alkaksksnsnsjw

Câu 58: Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu. 2. Tính phương sai của mẫu số liệu. 3. Tính độ lệch chuẩn từ phương sai. Bước 1: Tính trung bình cộng của mẫu số liệu Trung bình cộng \( \bar{x} \) được tính theo công thức: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{k} f_i} \] Trong đó: - \( f_i \) là tần số của nhóm thứ i. - \( x_i \) là giá trị trung tâm của nhóm thứ i. Ta tính trung bình cộng như sau: | Tốc độ | Số lần | Giá trị trung tâm | Số lần × Giá trị trung tâm | |-------|--------|-------------------|---------------------------| | [150;155) | 18 | 152.5 | 18 × 152.5 = 2745 | | [155;160) | 28 | 157.5 | 28 × 157.5 = 4410 | | [160;165) | 35 | 162.5 | 35 × 162.5 = 5687.5 | | [165;170) | 43 | 167.5 | 43 × 167.5 = 7202.5 | | [170;175) | 41 | 172.5 | 41 × 172.5 = 7072.5 | | [175;180) | 35 | 177.5 | 35 × 177.5 = 6212.5 | Tổng số lần: \( \sum f_i = 18 + 28 + 35 + 43 + 41 + 35 = 200 \) Tổng số lần × Giá trị trung tâm: \( \sum f_i x_i = 2745 + 4410 + 5687.5 + 7202.5 + 7072.5 + 6212.5 = 33330 \) Trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{33330}{200} = 166.65 \] Bước 2: Tính phương sai của mẫu số liệu Phương sai \( s^2 \) được tính theo công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{k} f_i - 1} \] Ta tính phương sai như sau: | Tốc độ | Số lần | Giá trị trung tâm | \( x_i - \bar{x} \) | \( (x_i - \bar{x})^2 \) | Số lần × \( (x_i - \bar{x})^2 \) | |-------|--------|-------------------|---------------------|-------------------------|----------------------------------| | [150;155) | 18 | 152.5 | 152.5 - 166.65 = -14.15 | (-14.15)^2 = 199.8225 | 18 × 199.8225 = 3596.805 | | [155;160) | 28 | 157.5 | 157.5 - 166.65 = -9.15 | (-9.15)^2 = 83.7225 | 28 × 83.7225 = 2344.23 | | [160;165) | 35 | 162.5 | 162.5 - 166.65 = -4.15 | (-4.15)^2 = 17.2225 | 35 × 17.2225 = 602.7875 | | [165;170) | 43 | 167.5 | 167.5 - 166.65 = 0.85 | (0.85)^2 = 0.7225 | 43 × 0.7225 = 30.9675 | | [170;175) | 41 | 172.5 | 172.5 - 166.65 = 5.85 | (5.85)^2 = 34.2225 | 41 × 34.2225 = 1403.1225 | | [175;180) | 35 | 177.5 | 177.5 - 166.65 = 10.85 | (10.85)^2 = 117.7225 | 35 × 117.7225 = 4120.2875 | Tổng số lần × \( (x_i - \bar{x})^2 \): \[ \sum f_i (x_i - \bar{x})^2 = 3596.805 + 2344.23 + 602.7875 + 30.9675 + 1403.1225 + 4120.2875 = 12098.19 | Phương sai: \[ s^2 = \frac{12098.19}{200 - 1} = \frac{12098.19}{199} \approx 60.84 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn từ phương sai Độ lệch chuẩn \( s \) được tính theo công thức: \[ s = \sqrt{s^2} \] \[ s = \sqrt{60.84} \approx 7.8 \] Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gần giá trị nào nhất là: \[ \boxed{D. 7,78} \] Câu 59: Để tìm khoảng cách từ điểm \( M(-4; -5; 6) \) đến các mặt phẳng \((Oxy)\) và \((Oyz)\), ta thực hiện như sau: 1. Khoảng cách từ điểm \( M \) đến mặt phẳng \((Oxy)\): Mặt phẳng \((Oxy)\) có phương trình là \( z = 0 \). Khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( z = 0 \) là giá trị tuyệt đối của tọa độ \( z \) của điểm đó. Do đó, khoảng cách từ điểm \( M(-4; -5; 6) \) đến mặt phẳng \((Oxy)\) là: \[ d_{(Oxy)} = |z| = |6| = 6 \] 2. Khoảng cách từ điểm \( M \) đến mặt phẳng \((Oyz)\): Mặt phẳng \((Oyz)\) có phương trình là \( x = 0 \). Khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( x = 0 \) là giá trị tuyệt đối của tọa độ \( x \) của điểm đó. Do đó, khoảng cách từ điểm \( M(-4; -5; 6) \) đến mặt phẳng \((Oyz)\) là: \[ d_{(Oyz)} = |x| = |-4| = 4 \] Từ đó, ta thấy rằng khoảng cách từ điểm \( M(-4; -5; 6) \) đến mặt phẳng \((Oxy)\) là 6 và đến mặt phẳng \((Oyz)\) là 4. Vậy đáp án đúng là: A. 6 và 4. Câu 60: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( A(0; -3; 2) \) và có vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} = (2; -1; 3) \) có dạng: \[ 2(x - 0) - 1(y + 3) + 3(z - 2) = 0 \] Ta thực hiện phép nhân và giản ước: \[ 2x - (y + 3) + 3(z - 2) = 0 \] \[ 2x - y - 3 + 3z - 6 = 0 \] \[ 2x - y + 3z - 9 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng