] Kiểm tra điều kiện: \[ x = 3 \] \[ 3 > 1 \] (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 3 \] Đáp án đúng là: \( A.~x=3 \). Câu 8. Điều kiện xác định: $x > -1$ (để đảm bảo các biểu thức logarit đều có nghĩa). Phương trình đã cho là: \[ \ln(x+1) + \ln(x+3) = \ln(x+7) \] Áp dụng tính chất của logarit, ta có: \[ \ln((x+1)(x+3)) = \ln(x+7) \] Do đó: \[ (x+1)(x+3) = x+7 \] Mở ngoặc và sắp xếp lại phương trình: \[ x^2 + 4x + 3 = x + 7 \] \[ x^2 + 3x - 4 = 0 \] Phương trình này là một phương trình bậc hai. Ta giải phương trình bậc hai này bằng công thức: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó, \(a = 1\), \(b = 3\), và \(c = -4\). Thay vào công thức, ta có: \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2} \] Từ đây, ta tìm được hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4 \] Kiểm tra điều kiện xác định: - \(x_1 = 1\) thỏa mãn điều kiện \(x > -1\). - \(x_2 = -4\) không thỏa mãn điều kiện \(x > -1\). Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm là \(x = 1\). Đáp án đúng là: A. 1. Câu 9. Để giải phương trình $\log_2x + \log_2(x-1) = 2$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình có dạng $\log_2x + \log_2(x-1) = 2$. Để các biểu thức logarit có nghĩa, ta cần: \[ x > 0 \] \[ x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \] Vậy ĐKXĐ của phương trình là: \[ x > 1 \] Bước 2: Gộp các biểu thức logarit Sử dụng tính chất của logarit $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$, ta có: \[ \log_2x + \log_2(x-1) = \log_2[x(x-1)] \] Do đó, phương trình trở thành: \[ \log_2[x(x-1)] = 2 \] Bước 3: Chuyển về dạng phương trình mũ Ta có: \[ \log_2[x(x-1)] = 2 \Rightarrow x(x-1) = 2^2 \Rightarrow x(x-1) = 4 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai Phương trình $x(x-1) = 4$ có thể viết lại thành: \[ x^2 - x - 4 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó, $a = 1$, $b = -1$, $c = -4$. Thay vào công thức: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2} \] Vậy hai nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \] \[ x_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \] Bước 5: Kiểm tra điều kiện xác định - Nghiệm $x_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$ thỏa mãn điều kiện $x > 1$ vì $\sqrt{17} > 4$. - Nghiệm $x_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$ không thỏa mãn điều kiện $x > 1$ vì $\sqrt{17} > 4$. Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm là: \[ x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \] Kết luận: Số nghiệm của phương trình là 1. Đáp án đúng là: B. 1. Câu 10. Điều kiện xác định: $x > -6$ và $x > 0$, suy ra $x > 0$. Phương trình đã cho tương đương với: \[ \log_3(6 + x) + \log_3(9x) = 5 \] \[ \log_3[(6 + x) \cdot 9x] = 5 \] \[ \log_3[9x^2 + 54x] = 5 \] \[ 9x^2 + 54x = 3^5 \] \[ 9x^2 + 54x = 243 \] \[ x^2 + 6x - 27 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2} \] \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{144}}{2} \] \[ x = \frac{-6 \pm 12}{2} \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -9 \] Kiểm tra điều kiện xác định: - $x = 3$ thỏa mãn điều kiện $x > 0$. - $x = -9$ không thỏa mãn điều kiện $x > 0$. Vậy phương trình có 1 nghiệm là $x = 3$. Đáp án đúng là: C. 1 Câu 11. Điều kiện xác định: \[ 2x + 1 > 0 \quad \text{và} \quad x - 1 > 0 \] \[ x > -\frac{1}{2} \quad \text{và} \quad x > 1 \] Từ đó suy ra: \[ x > 1 \] Phương trình đã cho: \[ \log_3(2x+1) - \log_3(x-1) = 1 \] Áp dụng công thức tính chất của lôgarit: \[ \log_3 \left(\frac{2x+1}{x-1}\right) = 1 \] Đổi về dạng mũ: \[ \frac{2x+1}{x-1} = 3^1 \] \[ \frac{2x+1}{x-1} = 3 \] Nhân cả hai vế với \( x - 1 \): \[ 2x + 1 = 3(x - 1) \] \[ 2x + 1 = 3x - 3 \] Di chuyển các hạng tử để nhóm các biến và hằng số về một vế: \[ 2x - 3x = -3 - 1 \] \[ -x = -4 \] \[ x = 4 \] Kiểm tra điều kiện xác định: \[ x = 4 \] thỏa mãn \( x > 1 \). Vậy tập nghiệm của phương trình là: \[ S = \{4\} \] Đáp án đúng là: \( D.~S=\{4\} \). Câu 12. Điều kiện xác định: $x > 0$ và $x - 1 > 0$, suy ra $x > 1$. Phương trình $\log_2x + \log_2(x-1) = 1$ có thể viết lại dưới dạng: \[ \log_2(x(x-1)) = 1 \] Từ đó ta có: \[ x(x-1) = 2^1 \] \[ x^2 - x = 2 \] \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x = \frac{1 + 3}{2} = 2 \quad \text{và} \quad x = \frac{1 - 3}{2} = -1 \] Kiểm tra điều kiện xác định: - $x = 2$: Thỏa mãn điều kiện $x > 1$. - $x = -1$: Không thỏa mãn điều kiện $x > 1$. Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{2\}$. Đáp án đúng là: $C.~S=\{2\}$. Câu 13. Điều kiện xác định: $x > 2$ Phương trình đã cho tương đương với: $\log_2((x-1)(x-2)) = \log_5(5^3)$ $\Rightarrow \log_2((x-1)(x-2)) = 3$ $\Rightarrow (x-1)(x-2) = 2^3$ $\Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 8$ $\Rightarrow x^2 - 3x - 6 = 0$ Giải phương trình bậc hai này, ta có: $x = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$ Tuy nhiên, do điều kiện $x > 2$, ta loại nghiệm $x = \frac{3 - \sqrt{33}}{2}$ vì nó nhỏ hơn 2. Vậy nghiệm duy nhất là $x = \frac{3 + \sqrt{33}}{2}$. Tổng các nghiệm của phương trình là $\frac{3 + \sqrt{33}}{2}$. Đáp án đúng là: A. $\frac{3 + \sqrt{33}}{2}$.