alkaksksnsnsjw

Câu 41: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( v = f(x) \) dựa vào bảng biến thiên, chúng ta cần quan sát các đoạn trên bảng biến thiên nơi mà giá trị của hàm số tăng dần từ trái sang phải. Trên bảng biến thiên, ta thấy: - Từ \( -\infty \) đến \( -1 \), hàm số giảm. - Từ \( -1 \) đến \( 1 \), hàm số tăng. - Từ \( 1 \) đến \( 4 \), hàm số giảm. - Từ \( 4 \) đến \( +\infty \), hàm số tăng. Do đó, hàm số đồng biến trong khoảng từ \( -1 \) đến \( 1 \). Vậy đáp án đúng là: \[ D.~(-1;1) \] Câu 42: Để giải bất phương trình $\log_4(x-5) < 3$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với $\log_4(x-5)$, ta cần $x - 5 > 0$. Do đó, $x > 5$. 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_4(x-5) < 3$. - Đổi về dạng mũ: $x - 5 < 4^3$. - Tính $4^3 = 64$, do đó $x - 5 < 64$. - Suy ra $x < 69$. 3. Tìm nghiệm nguyên: - Kết hợp điều kiện xác định $x > 5$ và kết quả từ bất phương trình $x < 69$, ta có $5 < x < 69$. - Các số nguyên thỏa mãn điều kiện này là $x = 6, 7, 8, ..., 68$. - Số lượng các số nguyên từ 6 đến 68 là $68 - 6 + 1 = 63$. Vậy, bất phương trình $\log_4(x-5) < 3$ có 63 nghiệm nguyên. Đáp án đúng là: A. 63. Câu 43: Để tìm điểm cực đại của hàm số bậc ba $y = f(x)$ từ đồ thị, chúng ta cần xác định điểm tại đó đạo hàm của hàm số thay đổi từ dương sang âm. Điểm này sẽ là điểm cực đại của hàm số. Trên đồ thị, ta thấy rằng: - Khi $x < -1$, hàm số đang tăng (đạo hàm dương). - Tại $x = -1$, hàm số đạt đỉnh (đạo hàm bằng 0). - Khi $x > -1$, hàm số bắt đầu giảm (đạo hàm âm). Do đó, điểm cực đại của hàm số là điểm $(x, y)$ tại $x = -1$. Từ đồ thị, ta thấy rằng khi $x = -1$, giá trị của hàm số là $y = -1$. Vậy điểm cực đại của hàm số là $(-1, -1)$. Đáp án đúng là: $A.~(-1;-1).$ Câu 44: Để xác định hàm số nào đồng biến trên khoảng $(0;2)$, ta sẽ tính đạo hàm của mỗi hàm số và kiểm tra dấu của đạo hàm trên khoảng $(0;2)$. A. $y = -x^3 - 3x$ Tính đạo hàm: \[ y' = -3x^2 - 3 \] Trên khoảng $(0;2)$, $-3x^2 - 3$ luôn âm vì $-3x^2$ luôn âm và $-3$ cũng là số âm. Do đó, $y'$ luôn âm trên $(0;2)$, hàm số nghịch biến. B. $y = \frac{x-2}{x-1}$ Tính đạo hàm: \[ y' = \frac{(x-1) - (x-2)}{(x-1)^2} = \frac{1}{(x-1)^2} \] Trên khoảng $(0;2)$, $\frac{1}{(x-1)^2}$ luôn dương vì $(x-1)^2$ luôn dương. Do đó, $y'$ luôn dương trên $(0;2)$, hàm số đồng biến. C. $y = -x^3 + 5x^2$ Tính đạo hàm: \[ y' = -3x^2 + 10x \] Trên khoảng $(0;2)$, ta xét dấu của $-3x^2 + 10x$. Ta thấy rằng: - Khi $x = 0$, $y' = 0$ - Khi $x = 2$, $y' = -3(2)^2 + 10(2) = -12 + 20 = 8 > 0$ Do đó, $y'$ dương trên $(0;2)$, hàm số đồng biến. D. $y = \frac{x-1}{x-2}$ Tính đạo hàm: \[ y' = \frac{(x-2) - (x-1)}{(x-2)^2} = \frac{-1}{(x-2)^2} \] Trên khoảng $(0;2)$, $\frac{-1}{(x-2)^2}$ luôn âm vì $(x-2)^2$ luôn dương. Do đó, $y'$ luôn âm trên $(0;2)$, hàm số nghịch biến. Kết luận: Các hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$ là B và C. Đáp án: B và C. Câu 45: Để tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC, ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của một tam giác trong không gian. Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC được tính theo công thức: \[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right) \] Trong đó: - \( A(5, -2, 0) \) - \( B(-2, 3, 0) \) - \( C(x_C, y_C, z_C) \) Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp tọa độ của điểm C. Do đó, chúng ta sẽ giả sử rằng tọa độ của điểm C là \( C(0, 0, 0) \) để dễ dàng tính toán. Bây giờ, ta áp dụng công thức trên: \[ G\left(\frac{5 + (-2) + 0}{3}, \frac{-2 + 3 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 0}{3}\right) \] Tính từng thành phần tọa độ: \[ G\left(\frac{5 - 2 + 0}{3}, \frac{-2 + 3 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 0}{3}\right) \] \[ G\left(\frac{3}{3}, \frac{1}{3}, \frac{0}{3}\right) \] \[ G\left(1, \frac{1}{3}, 0\right) \] Như vậy, tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là \( G(1, \frac{1}{3}, 0) \). Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, không có đáp án nào đúng với kết quả này. Điều này có thể do thiếu thông tin về tọa độ của điểm C hoặc có sự nhầm lẫn trong đề bài. Vì vậy, chúng ta cần kiểm tra lại đề bài hoặc yêu cầu thêm thông tin về tọa độ của điểm C. Đáp án: Không có trong các lựa chọn đã cho. Câu 46: Để tìm số nghiệm thực của phương trình $2^x = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 1$, chúng ta sẽ phân tích từng bước như sau: 1. Xác định miền xác định: Phương trình này không giới hạn miền xác định vì cả hai vế đều có nghĩa cho mọi giá trị thực của \( x \). 2. Phân tích hàm số: - Hàm số \( f(x) = 2^x \) là hàm số mũ cơ số lớn hơn 1, do đó nó luôn tăng và không có điểm cực đại hoặc cực tiểu. - Hàm số \( g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 1 \) cũng là hàm số mũ cơ số nhỏ hơn 1, do đó nó luôn giảm và không có điểm cực đại hoặc cực tiểu. 3. So sánh hai hàm số: - Hàm số \( f(x) = 2^x \) luôn dương và tăng từ 0 đến vô cùng khi \( x \) tăng từ \(-\infty\) đến \(+\infty\). - Hàm số \( g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 1 \) luôn âm và giảm từ 0 đến \(-\infty\) khi \( x \) tăng từ \(-\infty\) đến \(+\infty\). 4. Kiểm tra giao điểm: - Vì \( f(x) \) luôn dương và \( g(x) \) luôn âm, chúng không thể cắt nhau tại bất kỳ điểm nào trên trục số thực. Do đó, phương trình \( 2^x = \left(\frac{1}{3}\right)^x - 1 \) không có nghiệm thực. Đáp án: C. 0 Câu 47: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = -x^4 + 12x^2 + 1 \) trên đoạn \([-1; 2]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^4 + 12x^2 + 1) = -4x^3 + 24x \] 2. Tìm các điểm cực trị trong khoảng (-1, 2): \[ f'(x) = 0 \] \[ -4x^3 + 24x = 0 \] \[ -4x(x^2 - 6) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = 6 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \sqrt{6} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{6} \] Trong đó, chỉ có \( x = 0 \) nằm trong khoảng \((-1, 2)\). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị: - Tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = -(-1)^4 + 12(-1)^2 + 1 = -1 + 12 + 1 = 12 \] - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = -(0)^4 + 12(0)^2 + 1 = 1 \] - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = -(2)^4 + 12(2)^2 + 1 = -16 + 48 + 1 = 33 \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất: \[ f(-1) = 12 \] \[ f(0) = 1 \] \[ f(2) = 33 \] Như vậy, giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = -x^4 + 12x^2 + 1 \) trên đoạn \([-1; 2]\) là 33, đạt được khi \( x = 2 \). Đáp án: D. 33 Câu 48: Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{-x^2 + 2x + 5}{x + 1} \), ta thực hiện phép chia đa thức như sau: 1. Phép chia đa thức: Ta chia \(-x^2 + 2x + 5\) cho \(x + 1\). - Bước 1: Chia \(-x^2\) cho \(x\) để được \(-x\). - Bước 2: Nhân \(-x\) với \(x + 1\) để được \(-x^2 - x\). - Bước 3: Trừ \(-x^2 - x\) từ \(-x^2 + 2x + 5\) để được \(3x + 5\). - Bước 4: Chia \(3x\) cho \(x\) để được \(3\). - Bước 5: Nhân \(3\) với \(x + 1\) để được \(3x + 3\). - Bước 6: Trừ \(3x + 3\) từ \(3x + 5\) để được \(2\). Kết quả của phép chia là: \[ \frac{-x^2 + 2x + 5}{x + 1} = -x + 3 + \frac{2}{x + 1} \] 2. Xác định tiệm cận xiên: Khi \(x \to \pm \infty\), phần \(\frac{2}{x + 1}\) sẽ tiến đến 0. Do đó, hàm số \(y\) sẽ tiến gần đến đường thẳng \(y = -x + 3\). Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{-x^2 + 2x + 5}{x + 1}\) là \(y = -x + 3\). Đáp án đúng là: \(C.~(d)y=-x+3.\)