là: \[ 2x - y + 3z - 9 = 0 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~2x - y + 3z - 9 = 0 \] Câu 61: Để giải bất phương trình $\log_3(x-2) - 1 > 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong logarit dương: \[ x - 2 > 0 \implies x > 2 \] 2. Giải bất phương trình: Ta viết lại bất phương trình: \[ \log_3(x-2) - 1 > 0 \] Điều này tương đương với: \[ \log_3(x-2) > 1 \] Biểu thức trên có nghĩa là: \[ x - 2 > 3^1 \implies x - 2 > 3 \implies x > 5 \] 3. Kiểm tra điều kiện xác định: Chúng ta đã xác định điều kiện $x > 2$. Kết hợp với điều kiện từ bất phương trình, ta có: \[ x > 5 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(5; +\infty)$. Đáp án: C. $(5; +\infty)$. Câu 62: Để tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$, ta sử dụng công thức sau: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z \] Trong đó, $\overrightarrow u = (u_x, u_y, u_z)$ và $\overrightarrow v = (v_x, v_y, v_z)$. Áp dụng vào bài toán, ta có: \[ \overrightarrow u = (3, 0, 1) \quad \text{và} \quad \overrightarrow v = (2, 1, 0) \] Tính từng thành phần: \[ u_x v_x = 3 \times 2 = 6 \] \[ u_y v_y = 0 \times 1 = 0 \] \[ u_z v_z = 1 \times 0 = 0 \] Do đó, tích vô hướng của hai vectơ là: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 6 + 0 + 0 = 6 \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 6 \] Câu 63: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta có các thông tin sau: - Khi $x$ tăng từ $-\infty$ đến $0$, hàm số giảm. - Tại $x = 0$, hàm số đạt cực tiểu và giá trị cực tiểu là $f(0) = -1$. - Khi $x$ tăng từ $0$ đến $1$, hàm số tăng. - Tại $x = 1$, hàm số đạt cực đại và giá trị cực đại là $f(1) = 0$. - Khi $x$ tăng từ $1$ đến $+\infty$, hàm số giảm. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. Hàm số có đúng một cực trị. - Sai vì hàm số có hai cực trị: cực tiểu tại $x = 0$ và cực đại tại $x = 1$. B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng -1. - Đúng vì giá trị lớn nhất của hàm số là 0 (đạt tại $x = 1$) và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1 (đạt tại $x = 0$). C. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1. - Sai vì giá trị cực tiểu của hàm số là -1 (đạt tại $x = 0$). D. Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và đạt cực tiểu tại $x = 1$. - Sai vì hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ và đạt cực đại tại $x = 1$. Vậy khẳng định đúng là: B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng -1. Câu 64: Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: - Tính trọng số trung tâm của mỗi nhóm: - Nhóm $[1,5;1,7)$: Trọng số trung tâm là $\frac{1,5 + 1,7}{2} = 1,6$ - Nhóm $[1,7;1,9)$: Trọng số trung tâm là $\frac{1,7 + 1,9}{2} = 1,8$ - Nhóm $[1,9;2,1)$: Trọng số trung tâm là $\frac{1,9 + 2,1}{2} = 2,0$ - Nhóm $[2,1;2,3)$: Trọng số trung tâm là $\frac{2,1 + 2,3}{2} = 2,2$ - Nhóm $(2,3;2,5)$: Trọng số trung tâm là $\frac{2,3 + 2,5}{2} = 2,4$ - Tính tổng số lượng các gói kẹo: \[ n = 3 + 5 + 23 + 5 + 4 = 40 \] - Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(1,6 \times 3) + (1,8 \times 5) + (2,0 \times 23) + (2,2 \times 5) + (2,4 \times 4)}{40} \] \[ \bar{x} = \frac{4,8 + 9,0 + 46,0 + 11,0 + 9,6}{40} = \frac{80,4}{40} = 2,01 \] 2. Tính phương sai: - Tính bình phương của khoảng cách giữa mỗi trọng số trung tâm và trung bình cộng, nhân với tần số tương ứng: \[ s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2 \] \[ s^2 = \frac{1}{40} \left[ 3(1,6 - 2,01)^2 + 5(1,8 - 2,01)^2 + 23(2,0 - 2,01)^2 + 5(2,2 - 2,01)^2 + 4(2,4 - 2,01)^2 \right] \] \[ s^2 = \frac{1}{40} \left[ 3(-0,41)^2 + 5(-0,21)^2 + 23(-0,01)^2 + 5(0,19)^2 + 4(0,39)^2 \right] \] \[ s^2 = \frac{1}{40} \left[ 3(0,1681) + 5(0,0441) + 23(0,0001) + 5(0,0361) + 4(0,1521) \right] \] \[ s^2 = \frac{1}{40} \left[ 0,5043 + 0,2205 + 0,0023 + 0,1805 + 0,6084 \right] \] \[ s^2 = \frac{1}{40} \left[ 1,516 \right] = 0,0379 \] Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với kết quả là 0,04. Đáp án: D. 0,04